江苏省南京外国语学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷【A卷】

2023-2024学年度第一学期期中数学高三年级 南京外国语学校 数学试题（A卷） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若，则( ) A. B.0 C. D. 2.若对，恒成立，其中，则（ ） A.3 B.2 C.0 D. 3.已知定义在上的函数，记，，则. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4.已知等比数列的前n项和为且，则（） A.3 B.5 C.30 D.45 5.阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱雉，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.(注:图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑) 上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（ ） 6.在学校春季运动会中，甲、乙、丙、丁4名同学被安排到跳远、跳高、迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7.已知矩形中，是边的中点.和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 8.已知，则（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知实数满足，则下列不等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 10.设等差数列的前项和为，公差为，下列结论正确的是（ ） A. B.当时，的最大值为13 C.数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同 D.数列前项和为最大 11.已知函数，则( ) A.函数在上的单调递减区间是 B.函数的图象关于点对称 C.函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是 D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 12.正方体中，是体对角线上的动点，是棱上的动点，则下列说法正确的是( ) A.异面直线与所成的角的最小值为 B.异面直线与所成的角的最大值为 C.对于任意的，存在点使得 D.对于任意的，存在点使得 三、填空题（本大题共4题，每小题5题，共20分） 13.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分;同学实际成绩115分，被错录为103分;同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则 （填） 14.如图，在中，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 15.已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为 . 16.已知函数，则数列的通项公式为 . 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 18.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求. (1)的值. (2)和的面积. 条件①:. 条件②:. 注:如果选择条件(1)和条件(2)分别解答，按第一个解答计分. 19.已知函数. (1)时，求的极值; (2)若在区间有2个零点，求的取值范围. 20.如图，在三棱台中，，侧棱平面，点是棱的中点. (1)证明:平面; (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 21.在平面直角坐标系中，已知,圆与轴切于点，又过作异于的两切线，设这两切线交于点. (1)求点的轨迹方程; (II)设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积。 22.设函数. (1)当时，求证:当时，; (2)已知为函数的两个零点为的导数)，求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第一学期期中数学高三年级 南京外国语学校 数学试题（A卷） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若，则( ) A. B.0 C. D. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 故选: 2.若对，恒成立，其中，则（ ） A.3 B.2 C.0 D. 【答案】 【解析】 由 得，所以，所以. 故选:. 3.已知定义在上的函数，记，，则. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】根据题意知. ，则为偶函数，又则函数上单调 而，即，则 故选 4.已知等比数列的前n项和为且，则（） A.3 B.5 C.30 D.45 【答案】 【解析】 5.阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱雉，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.(注:图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑) 上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（ ） A. B. C.2 D. 【答案】 【解析】鳖臑的外接球和正方体的外接球是同一外接球， 由鳖臑的外接球的体积为，得外接球的半径为，即正方体的体对角线长度是， 故正方体的棱长为2，所以鳖臑体积为. 故选: 6.在学校春季运动会中，甲、乙、丙、丁4名同学被安排到跳远、跳高、迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】 解:甲不去跳远为事件， 乙被安排到跳远为事件， 所以. 故选：. 7.已知矩形中，是边的中点.和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 【答案】 【解析】如图1，在矩形中，是边的中点， 故，故， 又，故，所以，则，故. 图1 图2 如图2，将沿折起，点的对应点为，在翻折过程中，当与垂直时， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面，连接，因为 所以或其补角即为异面直线和所成角， 因为，所以， 故，则，又， 故， 即所求角的余弦值为. 8.已知，则（） A. B. C. D. 【答案】 【解析】解析:先证，设，求导可得， 所以，当时取等号，得， 再证设时，成立，设， 当时，，其中需 证，因为，所，所以，选 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知实数满足，则下列不等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 选项A，由得，故A正确; 选项B，取，可得，不满足，故B错误； 选项C，， ，所以，故， ，故C正确; 选项，设函数，则， 当时，单调递减， 故e时，，即，故，故D错误. 故选： 10.设等差数列的前项和为，公差为，下列结论正确的是（ ） A. B.当时，的最大值为13 C.数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同 D.数列前项和为最大 【答案】 【解析】对于选项，若，则为递增数列，所以，，与矛盾，若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则，由可得，合乎题意，对; 对于B选项，由A选项可知，， ，， 所以，当时，的最大值为错; 对于选项，，则， 所以，， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为错; 对于选项，由得，由得， 由得，即， 令，则等差数列为递减数列， 且， 所以，数列前项和为最大，对. 故选:. 11.已知函数，则( ) A.函数在上的单调递减区间是 B.函数的图象关于点对称 C.函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是 D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 【答案】 【解析】已知函数，则， 对于选项，由，即，即函数的减区间为，即函数在上的单调迸减区间远，即选项正确; 对于选项，由，解得:，即函数的图象关于点对称，即选项错误; 对于选项，函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，即，即，则的最小值是，即选项正确; 对于选项，实数使得方程在上恰好有三个实数解，则，则，，即，即选项正确， 故选:. 12.正方体中，是体对角线上的动点，是棱上的动点，则下列说法正确的是( ) A.异面直线与所成的角的最小值为 B.异面直线与所成的角的最大值为 C.对于任意的，存在点使得 D.对于任意的，存在点使得 【答案】 【解析】以为坐标原点，建系如图， 设正方体的边长为1，则，设，则， 设异面直线与所成的角为， 则， .当时，，故A正确; .当时，，故B正确; .设，则， ， 当时，无解，故错误; .，令，得， 即对于任意的，存在点使得，故D正确. 故选:. 三、填空题（本大题共4题，每小题5题，共20分） 13.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分;同学实际成绩115分，被错录为103分;同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则 （填） 【答案】< 【解析】 ， 更正前后平均分不变， 又，. 14.如图，在中，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 【答案】 【解析】由题知，中，，若为圆心为的单位圆的一 条动直径，所以为的中点，， 因为， 因为 所以 因为，即 所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值， 所以的取值范围是， 故答案为: 15.已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】由对称性可知原点是的中点，又的中点分别为四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，解得，即，两边同时除以，得，又 ， 故答案为:. 16.已知函数，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，，故的图象关于对称 由此得到， 所以 . 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) （2） 【小问1详解】 由得:， ，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以， 所以; 【小问2详解】 所以 18.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求. (1)的值. (2)和的面积. 条件①:. 条件②:. 注:如果选择条件(1)和条件(2)分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 (1)见解析 (2)见解析 【解析】选择条件①作为已知： (1)在中， 由余弦定理可得， 又因为，可得. 因为，即， 整理得，解得. （2）由（1）可得， 则， 因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 所以. 选择条件②作为已知： (1)因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 因为， 所以. (2)因为， 所以， 则， 所以. 19.已知函数. (1)时，求的极值; (2)若在区间有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在处取极大值，无极小值 (2) 【解析】(1)因为，定义域为 当时，， 令，解得 当时，则恒成立，当时，则恒成立 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，在处取极大值，无极小值; (2)， 令，得，令在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， 当在上单增， 当在上单减， 的最大值为， 与在区间有2个交点，则. 20.如图，在三棱台中，，侧棱平面，点是棱的中点. (1)证明:平面; (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】(1)证明:以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可得， ， ， 设平面的法向量为， 则，令，即，则， 平面. (2)由(1)知，设平面的法向量为， 则，令，即，即， 由(1)知，，设平面的法向量为， 则，令，即，即， 设平面与平面的夹角为，则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 21.在平面直角坐标系中，已知,圆与轴切于点，又过作异于的两切线，设这两切线交于点. (1)求点的轨迹方程; (II)设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积。 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)设过异于的两切线分别切两点，两切线交于点， 由切线的性质可知:， 故 ， 故由椭圆定义知，点的轨迹是以为两焦点的椭圆， 可求得动点的轨迹方程为:; (II)当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，消去，得:， 设，则 ， ， 点到直线的距离， ， ， ， 22.设函数. (1)当时，求证:当时，; (2)已知为函数的两个零点为的导数)，求证:. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 (1)当时，，当时，， 令， 则， 在上单调递增，， 即成立， (2)，则， 当时，在上单调递增，不可能两个零点，舍去; 当时，，对于，， 若，则，有恒成立，当且仅当是取等号， 在上单调递增，不可能两个零点，舍去; 若，令得，且， 当或时，; 当时，； 在上单调递增， 在上单调递减，在单调递 增， 最多3个零点，注意到， 即若，则， ，故必有，且. ，由(2)， ， ， 设， 且， ， 设两根为，则， 则， ，证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $$