1.2.1 第2课时 空间中两条直线所成的角-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 第二课时　空间中两条直线所成的角 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间中两条直线所成的角． 2．了解空间中两条异面直线的公垂线段. 知识点1　空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系 内容索引 知识点2　空间中两条直线所成的角 课时作业 巩固提升 知识点3　异面直线与空间向量 课堂达标·素养提升 3 知识点1　空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系 例1 B 思维提升 跟踪训练 1．若异面直线l1，l2的方向向量的夹角为120°，则异面直线l1与l2所成的角等于 ． 60° 知识点2　空间中两条直线所成的角 例2 C 思维提升 求空间直线所成角的三种方法 1．几何法：平移直线(两条或一条)到一个公共点，再通过解三角形求角． 2．基底法：确定一组基底，用基底表示两直线的方向向量． 3．坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量． 跟踪训练 C 因为AB＝AC，∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形，取AC的中点D，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 知识点3　异面直线与空间向量 充要 2．异面直线间的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，________，________，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的________． MN⊥l1 MN⊥l2 距离 例3 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线段，并求两条异面直线的距离． 思维提升 两条异面直线的公垂线段有且仅有一条，当公垂线不便寻找时，利用几何知识很难找到．利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单．求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N.　 跟踪训练 3．已知在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为正方形，SD⊥平面 ABCD，且SD＝AD＝1，则异面直线SB与AC间的距离为 ． 〈课堂达标·素养提升〉 D 60° 3.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为 ． 90° 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角的大小为 ． 13 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与 AD1所成角的余弦值为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图所示，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点． (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M是线段DC1上的动点，试求点M到直线AD1距离的最小值． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图，建立空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为3， 则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)， C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC ＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE. (1)求证：DE是异面直线OA与BC的公垂线段； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求异面直线OA与BC间的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$