17.5 反证法　课件 -2024—2025学年冀教版数学八年级上册

2024年秋季 数学 冀教版 八年级上册 第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.通过实例体会反证法的含义. 2.知道反证法证明命题的一般步骤. 3.能用反证法进行简单的推理证明. 掌握反证法的证明步骤. 能用反证法进行推理证明. 问题引入 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢？ 新知探究 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 知识点 利用反证法进行证明 证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设∠A=∠B =90°. ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C >180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 归纳 上面的证明过程，是先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明的方法. 例题解析 例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图.直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2. 证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∵∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直 线CD平行. 这与“经过已知直线外一点，有且 只有一条直线和已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2. 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： （1）第一步，假设命题的结论不成立. （2）第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果． （3）第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的． 归纳总结 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取C'D=CB，连接A′D. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∵AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理). 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立，即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. 用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与某个定义、公理、定理矛盾. 总结 用反证法证明时要明确“两点”： 1．用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否定已知条件． 2．适合用反证法的命题类型： (1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角； (2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点； (3)结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角． 注意： 随堂练习 1. 用反证法证明在一个三角形中，不能有两个角是钝角． 已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角． 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角． 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨 ∠A＞90°，∠B＞90°， 则∠A＋∠B＋∠C＞180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾. 故 ∠A，∠B均大于90°不成立． 所以，在一个三角形中不能有两个钝角． 2.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则 a∥b”， 第一步应假设（ ） A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交 3. 用反证法证明命题“如果x＞y，那么x3＞y3”时， 假设的内容应是（ ） A．x3＝y3 B．x3＜y3 C．x3＜y3或x3＝y3 D．x3＜y3且x3＝y3 D C 拓展提升 1.在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）. A.小于60° B.等于60° C.大于60° D.大于或等于60° A 2.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，即大于或等于90°. 根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°. 那么该三角形三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立. 所以等腰三角形的底角是锐角. 归纳小结 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： （1）第一步，假设命题的结论不成立. （2）第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果． （3）第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的． 谢谢！同学们再见！ $$