江苏省如东高级中学2023-2024学年高三上学期第一次考试数学试题

2024届第一学期高三数学第一次考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．集合，，则的子集个数为（ ） A．3 B．2 C．4 D．8 2．若a>0， b>0，则“a+b≤4”是“ab≤a+b”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式 f(－2x)＜0的解集是 A．∪ B. C.∪ D. 4．已知0＜a＜1，0＜c＜b＜1，下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D． 6．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足:（1）（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如:是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合数”的个数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知，不等式在上恒成立，则（       ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列说法正确是（ ） A．命题“”的否定形式是“” B．若函数的定义域是，则函数的定义城为 C．若，则函数的最小值为2 D．若，则 10．下列命题中正确的是 A.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件； B.“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件； C.“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件； D.“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0” 11．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A．为定值 B． C． D．的最大值为 12．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y> m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为 ． 解析　∵x>0，y>0，x＋2y＝xy，∴＋＝1，∴1＝＋≥2，∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x＋2y＝xy≥8，∴m2＋2m<8，解得－4<m<2 14．关于的不等式的解集为A，若A 中恰有两个整数解，则的取值范围 ______ ． 15．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是______. 16．已知则的最小值为____________ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (本小题满分10分) 已知集合0}． (1)若m＝2，求； (2)x∈A是x∈B的 条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围：若不存在，说明理由．(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 18．已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，若，求的取值范围. 19．（12分） ( C A B D O )如图，是以为直径的半圆上一点，平面平面，． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的余弦值． 20．已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”. (1)判断函数是否为“依附函数”，并说明理由； (2)已知函数在定义域上为“依附函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 22. 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试判断在上零点个数，并说明理由. 2024届第一学期高三数学第一次考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．集合，，则的子集个数为（ ） A．3 B．2 C．4 D．8 【答案】D 2．若a>0， b>0，则“a+b≤4”是“ab≤a+b”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式 f(－2x)＜0的解集是 A．∪ B. C.∪ D. 【答案】A 4．已知0＜a＜1，0＜c＜b＜1，下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 5．已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D． 【答案】D 6．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足:（1）（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如:是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合数”的个数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 7．已知，不等式在上恒成立，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 8．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意知：当有， ∵知：是两个不等的实根. ∴，而， ∵，即，∴，令， 则，∴当时，的最小值为. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列说法正确是（ ） A．命题“”的否定形式是“” B．若函数的定义域是，则函数的定义城为 C．若，则函数的最小值为2 D．若，则 【答案】ABD 10．下列命题中正确的是 A.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件； B.“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件； C.“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件； D.“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0” 【答案】AB 解析　因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故A正确；“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但由ln(x＋1)＜0可得－1＜x＜0，即“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故B正确；因为f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，所以若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故C错误；“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但a·b＜0时，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故D错误 11．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A．为定值 B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】 对于A，，为定值，A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，， 解得，故C错误； 对于D，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以，又，所以的最大值，D选项正确. 故选：ABD 12．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】 AB 解：构造函数，则 在， 对于A选项：，则，即，，A正确 对于B选项：，则，即， ，B正确 对于C选项：，则，即， ，C错误 对于D选项：，则，即，，D错误 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y> m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为 ． 解析　∵x>0，y>0，x＋2y＝xy，∴＋＝1，∴1＝＋≥2，∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x＋2y＝xy≥8，∴m2＋2m<8，解得－4<m<2 14．关于的不等式的解集为A，若A 中恰有两个整数解，则的取值范围 ． 15．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是______. 【答案】 【详解】 设三棱锥外接球的半径为，由体积为，知：，即， 又∵平面，，知：面的外接圆半径为，即有：，有， 而在中，， ∴，而，当且仅当时等号成立，∴，故答案为： 16．已知则的最小值为____________ 【答案】20 解析：令则， ， 当且仅当时，等号成立 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (本小题满分10分) 已知集合0}． (1)若m＝2，求； (2)x∈A是x∈B的 条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围：若不存在，说明理由．(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】 (1)由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4， 则A＝{x|－3≤x≤4}，…………………………2分 当m＝2时，不等式x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤3， 则B＝{x|－1≤x≤3}，…………………………4分 可得＝{x|x＜－1或x＞3}， 所以A∩()＝{x|－3≤x＜－1或3＜x≤4}，…………………………5分 (2)由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0，(m＞0) 解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，…………………………7分 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得， 解得m≥4，…………………………10分 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得， 解得0＜m≤3，…………………………10分 若选择条件③，则集合A＝B，得，则无解，所以不存在满足条件③的实数m，…………………………10分 18．已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，若，求的取值范围. 【详解】 （1）①当时，即时，，不合题意； ②当时，即时，满足， 即，解得， 即实数的取值范围是. （2）不等式的解集为，若， 即对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 因为恒成立，所以恒成立， 设，则，， 所以， 因为，当且仅当时，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，的最大值为， 所以的取值范围是. 19．（12分） ( C A B D O )如图，是以为直径的半圆上一点，平面平面，． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的余弦值． ( A B D O z y x C )【解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面． 又平面，所以． 因为是以为直径的半圆上一点， 所以． 又，，平面， 所以平面． （2）在平面上，过点作， 在平面上，过点作∥BC， 由（1）知，平面， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，， 则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则 取，则，，所以． …… 9分 因为轴平面，所以平面的一个法向量． ……10分 设二面角的平面角为，为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． …… 12分 20．已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 解（1）当时， ---------2分 当时，，的增区间为 当时，，的减区间为-------------4分 （2） 令， 当时， 令，-------------6分 当时，，的增区间为 当时，，的减区间为 所以，恒成立-------9分 当时，因为，所以不恒成立-------11分 综上-------------12分 21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”. (1)判断函数是否为“依附函数”，并说明理由； (2)已知函数在定义域上为“依附函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【详解】 (1)对于函数的定义域内存在，则，无解. 故不是“依附函数”； (2)①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若故在上单调递减，从而， 解得（舍）或.从而，存在，使得对任意的， 有不等式都成立， 即恒成立， 由，得， 由，可得， 又在单调递减， 故当时，， 从而，解得，综上，故实数的最大值为. 22. 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试判断在上零点个数，并说明理由. 【解析】，令，则或. 时，，单调递增，时，单调递减， 时，，单调递增，时，，单调递减. 单调递增区间是，递减区间是. （2），因为，所以是的一个零点. 所以是偶函数，即要确定在 上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.①当时， 令，即或. 时，单调递减，且， 时，，单调递增，且 在有唯一零点 ②当 时，由于，. 而 在单调递增， 所以恒成立，故在无零点，所以在有一个零点， 由于是偶函数，所以在有一个零点，而，综上在有且仅有三个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $$