1.1.3 第1课时 空间向量的坐标与运算-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.1　空间向量及其运算 1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第一课时　空间向量的坐标与运算 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示．　2.掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．　3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系． 知识点1　空间中向量的坐标 内容索引 知识点2　空间向量的运算与坐标的关系 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　空间中向量的坐标 1．单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是____________，而且这三个向量____________，就称这组基底为单位正交基底． 2．单位正交分解 在单位正交基底下向量的分解称为向量的________________． 单位向量 两两垂直 单位正交分解 3．向量p的坐标 在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝________________，其中x，y，z都称为p的________________． (x，y，z) 坐标分量 例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标． [解]　a＝(3，2，－1)，b＝(－1，0，3). 思维提升 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).　 跟踪训练 1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　) A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3) B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2) C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1) D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3) C A中，p＝(2，－1，3)；B中，q＝(－1，2，0)；C中，r＝(1，3，－1)；D中，s＝(0，－3，0). 知识点2　空间向量的运算与坐标的关系 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 例2 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b). [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 思维提升 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标． 跟踪训练 2．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2). 求：(1)|a＋b－2c|； (2)cos 〈a－b，b－c〉． 〈课堂达标·素养提升〉 1．若a＝(2，0，1)，b＝(－3，1，－1)，c＝(1，1，0)，则a＋2b－3c＝ (　　) A．(－1，－2，0)　　 B．(－7，－1，0) C．(－7，－1，1) D．(－7，－1，－1) a＋2b－3c＝(2，0，1)＋2·(－3，1，－1)－3·(1，1，0)＝(－7，－1，－1). D 2．已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a⊥b，a⊥c B．a∥b，a⊥c C．a⊥b，a∥c D．a∥b，a∥c ∵a·b＝－4＋0＋4＝0，∴a⊥b. ∵c＝(－4，－6，2)＝2a，∴a∥c. C 3．已知a＝(4，1，2)，b＝(2，－1，3)，则(a－b)·(a＋2b)＝ ． 由a＝(4，1，2)，b＝(2，－1，3)，得 a－b＝(4－2，1＋1，2－3)＝(2，2，－1)，2b＝(4，－2，6)， a＋2b＝(4＋4，1－2，2＋6)＝(8，－1，8). ∴(a－b)·(a＋2b)＝2×8＋2×(－1)＋(－1)×8＝6. 6 3 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．已知向量a＝(1，－2，3)，b＝(2，－1，－4)，则a·b＝(　　) A．－8 B．－7 C．－6 D．－5 a·b＝1×2＋(－2)×(－1)＋3×(－4)＝2＋2－12＝－8. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)， 假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底， 则a，b，c三个向量共面， 又a与b不平行， ∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).若a∥b，则λ＝ ，m＝ ． 13 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy 的最大值为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．已知a＝(1，2，3)，b＝(2，1，2)，c＝(1，1，2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$