1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.1　空间向量及其运算 1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第二课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系．　2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标．　3.掌握空间向量坐标的简单应用． 知识点1　空间直角坐标系 内容索引 知识点2　空间点的对称问题 课时作业 巩固提升 知识点3　空间向量坐标的应用 课堂达标·素养提升 知识点4　利用坐标研究几何问题 3 知识点1　空间直角坐标系 1．在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系________．然后过O作一条与____________的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作____________． (1)x轴、y轴、z轴是两两互相________的，都称为____________． (2)通过每两个坐标轴的平面都称为__________，分别记为____________，____________，____________． xOy xOy平面垂直 Oxyz 垂直 坐标轴 坐标平面 xOy平面 yOz平面 zOx平面 (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)________．如图(1)(2)所示． 垂直 2．在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的____________，且x称为点M的____________(或____________)，y称为点M的____________(或y坐标)，z称为点M的____________(或____________). 坐标分量 横坐标 x坐标 纵坐标 竖坐标 z坐标 例1 思维提升 确定点的坐标的常用方法 1．垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线．注意坐标符号． 2．公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标． 3．方程(组)法：利用向量平行或共线相等关系，设出所求点坐标，建立方程组． 跟踪训练 知识点2　空间点的对称问题 例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； [解]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1(－2，－1，－4). (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； [解]　(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4). (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标． [解]　(3)设对称点为P3(x，y，z)，则M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 思维提升 空间点对称问题的解题策略 1．空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． 2．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 跟踪训练 2．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 ． 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). (2，－3，1) 知识点3　空间向量坐标的应用 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 例3 思维提升 用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练 解：如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上． ∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0). 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， ∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0). 知识点4　利用坐标研究几何问题 例4 (1)[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， (3)求CE的长． 思维提升 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内，以便写出点的坐标．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．在空间直角坐标系中，点(1，2，3)与点(－1，2，3)(　　) A．关于xOy平面对称 B．关于zOx平面对称 C．关于yOz平面对称 D．关于x轴对称 空间中的两个点(1，2，3)和(－1，2，3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称． C 2．在如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2， PA＝4，则PD的中点M的坐标为 ． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则点B1的坐标是(　　) A．(3，2，1)　　　　　　　 B．(1，2，3) C．(2，3，1) D．(3，1，2) 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为 ． 因为D(2，－2，0)，C′(0，－2，2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2，1)， 所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1). 13 (－1，－2，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建 立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)显然D(0，0，0). 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3，0，0).同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5). 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0).同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求点N的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为 ． 13 (－1，1，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，若PA＝3，AB＝2，AC＝2，建立空间直角坐标系． (1)求各顶点的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，则射线AB，AC，AP两两垂直， 以点A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)AM⊥平面BDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$