第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 章末检测(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A＝{x｜－3＜x＜2}，B＝{x｜x＜－4，或x＞1}，则A∩B等于(　　) A.{x｜－4＜x＜－3}　　 B.{x｜－3＜x＜1} C.{x｜1＜x＜2} D.{x｜x＜－3，或x＞1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 ∵A＝{x｜－3＜x＜2}，B＝{x｜x＜－4，或x＞1}， ∴A∩B＝{x｜1＜x＜2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B.∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C.∃x∈R，x2－2x＋1＜0 D.∀x∈R，x2－2x＋1＜0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 3.设x∈R，则“x＜3”是“－1＜x＜3”的(　　) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 当x＝－2时，满足x＜3，但－1＜x＜3不成立，即充分性不成立；当－1＜x＜3时，x＜3成立，即“x＜3”是“－1＜x＜3”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知全集U＝R，M＝{x｜x＜－1}，N＝{x｜－2＜x＜0}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{x｜－1≤x＜0} B.{x｜－1＜x＜0} C.{x｜－2＜x＜－1} D.{x｜x＜－1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 题图中阴影部分为N∩(∁UM)， ∵M＝{x｜x＜－1}，∴∁UM＝{x｜x≥－1}. 又N＝{x｜－2＜x＜0}， ∴N∩(∁UM)＝{x｜－1≤x＜0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　) A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立 C.对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立 D.存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知对于实数a，α：a＞1或a＜－1，β：关于x的方程x2－ax＋1＝0有实数根，则α是β成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 α：a＞1或a＜－1， β：若关于x的方程x2－ax＋1＝0有实数根， 则判别式Δ＝a2－4≥0，得a≥2或a≤－2. ∵{a｜a≥2，或a≤－2} {a｜a＞1，或a＜－1}， ∴α是β成立的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A.a＜1 B.a≤1 C.a＞1 D.a≥1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 ∵p为假命题，∴p的否定为真命题， 即∀x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知非空集合A，B满足以下两个条件： ①A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝⌀； ②若x∈A，则x＋1∈B. 则有序集合对(A，B)的个数为(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 由题意分类讨论可得，若A＝{1}，则B＝{2，3，4，5，6}；若A＝{2}，则B＝{1，3，4，5，6}；若A＝{3}，则B＝{1，2，4，5，6}；若A＝{4}，则B＝{1，2，3，5，6}；若A＝{5}，则B＝{1，2，3，4，6}；若A＝{1，3}，则B＝{2，4，5，6}；若A＝{1，4}，则B＝{2，3，5，6}；若A＝{1，5}，则B＝{2，3，4，6}；若A＝{2，4}，则B＝{1，3，5，6}；若A＝{2，5}，则B＝{1，3，4，6}；若A＝{3，5}，则B＝{1，2，4，6}；若A＝{1，3，5}，则B＝{2，4，6}. 综上可得，有序集合对(A，B)的个数为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤2，或4＜x＜6}，集合B＝{x｜1≤x＜5}，则下列集合运算正确的是(　 　) A.∁UA＝{x｜x＜－1或2＜x≤4，或x≥6} B.A∩(∁UB)＝{x｜－1≤x＜1，或5≤x＜6} C.(∁UA)∪B＝{x｜x≤－1或1≤x＜5，或x＞6} D.∁U(∁UB)＝{x｜1≤x＜5} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 15 16 17 18 19 对于A，因为∁UA＝{x｜x＜－1或2＜x≤4，或x≥6}，所以A正确； 对于B，因为∁UB＝{x｜x＜1，或x≥5}，所以A∩(∁UB)＝{x｜－1≤x＜1，或5≤x＜6}，所以B正确； 对于C，因为(∁UA)∪B＝{x｜x＜－1或1≤x＜5，或x≥6}，所以C不正确； 对于D，因为集合B补集的补集就是集合B，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　) A.A∩B＝{0，1} B.∁UB＝{4} C.A∪B＝{0，1，3，4} D.集合A的真子集个数为8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 ∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}， ∴A∩B＝{0，1}，∁UB＝{2，4}，A∪B＝{0，1，3，4}， ∴集合A的真子集个数为23－1＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.下面说法正确的是(　 　) A.“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 B.命题“若x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2，且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 15 16 17 18 19 选项A，根据反比例函数的性质，可知由a＞1，能推出＜1，但是由＜1，不能推出a＞1，例如当a＜0时，符合＜1，但是不符合a＞1，故A正确； 选项B，根据命题的否定的定义，可知命题“若x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”，故B正确； 选项C，由x≥2，且y≥2能推出x2＋y2≥4，故C不正确； 选项D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，由ab≠0能推出a≠0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知集合A＝{x｜ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一个元素，则a的 值为　　　　　；若A的真子集个数是3，则a的取值范围是 　　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 或0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ax2－3x＋1＝0有唯一解，则a＝0或a≠0， 当a＝0时，满足条件； 当a≠0时，需Δ＝9－4a＝0，即a＝， 综上，a＝0或. 同理，若真子集有3个，则⇒ 13 14 15 16 17 18 19 13.命题“存在x∈R，使得x2＋x＋2m≤0”是假命题，则实数m的取值范 围是　　　 　　. 由题意得命题“存在x∈R，使x2＋x＋2m≤0”的否定为“任意x∈R，使x2＋x＋2m＞0”且为真命题，即x2＋x＋2m＞0在R上恒成立，所以Δ＝1－8m＜0，解得m＞. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 14.若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝{－1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是　　　　. 具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{，2}，{－1，，2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； 解：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)末位是0的实数能被2整除； 解：(2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，且是真命题. (3)∃x＞1，x2－2＞0. 解：(3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，且是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈Z｜1≤x≤5}，C＝{x∈Z｜2＜x＜9}.求： (1)A∪(B∩C)； 解：(1)依题意知A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，C＝{3，4，5，6，7，8}， ∴B∩C＝{3，4，5}，故有A∪(B∩C)＝{1，2}∪{3，4，5}＝{1，2，3，4，5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)(∁UB)∪(∁UC). 解：(2)由∁UB＝{6，7，8}，∁UC＝{1，2}， 故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6，7，8}∪{1，2}＝{1，2，6，7，8}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知集合A＝{x｜x2－ax＋3＝0，a∈R}. (1)若1∈A，求实数a的值； 解：(1)∵1∈A，∴1－a＋3＝0，∴a＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若集合B＝{x｜2x2－bx＋b＝0，b∈R}，且A∩B＝{3}，求A∪B. 解：(2)∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B， ∴解得 ∴A＝{x｜x2－4x＋3＝0}＝{1，3}， B＝{x｜2x2－9x＋9＝0}＝， ∴A∪B＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知集合A＝{x｜0≤x≤a}，集合B＝{x｜m2＋3≤x≤m2＋4}，命题p：“∃m∈R，使得A∩B≠⌀”. (1)写出命题p的否定； 解：(1)p为存在量词命题，其否定为∀m∈R，A∩B＝⌀. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若p为假命题，求实数a的取值范围. 解：(2)若p为假命题，则其否定命题“∀m∈R，A∩B＝⌀”为真命题. 当a＜0时，集合A＝{x｜0≤x≤a}＝⌀，符合A∩B＝⌀； 当a≥0时，因为m2＋3＞0，所以∀m∈R， A∩B＝⌀得a＜m2＋3对于∀m∈R恒成立， 所以a＜3，则0≤a＜3. 综上，p为假命题时，实数a的取值范围为{a｜a＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； 解：(1)设p：A＝{x｜x－2＞0}，即p：A＝{x｜x＞2}，q：B＝{x｜ax－4＞0}， 因为p是q的充分不必要条件，所以A B， 即解得a＞2. 故实数a的取值范围为{a｜a＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解：(2)由(1)得B A， ①当a＝0时，B＝⌀，满足题意； ②当a＞0时，由B A，得＞2，即0＜a＜2； ③当a＜0时，显然不满足题意. 综合①②③，得实数a的取值范围为{a｜0≤a＜2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$