专题1.3 空间向量与立体几何大题全归纳（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学期末复习讲义以空间向量与立体几何为核心，通过表格系统梳理求角、体积、位置关系证明等七大考点，明确复习目标与考情规律，再以知识框架整合空间向量法、几何法等解题方法，构建“考点-方法-题型”递进的知识脉络。 讲义亮点在于分层练习与方法创新，基础通关练夯实求异面直线角等基础题型，重难突破练聚焦存在性问题，如设参列方程解决“是否存在点使二面角为特定值”，培养逻辑推理与创新意识。典例变式覆盖多地区期末真题，教师可精准分层教学，学生能自主查漏提升。

专题1.3 空间向量与立体几何大题全归纳 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 求异面直线所成角 掌握求异面直线所成角，注意角的范围 必考点，会考小题，考大题时属于偏容易。 求线与平面所成角 掌握求直线与平面所成角，注意角的范围 高频必考点，会考小题，常出现在立体几何大题第二问。 求二面角的平面角 掌握求二面角的平面角，注意角的范围 高频必考点，会考小题，常出现在立体几何大题第二问。 空间几何体的体积与表面积 掌握柱、锥、台、球的体积与表面积公式，尤其注意组合体、切割体的计算，以及等积变换思想。 必考点，作为大题第一问或独立小题出现，属于基础送分题，但需细心计算。 空间中点、线、面的位置关系证明 熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理，注重逻辑严谨性。 大题第一问常考平行或垂直证明，是后续建系求角的基础，书写规范易扣分。 距离问题（点面距、线线距、线面距等） 掌握向量法求点到平面的距离公式（投影法），了解异面直线距离、线面距离的转化思想。 可单独作为一问考查，也常隐含在体积计算或最值问题中。 存在性问题与探索性问题 掌握用空间向量法解决是否存在点使线面角为定值、二面角为特定值等问题，常用设参、列方程求解。 大题压轴问常见，难度较高，考查空间想象与代数处理能力。 知识点01 空间向量法求角度 1、 求异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 范围： 2、 求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 范围： 3、 求二面角的平面角 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 范围： 知识点02 空间向量法求距离问题 1、 异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 2、点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． A为平面α外一点（如图）， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 知识点03 几何法求角度 1、 利用定义法求线线角 利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 2、 定义法求线面角 能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 3、 体积法求线面角 如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 4、 定义法求二面角 如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 5、 三垂线法求二面角 当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 6、 垂面法求二面角 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 7、 射影面积法求二面角 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 8、 补形法求二面角 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 题型一 建系求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 根据异面直线所成角的定义，建系求正余弦 【典例1】（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【典例2】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点. (1)求EF； (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值. 【变式1】（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式2】（24-25高二上·福建泉州·期末）如图，为圆锥的底面直径，点，为底面上的三等分点，点，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若，，求直线与所成角的余弦值． 题型二 建系求线面角 解｜题｜技｜巧 根据线面角的定义，建系求角正余弦 【典例1】（25-26高二上·重庆·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为棱上的点，且．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【典例2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，点分别为的中点，且平面平面．    (1)求证：直线平面． (2)求与面所成角的正弦值． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【变式2】（24-25高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，. (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角正弦值. 题型三 建系求二面角 解｜题｜技｜巧 根据二面角的定义，建系求角正余弦 【典例1】（24-25高二上·山东日照·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)若平面于点，求二面角的余弦值． 【典例2】 （24-25高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，平面与棱PC交于点G，且平面． (1)指出点G在棱PC上的位置，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）如图，在四棱柱中，，点分别为.与AB的中点. (1)证明：平面； (2)当底面且三棱锥的体积为时，求平面.与平面的夹角的正弦值. 题型四 几何法求线线角 解｜题｜技｜巧 根据定义法，平移直线形成平面角，求角 【典例1】（25-26高二上·上海·月考）在直三棱柱中，分别为的中点，．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与的所成角． 【典例2】（25-26高二上·山东德州·期中）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点. (1)求证：平面PCB； (2)直线AD与直线CN所成角的余弦值. 【变式1】（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式2】 （24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 题型五 几何法求线面角 解｜题｜技｜巧 根据定义法跟等体积法求高，来求线面角 【典例1】（24-25高二上·上海·期末）如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【典例2】（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)求直线BC与平面所成角的余弦值. 【变式1】（24-25高二上·湖北·期末）如图，正方体的棱长为为的中点．点在上． (1)求证：平面； (2)若．求直线与平面所成角的大小； 【变式2】（24-25高二上·云南玉溪·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，. (1)证明：平面； (2)求PB与平面所成角的正弦值. 题型六 几何法求二面角 解｜题｜技｜巧 二面角的几何方法比较多，相对而言辅助线也比较难找，在建系不好解决问题时，考虑可以用几何法来求。 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【典例2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【变式1】（24-25高二下·江西南昌·期末）如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面BDE； (3)求二面角的正切值. 【变式2】（25-26高二上·陕西商洛·期中）如图，已知直三棱柱，，，为的中点.    (1)求点到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 题型七 空间向量法求角度 解｜题｜技｜巧 利用空间向量基底来表示向量，然后再来求角度，用向量的方法来求正余弦值 【典例1】（24-25高二上·云南红河·期末）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【典例2】（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为，为中点，．    (1)当时， （i）求的长； （ii）求点到平面的距离； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【变式1】（24-25高二上·山东泰安·期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 题型八 求体积相关 解｜题｜技｜巧 熟记体积公式，难度在找高，求高。 【典例1】（24-25高二上·广东·期末）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【典例2】（24-25高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【变式1】（25-26高二上·云南·月考）如图，平面平面，四边形为矩形，平面.    (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若分别为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 【变式2】（2025高二上·江西南昌·专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在球O的表面上. (1)若，求球O的表面积； (2)若是边长为的等边三角形，，球O的半径为，求三棱锥的体积. 题型九 求角度最值与范围 解｜题｜技｜巧 用参数来表示出所求角度的正弦或者余弦，然后用函数的方法来求最值。 【典例1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【典例2】（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，已知直三棱柱，点为棱的中点，点分别为棱上的动点，记平面与平面所成角为.     (1)求证：； (2)若，请完成以下两个问题： ①求证：平面平面； ②当角取最大时，在平面与平面的交线上存在一点，计算直线与平面所成角的正弦值的最大值.（可以使用（1）中结论） 【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点. (1)证明：平面平面. (2)若，求四棱锥的体积. (3)点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 题型十 存在性问题 解｜题｜技｜巧 利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【典例1】（25-26高二上·山东德州·期中）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（25-26高二上·四川·期中）如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·吉林·期末）如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 2．（24-25高二上·广西来宾·期末）如图，正四棱柱中，，点在上，. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 3．（24-25高二下·天津·期末）三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 4．（25-26高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 5．（25-26高二上·山西晋中·月考）如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且. (1)若，证明：； (2)当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·广东汕头·期中）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为，为线段上一动点，． (1)当时，证明：平面． (2)当时，若，平面平面，求二面角的正弦值范围． 2．（25-26高二上·山东青岛·期中）用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线.    (1)说明：曲线为椭圆； (2)建立适当坐标系，求曲线的方程； (3)当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小. 3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．    (1)证明：； (2)求三棱柱体积的最大值； (3)当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围． 4．（24-25高二上·福建莆田·月考）如图，在平行六面体中，平面ABCD，，， (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 3．（2025·四川成都·一模）如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合）. (1)求证： (2)若平面与平面所成角的正弦值不小于，求线段的取值范围. (3)设点到面的距离为，四面体的外接球半径为，求的取值范围. 4．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面为棱上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面交于点，证明：； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 5．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．在锐角中，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点；使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量与立体几何大题全归纳 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 求异面直线所成角 掌握求异面直线所成角，注意角的范围 必考点，会考小题，考大题时属于偏容易。 求线与平面所成角 掌握求直线与平面所成角，注意角的范围 高频必考点，会考小题，常出现在立体几何大题第二问。 求二面角的平面角 掌握求二面角的平面角，注意角的范围 高频必考点，会考小题，常出现在立体几何大题第二问。 空间几何体的体积与表面积 掌握柱、锥、台、球的体积与表面积公式，尤其注意组合体、切割体的计算，以及等积变换思想。 必考点，作为大题第一问或独立小题出现，属于基础送分题，但需细心计算。 空间中点、线、面的位置关系证明 熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理，注重逻辑严谨性。 大题第一问常考平行或垂直证明，是后续建系求角的基础，书写规范易扣分。 距离问题（点面距、线线距、线面距等） 掌握向量法求点到平面的距离公式（投影法），了解异面直线距离、线面距离的转化思想。 可单独作为一问考查，也常隐含在体积计算或最值问题中。 存在性问题与探索性问题 掌握用空间向量法解决是否存在点使线面角为定值、二面角为特定值等问题，常用设参、列方程求解。 大题压轴问常见，难度较高，考查空间想象与代数处理能力。 知识点01 空间向量法求角度 1、 求异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 范围： 2、 求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 范围： 3、 求二面角的平面角 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 范围： 知识点02 空间向量法求距离问题 1、 异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 2、点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． A为平面α外一点（如图）， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 知识点03 几何法求角度 1、 利用定义法求线线角 利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 2、 定义法求线面角 能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 3、 体积法求线面角 如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 4、 定义法求二面角 如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 5、 三垂线法求二面角 当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 6、 垂面法求二面角 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 7、 射影面积法求二面角 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 8、 补形法求二面角 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 题型一 建系求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 根据异面直线所成角的定义，建系求正余弦 【典例1】（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由已知条件求出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可； （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 【典例2】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点. (1)求EF； (2)求直线EF与BD所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解法一：以为基底，根据结合空间向量的数量积运算求解即可； 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，再根据两点间的坐标公式求解即可； （2）解法一：根据空间向量数量积运算可得，结合求解即可； 解法二：根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）解法一：以为基底，则，，. 因为. 因此 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA， 由，，所以， 在，中，得， 有，则，即AQ是的平分线， 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由三余弦定理知，得， 所以，，，， 则，， 所以. （2）解法一：因为 而，所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 解法2： 由（1）知， 所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 【点睛】 【变式1】（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在正方体中建立空间直角坐标系，得到点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量数量积为0证明线线垂直； （2）由（1）知道两直线方向向量的坐标，由向量夹角的余弦值的绝对值求得线线角的余弦值. 【详解】（1）在正方体中， ∴以为坐标原点，为坐标轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ （2）由（1）知，， 设异面直线与所成角为， 则 【变式2】（24-25高二上·福建泉州·期末）如图，为圆锥的底面直径，点，为底面上的三等分点，点，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连结，，由已知可证得为等边三角形，则可得，利用线面平行的判定，即可得证； 证法二：连结，，取中点，连结，，以为原点，建立空间直角坐标系，设，，可得，求得平面的一个法向量，可得，即，即可得证； 证法三：同证法二建立空间直角坐标系，可得，，则得，进而得 ，利用线面平行的判定，即可得证； （2）解法一：同（1）中证法二建立空间直角坐标系，可求得， ，利用坐标运算即可求得直线与所成角的余弦值； 解法二：连结，由余弦定理可得，则，由勾股定理的逆定理可知，以C为原点，建立空间直角坐标系，可得，，再利用坐标运算即可求得直线与所成角的余弦值； 解法三：连结，连结， 可取为空间中的一个基底，利用向量线性运算可得， ，，设异面直线与所成角为，由计算即可得到直线与所成角的余弦值； 解法四：连结，，可得 ，取中点，连结，则 ，则直线与所成角即为或其补角，在中，由余弦定理可求得，过点作，交于，连结，，可求得 在中，由余弦定理即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）证法一：因为M，N分别为，的中点，所以， 连结，，因为点，为的三等分点， 所以，为等边三角形， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 证法二：连结，，因为点，为的三等分点， 所以，为等边三角形， 所以，所以， 取中点，连结，，则，，平面， 又平面，所以， 设，，则， 以为原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 又点，分别为，的中点，则， ， 设平面的一个法向量为， 所以，则， ， 取，，可得， 所以，即， 又平面，平面，所以平面， 证法三：连结，，因为点，为的三等分点， 所以，为等边三角形， 所以，所以， 取中点，连结，，则，，平面， 所以，又，，则， 以为原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 则，所以，由四点不共线，易得， 又平面，平面，所以平面. （2）解法一：取CD中点Q，连结OQ，OP，则，， 平面，又平面，所以， 又，，则 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 解法二：连结，，为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 则，由勾股定理得逆定理可知， 过点C作直线，因为平面，所以平面， 以C为原点，，所在的直线为，轴，l为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 解法三：连结，因为点，为的三等分点，所以， 连结，则平面，所以，，， 又，，则， 取为空间中的一个基底，可得：，， ， 又，， ， 所以， ， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 即直线与所成角的余弦值为， 解法四：连结，，因为点，为的三等分点，所以， 为等边三角形，所以，所以， 取中点，连结，所以为的中位线，， 所以直线与所成角即为或其补角， 又平面，所以， 又，， 则，， 在中，由余弦定理可得 ， 过点作，交于，连结，，则平面， 所以，，， 所以 在中，由余弦定理可得 ， 所以直线与所成角的余弦值为. 题型二 建系求线面角 解｜题｜技｜巧 根据线面角的定义，建系求角正余弦 【典例1】（25-26高二上·重庆·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为棱上的点，且．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据题意建立合适的空间直角坐标系，结合线面角的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以， 所以在中，， 所以，所以， 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 所以，即直线与平面所成角的大小为 【典例2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，点分别为的中点，且平面平面．    (1)求证：直线平面． (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取的中点，连接，易证四边形是平行四边形，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以 则四边形是平行四边形，即证得 因为，平面平面， 所以平面.    （2）取AD的中点为点O，因为是正三角形， 所以,又平面平面．且相交于, 又在平面内， 所以平面． 再过点作的平行线，交与点, 易知两两垂直， 如图所示建立空间向量坐标系，    点O为AD的中点，设，则 设平面PBC的法向量为，则 取，即 故与平面所成角的正弦值为． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，即可利用空间向量法证明线面平行； （2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，则，且， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 建立如图空间直角坐标系， 由，得， 则， 由，得，即， 得，解得，即. 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，有，则， 又平面，所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设与平面所成角为（为锐角）， 则， 所以， 即与平面所成角的余弦值为. 【变式2】（24-25高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，. (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，连接，由，得到，运用线面平行判定定理得到平面和平面，得到平面平面，再用面面平行性质得到线面平行即可.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】（1）证明：过点作交于点，连接 因为，且， 又因为，故，所以 又因为平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面 又，平面，则平面平面， 因为平面，所以平面. （2）以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，设， 由即得，， 易知，平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 故直线与平面所成角的正弦值为 题型三 建系求二面角 解｜题｜技｜巧 根据二面角的定义，建系求角正余弦 【典例1】（24-25高二上·山东日照·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)若平面于点，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （2）求平面的法向量，可得直线的方向向量，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）因为为等边三角形，是的中点，则， 且平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面，则直线的方向向量可以为， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的法向量可以为， 则， 由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【典例2】 （24-25高二上·安徽合肥·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，平面与棱PC交于点G，且平面． (1)指出点G在棱PC上的位置，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)点G在棱PC上靠近点C的三等分点处，理由见解析． (2). 【分析】（1）根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，结合数量积的坐标表示求出位置. （2）求出平面平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）四棱锥的底面为正方形，底面，则直线两两垂直， 以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，则， 由平面，平面，得， 则，解得， 所以点G在棱PC上靠近点C的三等分点处. （2）由（1）知 ，， 设平面的法向量，则取，得， 由平面，得平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值. 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面的向量求法计算即可； （2）求出平面的法向量，由平面与平面所成角的向量求法计算即可． 【详解】（1）过作于，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为，所以△为等边三角形， 取的中点，连接，则，即， 因为，所以， 因为底面，所以，，两两互相垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，0，，，0，，，1，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为．    【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）如图，在四棱柱中，，点分别为.与AB的中点. (1)证明：平面； (2)当底面且三棱锥的体积为时，求平面.与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则可得点是的中点，再结合是的中点，，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知的体积可求得，然后以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接，因为点是的中点，为平行四边形，则，三点共线， 则点是的中点，且是的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）当底面时， 所以， 因为底面，底面， 所以，， 因为在四棱柱中，，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设平而的法向量， ，取，则， 则平面的法向量， 平面的一个法向量为 设平面与平面夹角为，为锐角， 则， 所以. 故平而与平面的夹角的正弦值为. 题型四 几何法求线线角 解｜题｜技｜巧 根据定义法，平移直线形成平面角，求角 【典例1】（25-26高二上·上海·月考）在直三棱柱中，分别为的中点，．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与的所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得出平面； （2）建立空间直角坐标系，由空间向量进行求解． 【详解】（1）分别是的中点，， 平面，平面， 又平面，， 是的中点，， 又，平面，平面， 平面． （2）以为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示：    则， 得，， 则， 设异面直线与的所成角为， 得， 故异面直线与的所成角为． 【典例2】（25-26高二上·山东德州·期中）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点. (1)求证：平面PCB； (2)直线AD与直线CN所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理求解； （2）根据异面直线夹角的公式求值. 【详解】（1）（1）法一：取的中点，连接,则，. 依题意得，，， 则四边形为平行四边形，， 为的中点，所以，所以， 又平面，平面，故平面. 法二：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别是的中点， 可得：，，，， ，，，， 可得，， 设平面的法向量， 则有即，令，则，， 则，又平面 平面. （2）（2）法一：由（1）知，， 则直线与直线的所成角为直线与直线的所成角 因为，，所以 在中， 则直线与直线所成角的余弦值为 法二：由（1）知，, , 所以直线与直线所成角余弦值为. 【变式1】（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系应用数量积为0证明垂直关系； （2）根据空间直角坐标系，分别求出和，然后利用异面直线向量的夹角求法即可求解. 【详解】（1） 由题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体棱长为2，则， 则，所以， 所以，所以. （2） ，， 设异面直线与所成角为， 故. 所以. 【变式2】 （24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设边的中点为，结合面面垂直的性质定理可得平面，则四棱锥的高可求，再利用棱锥的体积公式求解可得答案； （2）法一：利用几何法，在中利用余弦定理求解即可； 法二：利用空间向量法，建立空间直角坐标系，结合线线所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）等腰中，设边的中点为，易知， 因为平面底面，且底面， 则平面，在中，，所以， 则体积. （2）法一：因为， 所以即为异画直线和所成的角或其补角； 由（1）知平面底面，且平面底面 矩形中，， 因为平面底面，且底面， 所以面，又因为面，从而， 中，，所以 同理可得中，， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 法二：以的中点为为原点， 为轴建立空间坐标系，    则， 所以， ， 所以异面直线和所成角余弦值为. 题型五 几何法求线面角 解｜题｜技｜巧 根据定义法跟等体积法求高，来求线面角 【典例1】（24-25高二上·上海·期末）如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】根据条件，直接利用圆锥的体积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为，则圆的面积为， 又，所以圆锥的体积为. （2）易知面圆，又点是弧的中点，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，又点是母线的中点，所以， 易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 【典例2】（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)求直线BC与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用空间向量法来求直线的方向向量与平面内的两直线的方向向量的数量积为0，即可证明； （2）利用空间向量法来求平面的法向量，再求线面角的正弦值，然后再求余弦值即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，由于， 所以可以如图以为坐标原点建立空间直角坐标系： 又由于是的中点，是的中点， 则， 所以， 由于所以， 所以， 又因为平面， 所以平面； （2）由（1）得：， 设平面的法向量为， 则，令，得， 即，设直线BC与平面所成角为， 则， 所以. 即直线BC与平面所成角的余弦值为. 【变式1】（24-25高二上·湖北·期末）如图，正方体的棱长为为的中点．点在上． (1)求证：平面； (2)若．求直线与平面所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线线垂直推出线面垂直，结合图形即可证得； （2）先由和相关条件推出为中点，建系后，写出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）∵是正方体， ∴平面，又平面，∴， 易得，又平面， ∴平面， 又点M在上，所以平面 （2）连接，在正方体中，根据平面， ∵平面，∴， 又，∴， ∵平面，∴， 又为中点，∴为中点； 根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示： 则， ∴，则， 设平面法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则，因，故. 故直线与平面所成角为. 【变式2】（24-25高二上·云南玉溪·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，. (1)证明：平面； (2)求PB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由，，，得， 而，则，又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 又，设PB与平面成角， ， 所以PB与平面所成角的正弦值为. 题型六 几何法求二面角 解｜题｜技｜巧 二面角的几何方法比较多，相对而言辅助线也比较难找，在建系不好解决问题时，考虑可以用几何法来求。 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）根据面面角的空间向量公式表示出，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴， 过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，，， 设， 则， ，． 当时， ，． 设异面直线与所成的角为，从而， 因此，异面直线与所成的角为； （2）由（1）知，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为， 则， 由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则， 则，所以，所以， 所以，又，所以， 即锐二面角的范围为． 【典例2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 【变式1】（24-25高二下·江西南昌·期末）如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面BDE； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交BC于点O，连接DO，先证，然后由线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明，由线面垂直的判定定理可得平面，即，然后由线面垂直的判定定理即可证明平面； （3）设正三棱柱底边边长为2a，取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH，由二面角的定义可得即为所求二面角的平面角，通过三角形中的边角关系即可求解. 【详解】（1） 设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）在正三棱柱中，且， 又，，可得正方形，故， 因为D，E分别是AC，的中点，所以，故得； 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面BDE，故平面； （3） 设正三棱柱底边边长为2a， 取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH， 因为三角形ABC为正三角形，且F为BC中点，所以， 因平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为D为AC中点，G为FC中点，所以，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面HGD， 所以平面DHG，又平面DHG，所以， 则即为所求二面角的平面角， 因， 在直角三角形BCE中，， 又，所以在中，， 则， . 即二面角的正切值为. 【变式2】（25-26高二上·陕西商洛·期中）如图，已知直三棱柱，，，为的中点.    (1)求点到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用坐标法求点到面的距离即可； （2）利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点到平面的距离为：， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）有平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 题型七 空间向量法求角度 解｜题｜技｜巧 利用空间向量基底来表示向量，然后再来求角度，用向量的方法来求正余弦值 【典例1】（24-25高二上·云南红河·期末）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用三角形全等先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的公式可得答案. 【详解】（1）连接， 因为，且，所以为正三角形， 因为为的中点，所以，且， 所以，则， 又，所以，所以，所以， 又平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典例2】（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为，为中点，．    (1)当时， （i）求的长； （ii）求点到平面的距离； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)（i）3；（ii）； (2). 【分析】（1）设，（i）由，应用向量数量积的运算律求模长即可；（ii）连接，相交于点，连接，进而构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求点面距离； （2）应用向量数量积的运算律及向量垂直的关系得、，再由线面垂直的判定证明平面，进而得到平面的法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）设，且，， 所以，，， （i）当时，. （ii）连接，相交于点，连接， 因为，底面是正方形，所以四棱锥为正四棱锥， 分别以为轴建立空间直角坐标系，   ， 所以， 设是平面的一个法向量，则，令得， 所以，即点到平面的距离为； （2）因为，所以； 又，所以， 由，且平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量，又， 所以， ， ， 所以，故与平面所成角的正弦值为. 【变式1】（24-25高二上·山东泰安·期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，得出，再左右平方应用数量积公式计算即可求解； （2）空间向量法求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设， ， ， ∴； （2） ， ∴， 又， ， ∴， ∴直线与所成角的余弦值为． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）分别求出平行六面体的底面积和侧面积，由即可求解； （2）数形结合，作出辅助线，利用，，即可求证，根据平面， ，可知即为所求的侧棱与底面的所成角，计算从而得解； （3）根据题意可得， ，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角. 【详解】（1）底面是边长为1的正方形，则,, ，， 所以， 所以该平行六面体的表面积. （2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH， 此时平面 ，，，平面， 面， ，， ，得证. 因为，则, 则， 所以 , 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 所以侧棱与底面的所成角为. 所以，侧棱与底面的所成角为. （3）由题意，， ， ， 所以． 而，， 则 ， 所以， 所以直线与所成角为. 题型八 求体积相关 解｜题｜技｜巧 熟记体积公式，难度在找高，求高。 【典例1】（24-25高二上·广东·期末）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 【典例2】（24-25高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①取的中点，连接，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证明∥面；②建立空间直角坐标系，通过空间向量可求直线与平面间的距离. （2）设，利用向量法求得正弦值的最大值，即此时的值，从而求得三棱锥的体积． 【详解】（1）①如图，取的中点，连接，有，， 又，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以∥面； ②如图，取的中点，连接， 因为，所以， 由， 四边形是正方形，有， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有， 以坐标原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，知， 从而有，， 有， 设平面的法向量为， 由，取，则， 得平面的一个法向量为， 因为∥面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以与平面间的距离为. （2）， 设， ， 底面的一个法向量为, 设直线与底面所成的角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，取最大值， 此时， 所以到平面的距离为， 又，所以此时三棱锥的体积为． 【变式1】（25-26高二上·云南·月考）如图，平面平面，四边形为矩形，平面.    (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若分别为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）由线面平行的性质定理证明； （2）①；②设，将表示为的函数求最值. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以. （2）①延长至点处，使得，连接，则，且，所以几何体为三棱柱. 因为，平面平面，平面平面， 所以平面，则. 设，则， 则，当且仅当时，等号成立. 因为平面，平面，所以， 又四边形为矩形，所以，又平面， 所以平面， 因为，平面平面，所以平面， 则几何体的体积， 所以几何体的体积的最大值为. ②当几何体的体积取得最大值时，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    则. 设，则， 所以. 令， 则. 令， 因为，所以，所以， ，所以直线与所成角的余弦值的取值范围为. 【变式2】（2025高二上·江西南昌·专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在球O的表面上. (1)若，求球O的表面积； (2)若是边长为的等边三角形，，球O的半径为，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将四面体补成一个长方体，使得四面体的条棱为长方体的条对角线，设长方体棱，，，通过三棱锥的棱长求得的值，进而根据求解外接球的半径，即可求解外接球表面积. （2）首先根据线面垂直及面面垂直的判定定理，得出球心与点所在平面垂直于底面，在根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角与，最后分类讨论点的位置计算三棱锥的高即可. 【详解】（1）如图，因为，所以可以将四面体补成一个长方体，使得四面体的条棱为长方体的条对角线， 设长方体棱，，，球的半径为， 由此可得：，即得：， 由，解得：， 因此可得：球的表面积为 （2） 如图，取，的中点分别为，，设三棱锥的外接球球心为，半径为， 作于，连接，，， 易知，，、平面， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面， 作于点，平面平面，则平面， 故三棱锥的体积， 由题意可知，，可得：， ， ，， 若在直线的下方，则 ， 又，解得：， 若在直线的上方，则 ， 又，解得：， 综上所述三棱锥的体积或. 题型九 求角度最值与范围 解｜题｜技｜巧 用参数来表示出所求角度的正弦或者余弦，然后用函数的方法来求最值。 【典例1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明平面PAD可完成证明； （2）过A点做平面ABCD的垂线，建立以A原点的空间直角坐标系，设，由空间向量知识可得关于的表达式，即可得答案. 【详解】（1）因平面平面ABCD，，平面平面ABCD， 平面ABCD，则平面PAD，又平面PAD，则； （2）由（1）可得平面PAD，过A做AD的垂线，设垂线交PD为E， 连接AE，则AB，AD，AE两两垂直.如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 由题目数据可得：. 设，其中，则， 又，，则. 由题可得平面ABCD的法向量可取， 则， 则当时，取最小值，则. 即的最大值为. 【典例2】（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，已知直三棱柱，点为棱的中点，点分别为棱上的动点，记平面与平面所成角为.     (1)求证：； (2)若，请完成以下两个问题： ①求证：平面平面； ②当角取最大时，在平面与平面的交线上存在一点，计算直线与平面所成角的正弦值的最大值.（可以使用（1）中结论） 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量求出面面角的余弦即可. （2）①由（1）的信息，利用空间位置关系的向量证明推理即得；②求出取最小值时位置，并求出直线方程，再借助点到直线距离确定线面角的正弦最大值. 【详解】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，， ，令平面的法向量， 则，取，得，平面的法向量， 因此， ，， ，而， 所以. （2）①，由（1）得，，平面的法向量， ，令平面的法向量， 则，取，得，， 所以平面平面. ②由（1）知，，当且仅当或时取等号， 由对称性，不妨取，则，平面与平面的交线过点， 直线的方程为，由平面，且知， 要直线与平面所成角的正弦值的最大值，当且仅当长最小， 即长为点到直线的距离，此时， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可. 【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点. (1)证明：平面平面. (2)若，求四棱锥的体积. (3)点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取的中点，利用二面角的定义及余弦定理推理证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）结合锥体体积公式计算得解. （3）以为原点建立空间直线坐标系，利用空间向量求出线面角正弦的函数关系，再求出函数最大值即可. 【详解】（1）设的中点分别为，连接， 由，得，由，得， 正方形中，，则二面角的平面角为， 由余弦定理，得， ，则，由，平面， 得平面，而平面，因此，又， 平面，于是平面，而平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，四棱锥的高为，点在线段上，且， 则点到平面的距离是点到平面距离的， 所以四棱锥的体积为． （3）由（1）知，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则 ， 当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦的最大值为. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明平面，根据线面垂直即可求解， （2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求解， （3）根据棱台的几何特征，可根据线面角以及二面角的几何法，结合三角形的边角关系可得，即可根据圆的性质，结合图形关系和斜率的关系即可求解. 【详解】（1）过作，取中点为，连接, 由于，故四边形为等腰梯形， 故, 由于为等边三角形，故, 平面, 故平面, 平面,故 （2）若平面平面，且两平面的交线为,, 平面， 故平面, 建立如图所示的空间直角坐标系， ,故, , 则， 故, 故 故直线与直线所成角的余弦值为 （3）设到平面的距离为，则，且在底面的投影分别为， 由于,故为， 则为钝角时，此时在三角形的外部， ， ， 故， 当为锐角时，此时在三角形的内部， ， ， 故， 为直角时，也符合， 故， 设是（上半圆，不包括端点）上的任意一点， 则可看作是半圆上一点到的斜率， 根据图可知：当直线与半圆相切时，此时直线的斜率最小为, 因此到的斜率的取值为， 因此 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 题型十 存在性问题 解｜题｜技｜巧 利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。 【典例1】（25-26高二上·上海·期中）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)存在；棱长均为，底面面积 【分析】（1）根据周长定义，结合题意求出各个棱长，继而即可求解； （2）设球半径为，所在小圆的半径为，所在圆的半径为，棱台高为正四面体高的一半，构造直角三角形，利用勾股定理列式求解即可； （3）设平行六面体的棱长为，底面平行四边形的面积，底面平行四边形的内角为，根据周长及体积相等列式求解即可. 【详解】（1）棱台的周长为， 正四面体的周长为， 由正四面体的性质，且截面底面， 均为全等的正三角形， 所以， 所以棱台周长为6． （2）设球半径为， 因为为中点，所以所在小圆的半径为， 所在圆的半径为， 棱台高为正四面体高的一半，所以， 因为球心和上述两圆的圆心共线，所以球心到上下底面的和或差为， 于是， 解得，此时棱台的两个底面在球心的同侧． （3）设平行六面体的棱长为， 底面平行四边形的面积，底面平行四边形的一个内角为． 下面证明存在符合条件的平行六面体． 由（1）的推导过程可知，棱台周长为定值6，故周长，于是棱长， 因为侧棱垂直于底面，所以高为，所以，于是． 因为底面是平行四边形，所以，所以， 由于正四面体的体积为，所以，于是， 所以方程有唯一锐角解 综上，存在棱长均为，底面面积，底面锐角内角为， 侧棱垂直于底面的平行六面体，使得周长和体积都等于棱台． 【典例1】（25-26高二上·山东德州·期中）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在图1中，证得，取AC的中点O，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）以为原点，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设点到平面的距离为d，根据题意，求得，得到点到平面的距离为，令得到，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：在图1中，由，可得， 所以，则， 因为，可得，所以， 在图2中知，取AC的中点O，连接QO，BO， 又因为Q为PC的中点，可得，所以， 因为，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：由题意知，平面平面，平面平面，且，所以平面ABC，所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 设平面的法向量为，因此， 令，可得，，所以， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为， 在中，，可得， 因为三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为d，可得，因此， 因此点到平面的距离为， 令（），由（2）得，， 又因为平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 【变式1】（25-26高二上·四川·期中）如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，此时. 【分析】（1）证明，再通过线面平行的判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面所成角的正弦值； （3）设，其中，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）， ，又平面，平面， 平面. （2）由， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， .因此，两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系.    在等腰梯形中，， 因此易证得，故， 则. 设平面的法向量为，则， 即，取，则，则. 设直线与平面所成角为，则. （3），设，则. 设平面的法向量为，则有， 即，取，则，即. 由题（2）可知，平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）. 因此，棱上存在点G，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·吉林·期末）如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用，求出异面直线的夹角； （2）求出平面的法向量，进而得到，所以，所以平面. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    得，，，，，， 所以，， ， 所以异面直线EF与所成角为； （2）设平面的法向量为， ，， 所以，所以，解得， 令，则，所以平面的法向量为， 因为，所以，所以， 所以平面. 2．（24-25高二上·广西来宾·期末）如图，正四棱柱中，，点在上，. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴的建立空间直角坐标系，利用数量积为零可得，，结合线面垂直的判定定理可得结论； （2）利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，结合（1），利用空间向量夹角余弦公式可求二面角的余弦，进而可求出该二面角的正弦值. 【详解】（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴的建立空间直角坐标系， 依题设，、、、， 则，，，． 因为，，故，． 又，、平面，所以平面． （2）设向量是平面的一个法向量， 则，取，则，，则， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 则． 所以，. 所以二面角的正弦值为. 3．（24-25高二下·天津·期末）三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出平面的一个法向量为，再证明即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用线面角的公式求解即可； （3）利用空间向量求出点到平面的距离为，再求出的面积即可. 【详解】（1）以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2）∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3），平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 4．（25-26高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可； （2）以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. （3）借助空间中点到平面距离公式计算即可得. 【详解】（1）因为，， 则，即， 所以在中，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为底面，平面，所以， 结合（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取，则， 设平面的法向量， 则，取，则， 所以， 由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为； （3）由（2）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 5．（25-26高二上·山西晋中·月考）如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一动点，且. (1)若，证明：； (2)当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用，可得，再由求出的值，进而即可求解； （2）由题意可得，可得，再利用向量法求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直. 分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，， . 因为是的中点，所以. 设，， 则，即， 所以， 由，得， 即，得，即是的中点， 所以. （2）设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则三棱锥的体积， 三棱锥的体积. 由已知可得，即. 得，，， 设平面的法向量为， 则，即， 得，取，得，所以， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·广东汕头·期中）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为，为线段上一动点，． (1)当时，证明：平面． (2)当时，若，平面平面，求二面角的正弦值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）找到中位线，由中位线得到线线平行，从而证明线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，结合正方形对角线垂直得到线面垂直，从而得到线线垂直，然后由直三棱柱的体积求出棱长. 解法1，过作，由几何法得到二面角和二面的平面角，从而得到二面角的平面角，由线段关系得到，然后由和差角公式求得，由的取值范围求得范围. 解法2，延伸平面交平面与，由几何法得到二面角的平面角，由线段关系求得，由和差角公式求得，由的取值范围求得范围. 解法3，由空间中三条线两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到点坐标和向量坐标，由已证可直接写出平面的一个法向量，利用向量的数量积求得平面的一个法向量，再利用向量的数量积求得二面角的余弦值，从而得到其正弦值，由的取值范围结合二次函数性质求得范围. 【详解】（1）当时，即为的中点，设，连接， 则是的中位线，则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在矩形中，，故矩形为正方形，从而. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 从而，在直三棱柱中，平面，故有， 又因为，平面， 所以平面， 从而且，设， 依题意，，且， 于是，，即. 解法1：过作垂直于．垂足为，过作交于点，连接． 由（1）知，平面，从而. 又因为，所以平面，从而，故为二面角的平面角. 又因为且，所以为二面角的平面角． 又，故二面角的平面角为， 设二面角的平面角为，依题意，. 因为，且，故. 由于，，故有，从而， 所以 因为，所以， 从而， 于是． 因此二面角的正弦值范围为. 解法2：过点作交于点，连接， 显然，故四点共面． 因为平面，从而且. 故为二面角的平面角. 因为，，所以， 又因为，所以，. 在直角中，， 故有. 因为，所以. 于是. 因此二面角的正弦值范围为. 解法3：∵， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∵平面，∴为平面的一个法向量， ∵，∴， ， 设向量为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设二面角为， 则， ∴， 令， 又∵，∴，∴， ∴. 2．（25-26高二上·山东青岛·期中）用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线.    (1)说明：曲线为椭圆； (2)建立适当坐标系，求曲线的方程； (3)当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)说明见解析. (2)坐标系见解析，椭圆方程为（依赖于坐标系）. (3) 【分析】（1）可将“  的点”视作以  为顶点、  为轴的圆锥面上的点，然后根据题意判定即可； （2）建立坐标系，利用空间向量运算求解； （3）法一：利用坐标系中坐标运算求解；法二：利用面面角的定义，使用线面垂直的判定定理，采用几何方法求解. 【详解】（1）曲线 W 是椭圆的几何理由： 可将“  的点”视作以  为顶点、  为轴的圆锥面上的点， 圆锥轴截面的半顶角为 ， 点，点的轨迹为此圆锥面与平面的交线. 因为已知直线与平面垂直，垂足为，，所以， 因为在直角三角形中，，，点在线段上，为的平分线， 所以与平面所成的角为，， 若圆锥的轴与平面所成角（）大于圆锥轴截面的半顶角（）， 按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆. （2）可取空间直角坐标系：令  为原点 ，令平面为平面， 由于 平面，可令 过点 平行于的直线为  轴，    又知  中，，， 因为点  在  上且 平分  ， 由角分线定理得， 则，. 设平面  内任意点 坐标为. 向量，. 由  可用向量夹角公式， 所以， 化简可得，所以曲线的方程为； （3）四面体  的底面可取三角形 (其平面即)， 面积为.  若 在上一步所求椭圆上，则其到平面的距离即. 四面体体积， 要使  最大，需在椭圆上使 取最大值. 下面用两种方法计算求解. 法一：由椭圆方程可知，当时，最大，此时，  取上顶点  . 取平面  的一个法向量为，  由 与 可求出 与 ， 平面  的法向量， 由，得，令，则， 所以平面 的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的大小为 30°. 综上，当四面体体积最大时，平面  与平面 α 的夹角为 30°. 法二：由上可知，又因为，所以， 因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 由，平面平面， 所以即为平面与平面夹角，即平面与平面的夹角为 30°. 3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．    (1)证明：； (2)求三棱柱体积的最大值； (3)当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）利用基本不等式和棱柱的体积公式即可得到最大值； （3）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，再利用换元法和二次函数性质即可得到其取值范围. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面平面， 所以． 又，，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）设，，则，且， 因为， 则，当且仅当时，等号成立． 则三棱柱的体积， 所以三棱柱的体积的最大值为． （3）由（2）知当三棱柱的体积取得最大值时，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设，则， 所以． 令， 令， 因为，所以，所以，， 所以直线与所成角的余弦值的取值范围为．    4．（24-25高二上·福建莆田·月考）如图，在平行六面体中，平面ABCD，，， (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）解法一，由平面ABCD，，可求得，证明，得证；解法二，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点为轴，建立空间直角坐标系，由结合已知条件求出点坐标，利用向量坐标运算证明，得证；解法三，在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F，通过证明平面，得证，在各直角三角形中，通过相似比和勾股定理，求出的值，由，得证； （2）过作于H，由等体积，求值即可； （3）解法一，以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系；解法二，利用（1）中解法二的空间直角坐标系；设，向量法求平面EBD与平面的夹角，由的值确定结论. 【详解】（1）解法一：因为⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以，，所以，， 因为，所以， 又因为，. 所以，化简得. 所以， 所以. 解法二：在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 设，则， 所以，， 由得，所以， 又因为，所以，解得， 所以，，，， 所以， 所以. 解法三：在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，所以，所以，， 在中，，，，所以， 在中，，，所以， 在中，，，，所以，所以， 所以. （2）因为，由（1）知，所以， 过作于H，则. 因为直棱柱中平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，所以平面， 所以. （3）解法一：假设存在点E满足条件， 因为⊥平面ABCD，， 所以以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，， ， 设，则， 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，得，所以. 设平面的一个法向量， 由，得， 令，得，所以. 所以， 因为平面EBD与平面的夹角为， 即，解得， 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 解法二：由（1）解法二得平面的一个法向量为， 假设存在E点满足条件，设，则 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，则，所以. 所以， 因为平面EBD与平面的夹角为， 即，解得. 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设基向量，根据空间向量的线性运算可得，又因三点共线可得，即可求得； （2）利用空间向量的数量积运算可得，从而得到不等式，求解得到的最大值； （3）利用空间向量的基本定理与线性运算得到，，再利用向量法求异面直线的夹角的余弦值得到，从而求得的取值范围. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系. 则， 由点，得，则， 又，则， ， ， 令 ， . 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 3．（2025·四川成都·一模）如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合）. (1)求证： (2)若平面与平面所成角的正弦值不小于，求线段的取值范围. (3)设点到面的距离为，四面体的外接球半径为，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，利用两向量数量积等于零证明两直线垂直； (2)设，通过求得平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法，即可得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围； (3)设四面体的外接球心的坐标为，，根据空间两点间距离公式，由，可得，即，再由，可得，结合二次函数的性质，可求得，又，再结合二次函数的性质即可求解的范围，根据空间中点到线的距离公式可得的值，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，， 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ， ， 即，故. （2）设，则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，故， 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的法向量为， 设二面角的平面角为锐角， 有 则二面角的余弦值为： 令，因为，则，故， 即，则，即，故，所以， 故. （3）设四面体的外接球心的坐标为， 则， 故， 则，所以外接球心的坐标为， 代入得， 即， 则，当时，取得最小值为， 当或时，，所以， 所以，当时，取得最小值为， 当时，，所以， 所以， 由（1）知， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 点到平面的距离为， 所以的取值范围为. 4．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面为棱上一点，且. (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面交于点，证明：； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据几何体的性质，以及菱形的几何性质，通过面面垂直的判定定理，证明面面垂直即可； （2）根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； （3）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，进而求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为四边形为菱形，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，且平面平面， 所以. （3） 设，以为原点，直线分别为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为. 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 5．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．在锐角中，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点；使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）要证面面垂直，只需证线面垂直即可.故证明出平面即可. （2）利用线面平行的性质，通过三角形相似等知识找到线段比例关系，即可确定点位置. （3）建立空间直角坐标系，求出相关平面法向量，根据向量夹角公式即可求出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：四边形为直角梯形，，，所以， 又，，平面，故平面， 又平面，所以平面平面． （2）解：连接，交于点，连接． 若平面，因为平面，平面平面， 故， 又，，则， 故为三等分点（靠近点），即． 故在棱上存在点，当时，平面. （3）因为，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图 则，，，， 所以，． 设，则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以． 因为与平面所成角为，则 又，，， 所以，解得，故，则， 所以，， ． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故． 设平面与平面夹角为，， ，， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $