1.2.2 空间中的平面与空间向量-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.2　空间中的平面与空间向量 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．　2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用．　3.会利用空间向量证明线面、面面的平行和垂直． 知识点1　平面的法向量 内容索引 知识点2　利用法向量证明线面、面面平行与垂直 课时作业 巩固提升 知识点3　三垂线定理及其逆定理 课堂达标·素养提升 3 知识点1　平面的法向量 定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个________向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α________，则称n为平面α的一个____________，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个____________都是平面α的一个____________． 非零 垂直 法向量 方向向量 法向量 平行 0 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； [分析]　本题考查求平面的法向量，利用向量法进行求解即可． (1)写出各点坐标，设平面BCC1B1的法向量n＝(x，y，z)，利用空间向量求解即可； 令x＝1，则n＝(1，1，0)， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0). (2)求平面A1BC的法向量． [分析]　(2)设平面A1BC的法向量m＝(a，b，c).利用空间向量计算可得答案． 思维提升 跟踪训练 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． (2)直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 知识点2　利用法向量证明线面、面面平行与垂直 1．直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔________； n⊥v⇔________，或________． l⊥α l∥α l⊂α 2．两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔________； n1∥n2⇔________，或____________． α1⊥α2 α1∥α2 α1与α2重合 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明： (1)C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F. 令y＝2，z＝1，则n＝(0，2，1). ∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0， ∴m⊥n， ∴平面ADE⊥平面A1D1F. 思维提升 利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量表示，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算． 跟踪训练 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 知识点3　三垂线定理及其逆定理 1．三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的________垂直，则它也和这条________垂直．简记为：和射影垂直，则和斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条________垂直，则它也和这条斜线在该平面内的________垂直．简记为：和斜线垂直，则和射影垂直． 射影 斜线 斜线 射影 例3 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. [证明]　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°， 即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD. 思维提升 利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理． 跟踪训练 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点． 求证：A1F⊥平面BED. 证明：AA1⊥平面ABCD，AF是A1F在平面ABCD上的射影， 又∵AC⊥BD， ∴A1F⊥BD.取BC的中点G，连接FG，B1G. ∵A1B1⊥平面BCC1B1，FG⊥平面BCC1B1， ∴B1G为A1F在平面BCC1B1上的射影． 又∵在正方形BCC1B1中，E，G分别为CC1，BC的中点， ∴BE⊥B1G， ∴A1F⊥BE. 又EB∩BD＝B，则A1F⊥平面BED. 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知n1＝(1，2，x)为平面α的一个法向量，n2＝(－2，y，4)为平面β的一个法向量，且α∥β，则x－y＝(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．－4 C．2 D．4 C 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) AD 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 3．已知直线l的方向向量m＝(1，－2，3)，平面α的法向量n＝(t，t＋1，－1).若l∥α，则t＝ ． 因为l∥α， 所以m⊥n，所以t－2(t＋1)－3＝0， 解得t＝－5. －5 4．菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是 ． 由三垂线定理，可知PC与BD垂直． 垂直 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3，6)，则下列点在平面α内的是(　　) A．A(2，3，3)　　　　 B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.在如图所示的坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)； ③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)； ④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1). 其中正确的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．点P在平面ABC内的射影是O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P， 所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB. 又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO(图略)， 则CO是PC在平面ABC内的射影， 由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO， 同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l∥α或l⊂α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，则P点到BC的距离为 ． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 取BC的中点E，连接AE，PE(图略). ∵PA⊥平面ABC， ∴AE为PE在平面ABC内的射影． 又AB＝AC，∴AE⊥BC， 由三垂线定理得，PE⊥BC. 又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于点M，B1C与PB交于点N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图，点P在平面ABC内的射影点为O，PE，PF，PD分别是点P到△ABC各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是△ABC各边的垂线． 因为三条侧高相等，所以OE＝OF＝OD， 所以O为△ABC的内心． 设OE＝OF＝OD＝r， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．空间四边形ABCD的四条边及两条对角线的长均为1，则点A到平面 BCD的距离为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心．求证： (1)EF∥A1B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)EF∥平面A1BD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)平面B1EF∥平面A1BD. 证明：(3)由(2)，同理，求出平面EFB1的一个法向量n＝(1，－1，－1). 由m∥n，而平面B1EF与平面A1BD不重合，因此平面B1EF∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$