1.1.1 第1课时 空间向量的线性运算-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

第一章　空间向量与立体几何 空间向量与立体几何是在学习了必修内容“平面向量”和“立体几何初步”之后，在选择性必修中将要学习的一个重要内容，包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用，应用空间向量探究空间线面的平行、垂直、夹角与距离．“立体几何初步”的学习侧重几何直观和逻辑推理，“空间向量与立体几何”中将空间向量作为研究空间图形位置关系和度量的工具，让我们可以用代数的观点和方法研究解决空间几何问题．空间向量的学习要类比平面向量，将几何问题转化为向量问题解决是本章学习的目的．空间向量与立体几何是高考的重点，一般以解答题型出现，通常解答题中平行、垂直的证明侧重几何逻辑推理，角和距离的求解侧重向量法． 笛卡儿是17世纪的法国哲学家、数学家和物理学家，他对现代哲学和数学的发展都做出了重要贡献．他提出的笛卡儿坐标系是数学领域的一项革命性创新，对后来的科学和工程领域产生了深远的影响． 笛卡儿坐标系最初是为平面几何设计的，其中每个点都可以用两个坐标(x，y)来表示．这种表示方法不仅简化了几何问题的表述和计算，而且为微积分学等更高级的数学理论的发展奠定了基础．后来，笛卡儿坐标系被扩展到三维空间，引入了第三个坐标z，从而可以用三个坐标(x，y，z)来描述空间中的点．这种三维坐标系在物理学、工程学、计算机科学等领域得到了广泛应用． 总的来说，笛卡儿坐标系是数学史上的一个里程碑，它的出现改变了数学的研究方式和方法，对整个科学领域的发展产生了深远的影响． $$ 1.1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第一课时　空间向量的线性运算 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念．　2.掌握空间向量的加法、减法运算，理解其几何意义．　3.掌握空间向量的数乘运算及运算律． 内容索引 知识点2　空间向量的加、减运算 课时作业 巩固提升 知识点3　空间向量的数乘运算 课堂达标·素养提升 知识点1　空间向量的概念 * 知识点1　空间向量的概念 大小 方向 模 长度 长度 2．几类特殊的空间向量 零向量 模等于1 相等 相反 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为________，记为0 单位向量 ____________的向量称为单位向量 相反向量 与向量a大小________、方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a 名称 定义及表示 平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线).规定：零向量与任意向量平行 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 3.共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在____________内，则称这些向量________；否则，称这些向量____________． 同一平面 共面 不共面 给出下列命题： ①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c； 其中真命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [分析]　根据空间向量的有关概念进行判断． B 例1 ①错误，两个向量模相等，但方向不一定相同；②错误，两个空间向量相等，只需模相等、方向相同，与起点、终点位置无关；③④正确． 空间向量的概念问题 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 思维提升 1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　) ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0 B．1 C．2 D．3 B 跟踪训练 零向量与它的相反向量相等，①错误；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错误；a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错误；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错误． 知识点2　空间向量的加、减运算 首指向尾 共起点对角线 被减 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式： 例2 空间向量加法、减法运算的两个技巧 1．巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． 2．巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 注意：(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 思维提升 0 跟踪训练 知识点3　空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算 相同 相反 |λ| 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向________ λa的长度是a的长度的________倍 λ<0 λa与向量a的方向________ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μ a)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 例3 1．平行六面体体对角线的向量表示：一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体体对角线所表示的向量． 思维提升 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 C ABC a＋b＋c 1 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E是CC′的中点，下列结论错误的是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．如图所示的是平行六面体ABCD-A1B1C1D1，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图所示，已知在四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，连接AE，AF，化简： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)如图b，由平面拓展到空间，写出关于空间四边形ABCD类似的结论，并加以证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$