精品解析：天津市红桥区2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再迭涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则x=（ ） A. B. C. D. 6 3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 若复数，当纯虚数时，实数值为（ ） A. 或2 B. 2或 C. 2 D. 6. 在中，已知角，，边，则边（ ） A. B. C. 1 D. 7. 把函数图象向右平移个单位，得到的函数解析式为 A. B. C. D. 8. 在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 9. 函数的部分图象如图所示，则 A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 10. 是虚数单位，则复数______． 11. 若为实数，且，则____________. 12. 若为虚数单位，则复数的模是______. 13. 已知平面向量，，若，，且，则______ 14. 设△ABC内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.则a的值为_______ 15. 中，，，，若，则实数______. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知复数，i为虚数单位. （1）求； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，， （1）求a的值； （2）求的值. 18. 在中，角所对的边分别为，，，且. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的面积. 19. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）求在区间上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再迭涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 2. 已知平面向量，，若，则x=（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】平面向量，，若，则，所以. 故选：B. 3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算化简再结合复数对应复平面的点判断即可. 【详解】因为, 所以对应点为, 所以对应点在第一象限. 故选：A. 4. 已知向量，的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图建立直角坐标系可得的坐标，然后根据向量的加法与模公式求解即可. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则，，， 所以． 故选：D． 5. 若复数，当是纯虚数时，实数值为（ ） A. 或2 B. 2或 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】是纯虚数，根据实部为零，虚部不等于零求解即可. 【详解】当是纯虚数时，则，解得. 故选：D. 6. 在中，已知角，，边，则边（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为在中，角，，边， 所以由正弦定理得，即， 所以，解得. 故选：A 7. 把函数的图象向右平移个单位，得到的函数解析式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换，即可得出答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位，得到的函数 故选：C 【点睛】本题主要考查了由三角函数平移变换求解析式，属于基础题. 8. 在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案. 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，； ②函数周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质. 故选：A 9. 函数的部分图象如图所示，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A. 【考点】三角函数图象与性质 【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 10. 是虚数单位，则复数______． 【答案】 【解析】 【分析】化简分式的复数，乘以分母的共轭复数化简即可. 【详解】. 故答案为： 11. 若为实数，且，则____________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数相等的充分必要条件确定a的值即可. 【详解】由题意可得：， 结合复数相等的充分必要条件可得：. 故答案为4． 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 若为虚数单位，则复数的模是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算法则化简复数，再由模长公式求解即可. 【详解】由题，， 所以. 故答案为：. 13. 已知平面向量，，若，，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得，再根据数量积的运算律求解向量的模即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以. 故答案为： 14. 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.则a的值为_______ 【答案】2 【解析】 【详解】在中， 可得 整理得，∴由余弦定理可得 ， 故答案2. 15. 在中，，，，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据重心的向量形式及重心的性质得，再根据向量线性运算得，最后结合条件及数量积的运算律得，即可得解. 【详解】由得O为的重心，所以， 又，所以， 则 ， 所以，即，所以. 故答案为： 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知复数，i为虚数单位. （1）求； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得，即可求得； （2）将z代入方程利用复数相等的概念即可求得. 【小问1详解】 因为复数， 所以 【小问2详解】 因为复数z是关于x的方程的一个根， 所以， 可得，即， 所以,解得. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，， （1）求a的值； （2）求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由余弦定理即可求解； （2）由二倍角公式得，再结合两角差的余弦公式即可求解. 小问1详解】 由余弦定理，，即， 而，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以， 从而. 18. 在中，角所对的边分别为，，，且. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的面积. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据余弦定理进行求解即可； （Ⅱ）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】解：（Ⅰ）， 由余弦定理知，， 又，所以， （Ⅱ）由，代入得， 解得（舍去负根）， 所以的面积. 19. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）求在区间上最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）求出相位范围，再利用正弦函数的性质求出最小值即得. 【小问1详解】 ， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得，则， 所以， 所以当，即时，取得最小值， 所以函数在区间上的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$