精品解析：山东省枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题

2023~2024学年第二学期期中质量检测 高二数学 2023.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，则. 故选：D 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. 4 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 5. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 60 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中项的系数，得到答案. 【详解】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为， 故选：C. 6. 随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（ ） A. 5 B. 15 C. 45 D. 与有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 7. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求导可得，再根据是的唯一极小值点可得恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可. 【详解】求导有. 设，则， 故当时，单调递减；时，单调递增. 故若有两个零点，则必有一根，则此时有时；时，故为的极小值点，与题意不符. 故恒成立，故，即，解得. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出. 【详解】由，则，令，， 则， 则当时，，故在上单调递增， 故， 即，即， 由，则， 令，，则， 令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，又，故恒成立， 故在上单调递增，故， 即，即，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可. 【详解】由在上是增函数，故A正确； 对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误； 函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确； ， 定义域为， 在定义域内不是增函数，故D错误； 故选：AC. 10. 下列排列组合数中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解． 【详解】，故A错误； ，故B正确； 左边右边，故C正确； ， ，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数与图象关于对称、在上，可判断A；利用基本不等式和选项A可判断B；设，利用函数的单调性可得，，由可判断C；记，利用零点存在性定理可得，由构造函数，利用导数可得在上单调递增，可得答案. 【详解】对于A，因为函数与互为反函数，它们的图象关于对称， 因为与互相垂直，所以关于对称， 所以，又在上， 所以，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 将与联立可得，即， 设，则函数为单调递增函数， 因为，， 故函数的零点在上，即，由得， ，，故C错误； 记，则时为单调递减函数， ，， 则，，所以， 函数，，当时，， 所以在上单调递增，又， 故. 故选项D错误． 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用单调性得到，，考查了学生的思维能力、数学运算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由排列数公式计算即可. 【详解】根据题意，原来3个节目顺序不变，有4个空位，任选2个即可.有种，即有12种安排方法. 故答案为：12． 13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________. 【答案】55 【解析】 【分析】利用表达式，构造二项式定理，结合整除，求解的值即可． 【详解】 若能被64整除，则需能被64整除，所以正整数的最小值为55． 故答案为：55． 14. 已知实数满足，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求出，根据证明，令，求出的递增区间，根据，求出，求出. 【详解】由条件得，， 令，，则， 因为，所以， 令，则， 显然当时，， 在上单调递增， 因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人 （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可； （2）利用条件概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感， 所以， 因此 ； 【小问2详解】 . 16. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. （1）求的分布列； （2）求的均值和方差. 【答案】（1）分布列见解析 （2）; 【解析】 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率； （2）利用（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 小问2详解】 由（1）中的分布列，可得 . 另解：因 则 17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求的值； （2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 【答案】（1）7； （2）702. 【解析】 【分析】（1）求出第三、第四项的系数，再列式计算即得. （2）由（1）的结论，求出展开式的有理项的系数即可计算得解. 【小问1详解】 依题意，展开式的通项公式， 显然第三项系数为，第四项系数为， 因此，解得， 所以的值为7. 【小问2详解】 由（1）知，当时，对应的项是有理项， 当时，展开式中对应的有理项为； 当时，展开式中对应的有理项为 当时，展开式中对应的有理项为 所以展开式中有理项的系数之和为． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）求出函数极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值. 【小问1详解】 的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，分，两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，当时，求出的最小值，使可求解的范围． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 令，，则， 所以在上单调递减， 又，所以要使，即，则． 又因为， 所以在上有一个零点， 又， 令，，则， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以， 所以在上也有一个零点． 综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是． 【点睛】知识点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年第二学期期中质量检测 高二数学 2023.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 60 D. 6. 随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（ ） A. 5 B. 15 C. 45 D. 与有关 7. 已知函数，是唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A B. C. D. 10. 下列排列组合数中，正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________. 13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________. 14. 已知实数满足，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人 （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 16. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. （1）求的分布列； （2）求的均值和方差. 17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求的值； （2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 18. 已知函数. （1）求曲线在点处切线方程； （2）求的极值. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $