1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

1.1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第二课时　空间向量的数量积 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法．　2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律．　3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直． 知识点1　空间向量的夹角及数量积的概念 内容索引 知识点2　空间向量的数量积的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　空间向量数量积的简单应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　空间向量的夹角及数量积的概念 ∠AOB 垂直 2．空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b| · cos 〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 例1 (1)对于空间内任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [分析]　利用空间向量夹角的定义及几何体特征求解． B (1)显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇒〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件． C 思维提升 1．由定义知，只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π. 2．对空间内任意两个非零向量a，b： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉；(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 跟踪训练 0° 90° 知识点2　空间向量的数量积的性质 1．数量积的几何意义 (1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．如图所示． (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的________．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量． 乘积 2．空间向量的数量积的性质 已知a，b，c为非零向量． (1)a⊥b⇔________． (2)a·a＝________＝a2. (3)|a·b|≤|a||b|. (4)(λa)·b＝________． (5)a·b＝________(交换律). (6)(a＋b)·c＝________(分配律). a·b＝0 |a|2 λ(a·b) b·a a·c＋b·c 注意点：(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量． (2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角). 例2 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： 思维提升 跟踪训练 2 (1)①正确；②错误；③正确． 2 知识点3　空间向量数量积的简单应用 例3 思维提升 跟踪训练 3．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6　　　　　　　　　 B．6 C．3 D．－3 B 由a⊥b，得a·b＝0， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 所以2k－12＝0，所以k＝6. 4．已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝ ． ∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576， 则a2＋2a·b＋b2＝576， ∴2a·b＝576－132－192＝46. 又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝132＋192－46＝484， ∴|a－b|＝22. 22 〈课堂达标·素养提升〉 D a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，且a，b不共线，故D不正确． A ⊥ 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的空间单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋3p·q－2q·p－2q2＝3＋0－0－2＝1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求B1D的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$