1.1.2 空间向量基本定理-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.1　空间向量及其运算 1．1.2　空间向量基本定理 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法．　2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．　3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 知识点1　共面向量定理 内容索引 知识点2　空间向量基本定理 课时作业 巩固提升 知识点3　空间向量基本定理的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　共面向量定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在________的实数λ，使b＝λa. 2．共面向量定理 (1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b____________，则对该平面内任意一个向量c，存在________的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 唯一 不共线 唯一 不共线 唯一 不共线 唯一 例1 (2)判断点M是否在平面ABC内． [分析]　(2)由(1)的结论，即可判断． 思维提升 证明空间三向量共面或四点共面的方法 1．向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． 2．四点共面：证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 跟踪训练 知识点2　空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c____________，那么对空间中的任意一个空间向量p，存在____________有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________． ①若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. ②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的______________或 ________________． 不共面 唯一的 xa＋yb＋zc 线性组合 线性表达式 ③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，空间向量的一组基底记为{a，b，c}．此时a，b，c都称为____________；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 基向量 例2 已知下列说法： ①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； ②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线； ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底； ⑤若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底． 其中正确说法的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [分析]　根据定理及概念判断． D ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量c与a，b共面，则{a，b，c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数x，y，使得a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则a，b，c共面．由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能构成空间的一个基底，故正确． 思维提升 用基底表示向量的步骤 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底． 2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果． 3．下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．　 跟踪训练 知识点3　空间向量基本定理的应用 例3 思维提升 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角、长度．　 跟踪训练 3.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点， 计算： 〈课堂达标·素养提升〉 1．在下列命题中： ①若a，b共线，则a，b所在的直线平行； ②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面； ③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面． 其中正确命题的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 A 对于①，若a，b中有零向量，因为零向量与任意向量共线，则a，b所在的直线不一定平行，命题①错误； 对于②，因为空间任意两向量共面，命题②错误； 对于③，如图所示，a，b，c三向量两两共面， 但a，b，c三向量不共面，命题③错误． C 1 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底， 当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量． 因此p⇒ q，q⇒p. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3.若向量a，b，c共面，则λ＝ ． 1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$