第1章 教材拓展1 三垂线定理-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

教材拓展1　三垂线定理 第一章　空间向量与立体几何 1．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在这个平面上的射影垂直． 例 PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α上的射影，l⊂α，且l⊥OA.求证：l⊥PA. 思维提升 1．用向量方法证明两条直线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直． 2．可以利用三垂线定理证明空间中直线的垂直问题． [教参独具]　已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线DC与AB的位置关系是________． 垂直 在△ABC中，因为∠A＝90°，所以CA⊥AB.   又因为DA⊥平面α，所以AC是斜线DC在平面α上的射影，所以DC⊥AB. 跟踪训练 1．若直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A，B的一点，有下列关系： ①PA⊥BC； ②BC⊥平面PAC； ③AC⊥PB； ④PC⊥BC. 其中正确的是________． ①②④ 因为C为以AB为直径的圆上异于A，B的一点， 所以CA⊥CB. 因为直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， 所以PA⊥平面ABC， 因此PA⊥BC，①正确； 又PA∩CA＝A，且PA，CA⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC，②正确； 又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC，④正确； 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，即△PAC是 以∠PAC为直角的直角三角形，所以AC与PC不垂直； 若AC⊥PB，根据CA⊥CB，PB∩CB＝B，PB， CB⊂平面PBC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC， 这与“AC，PC不垂直”矛盾，故AC，PB不垂直，③错误． 2．PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥PA.求证l⊥AO. $$