第一章 教材拓展1 有限集合的子集个数及集合的图示法-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

教材拓展1　有限集合的子集个数及集合的图示法 第一章　集合与常用逻辑用语 学习单元1　集合的概念　集合间的基本关系　集合的基本运算 考点1　有限集合的子集个数 已知集合A中有n个元素，则 （1）该集合的子集有 ⁠个； （2）该集合的真子集有 ⁠个； （3）该集合的非空子集有 ⁠个； （4）该集合的非空真子集有 个. 2n　 （2n－1）　 （2n－1）　 （2n－2）　 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　) A.6　　　　　　　　　 B.7 C.8 D.9 [分析]　用列举法或公式法求解即可. 例1 B (1)法一：集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素为⌀，含有1个元素有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集. 法二：由题意知集合M中元素的个数为3，则其真子集个数为23－1＝7. (2)若{1，2，3}A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 [分析]　用列举法或公式法求解即可. B (2)集合{1，2，3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1，2，3，4，5}的子集，所以集合A只能取集合{1，2，3，4}，{1，2，3，5}和{1，2，3，4，5}. 1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 思维提升 1.已知集合A＝{x｜0≤x＜4，且x∈N}，则A的真子集的个数是(　　) A.16 B.15 C.7 D.8 ∵A＝{0，1，2，3}，∴集合A的真子集的个数为24－1＝15. 跟踪训练 B 2.已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}，故3(a1＋a2＋a3)＝9，即a1＋a2＋a3＝3. C 3.已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为　　　　. 24 ∵集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}， ∴集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1，2，3， ∴满足上述条件的集合A＝⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， ∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24. 解决集合相关问题时，可利用 、 ⁠和平面直角坐标系等 图示形象直观地判断集合间的关系.一般地，判断不等式的解集之间 的关系适合画出 ⁠. Venn图　 数轴　 数轴　 下列能正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x｜x2＋x＝0}的关系的Venn图是(　　) [分析]　将集合N进行化简，再利用Venn图解决问题. 例2 B ∵N＝{x｜x2＋x＝0}＝{x｜x＝0，或x＝－1}＝{0，－1}，∴NM. 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围. 例3 [解]　(1)当B＝⌀时， 由m＋1＞2m－1，得m＜2. (2)当B≠⌀时，如图所示. ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m｜m≤3}. [变条件1]　若本例条件“A＝{x｜－2≤x≤5}”改为“A＝{x｜－2＜x＜5}”，其他条件不变，求m的取值范围. 解：(1)当B＝⌀时，由m＋1＞2m－1，得m＜2. (2)当B≠⌀时，如图所示， ∴解得即2≤m＜3， 综上可得，m的取值范围是{m｜m＜3}. [变条件2]　若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围. 解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠⌀. ∴即∴m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 1.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． 2.空集是任何集合的子集，因此在解AB(B≠)的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 思维提升 4.已知集合A＝{x｜－5＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}.若B⊆A，求实数a的取值范围. 跟踪训练 解：由已知B⊆A. ①当B＝⌀时，2a－3≥a－2，解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时，2a－3＜a－2，解得a＜1. 由已知B⊆A，如图在数轴上表示出两个集合， 由图可得解得－1≤a≤4. 又因为a＜1，所以实数a的取值范围为－1≤a＜1. 综上所述，实数a的取值范围为a≥－1，即{a｜a≥－1}. [分析]　B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}列不等式组 求m的取值范围 $$