1.2.1 第1课时 空间中的点、直线与空间向量-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 第一课时　空间中的点、直线与空间向量 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法．　2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题． 知识点1　空间中的点与空间向量 内容索引 知识点2　空间中的直线与空间向量 课时作业 巩固提升 知识点3　用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　空间中的点与空间向量 位置向量 例1 (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标． 思维提升 解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标．　 跟踪训练 知识点2　空间中的直线与空间向量 (2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定； (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 例2 (多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线AB的一个方向向量为(0，0，1) C．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) D．直线B1D的一个方向向量为(1，1，1) [分析]　直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． AC 思维提升 跟踪训练 D 知识点3　用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点． 证明：(1)BF∥D1E； (2)BE不与D1M平行； (3)BE⊥C1M. 思维提升 判定直线平行、垂直的向量法 v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量． 1．v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合； 2．v1与v2不平行⇔l1与l2不平行； 3．v1·v2＝0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2； 4．v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直． 跟踪训练 D B 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝ (－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不确定 因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.又l1与l2不重合，所以l1∥l2. A 2．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于 ． 0 3．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB 上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为 ． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是 (　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．若直线l1的方向向量为v1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是 ． 垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (9，10，12) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点E，F的坐标； (1)解：E(a，x，0)，F(a－x，a，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求证：A1F⊥C1E； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　) A．x＝2，y＝4 B．x＝4，y＝3 C．x＝1，y＝3 D．x＝6，y＝2 由题意得a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有A满足2×4＋4×5＝28. 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有(　　) A．A1C B．BD1 C．AD1 D．CD1 13 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知O为坐标原点，在四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面zOx于点D，则点D的坐标为 ． (1，0，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中点．直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13．已知在空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，AB＝OC.求证：PM⊥QN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$