江苏省南京田家炳高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷

南京田家炳高级中学 2023-2024学年第二学期高二5月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知为平面的一个法向量,为平面的一个法向量,且,则 ( ) A. B. C.2 D.4 2.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的质量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示： 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为,若生产7吨产品,预计相应的生产能耗为 （ ）吨. A. B. C. D. 3.的展开式中的系数为（ ） A. B.5 C. D.25 4.下列命题中，错误的是（ ） A.若随机变量,则 B.若随机变量,且,则 C.在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好 D.在回归分析中,若样本相关系数r越大,则成对样本数据的线性相关程度越强 5.甲、乙等6人站成一排，若甲，乙不相邻，且甲不站在最左边，则不同的站法共有（ ） A.240种 B.384种 C.480种 D.568种 6.四名师范生从三所学校中任选一所进行实习教学,其中学校必有师范生去,则不同的选法方案有（ ） A:65种 B:37种 C:24种 D:12种 7.如图,在四棱雉中,平面,则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D.2 8.已知， 则（ ） A.210 B.330 C.165 D.145 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题中,正确的是（ ） A.随机变量服从二项分布,若,则 B.某投郑类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次,只要有一次投中,游戏者即闯关成功,并停止投掷,已知每次投中的概率为,则游戏者闯关成功的概率为 C.从3个红球2个白球中,一次摸出3个球,则摸出红球的个数服从超几何分布, D.某人在10次射击中,击中目标的次数为,则当且仅当时概率最大 10.现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表，随机选一袋，然后从中随机抽取2份,则（ ） A.在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为 B.两份报告表都是男士的概率为 C.在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为 D.两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为 11.如图,在正三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,, 为的中点,则（ ） A.直线平面 B.点到平面的距离为 C.异面直线与所成角的余弦值为 D.设分别在线段上,且,则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系中,,若平面的一个法向量,直线与平面所成角的正弦值为 13.若,则正整数的值为 14.设5支枪中有2支未经试射校正,3支已校正.一射手用校正过的枪射击,中靶率为0.9,用未校正过的枪射击,中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击,中靶的概率是 (2)若任取一支枪射击,结果未中靶,求该枪未校正的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位:人） 评价 居民 评价高 评价一般 总计 男居民 30 女居民 35 总计 45 100 (1)完善上述表格数据,试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关? (2)从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人,再从这6人中任选3人进行深度调查,记进行深度调查的男居民的人数为,求的分布列与期望 附:. 当时,没有充分的证据判断变量有关联,可以认为变量是没有关联的; 当时，有的把握判断变量有关联; 当时，有的把握判断变量有关联; 当时,有的把握判断变量有关联. 16.在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等; ②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127; ③的绝对值之和为99;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答. 已知. (1)求; (2)求的值; (3)求的值; 17.某校拟对全校学生进行体能检测,并规定:学生体能检测成绩不低于60分为合格,否则为不合格;若全年级不合格人数不超过总人数的,则该年级体能检测达标,否则该年级体能检测不达标,需加强锻炼. (1)为准备体能检测,甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能,并约定每轮比赛均采用七局四胜制(一方获胜四局则本轮比赛结束)。假设甲同学每局比赛获胜的概率均为,求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下,前3局比赛均获胜的概率; (2)经过一段时间的体能训练后,该校进行了体能检测,并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析.将这40名学生体能检测的平均成绩记为,标准差记为,高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布.已知,请估计该校高二年级学生体能检测是否合格? 附:若随机变量,则, 18.如图,在四棱锥中,已知底面为矩形,,平面平面. (1)求证:平面; (2)若,点在棱上,且二面角的大小为. ①求证:; ②设是直线上的点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19.(1)在集合中，选出三个不同的数字，组成一个三位数，其中能被3整除的三位数有几个? (2)在集合中,选出个不同的元素,共有种选法:若选出的元素中含有2,此时的选法总数记为:若选出的元素中不含有2,则选法总数记为.求出猜想所满足的等量关系并加以证明; (3)在集合中,任取个元素构成集合,当的所有元素之和为偶数时,记满足条件的集合的个数为;当的所有元素之和为奇数时,记满足条件的集合的个数为.求,并将结果化简. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京田家炳高级中学 2023-2024学年第二学期高二5月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知为平面的一个法向量,为平面的一个法向量,且,则 ( ) A. B. C.2 D.4 【答案】 【解析】因为,所以,则,解得,故. 故选 2.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的质量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示： 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为,若生产7吨产品,预计相应的生产能耗为 （ ）吨. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由表中数据，计算得 且线性回归方程过样本中心点 即，解得， 的线性回归方程是， 当时，估计生产7吨产品的生产能耗为(吨). 故选:. 3.的展开式中的系数为（ ） A. B.5 C. D.25 【答案】A 【解析】的展开式中含的项为,所以的系数为-15, 故选：A. 4.下列命题中，错误的是（ ） A.若随机变量,则 B.若随机变量,且,则 C.在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好 D.在回归分析中,若样本相关系数r越大,则成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】D 【解析】对于A,若随机变量,则,故A正确; 对于,若随机变量,且,则,故正确; 对于C，在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故正确; 对于D,在回归分析中,若样本相关系数|||越大,则成对样本数据的线性相关程度越强,故错误. 故选:D. 5.甲、乙等6人站成一排，若甲，乙不相邻，且甲不站在最左边，则不同的站法共有（ ） A.240种 B.384种 C.480种 D.568种 【答案】B 【解析】先排其他有种, 4人之间有5个空,甲不站最左边,则甲有4种站法,则乙从剩余4个空中选一个站好,则此时共有种,故选:B. 6.四名师范生从三所学校中任选一所进行实习教学,其中学校必有师范生去,则不同的选法方案有（ ） A:65种 B:37种 C:24种 D:12种 【答案】A 【解析】若不考虑限制条件,则每位师范生都有3种选择,共有种选择. 若没人去学校,则每位师范生都有2种选择,共有种选择. 故不同的选法方案有种. 故选：A 7.如图,在四棱雉中,平面,则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D.2 【答案】 【解析】因为平面平面平面, 所以.因为, 所以如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,即。 在上的投影向量的长度为, 故点到直线的距离为. 8.已知， 则（ ） A.210 B.330 C.165 D.145 【答案】B 【解析】 令,有 是的系数 而 选 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题中,正确的是（ ） A.随机变量服从二项分布,若,则 B.某投郑类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次,只要有一次投中,游戏者即闯关成功,并停止投掷,已知每次投中的概率为,则游戏者闯关成功的概率为 C.从3个红球2个白球中,一次摸出3个球,则摸出红球的个数服从超几何分布, D.某人在10次射击中,击中目标的次数为,则当且仅当时概率最大 【答案】BCD 【解析】A：,可得,A错; ：利用间接法有对； , ,则期望,故C正确; ,所以,当时概率最大,所以对. 故选：BCD. 10.现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表，随机选一袋，然后从中随机抽取2份,则（ ） A.在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为 B.两份报告表都是男士的概率为 C.在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为 D.两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为 【答案】BC 【解析】在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为,故A错误; 若选第一袋，两份报告表都是男士的概率为, 若选第二袋，两份报告表都是男士的概率为, 两份报告表都是男士的概率为，故正确; 对于C：在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为,故C正确; 对于D：若选第一袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为, 若选第二袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为, 所以两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为,故错误. 故选：BC. 11.如图,在正三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,, 为的中点,则（ ） A.直线平面 B.点到平面的距离为 C.异面直线与所成角的余弦值为 D.设分别在线段上,且,则的最小值为 【答案】ABD 【解析】本题考查空间几何体中线线、线面的位置关系.在正三棱柱中,为的中点,所以,如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,以过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系,则,,所以,.设平面的法向量为,则令,则.因为,即,又.平面,所以平面,故正确 因为,所以,则点到平面的距离为,故正确. 因为,设异面直线与所成角为,则,所以异面直线与所成角的余弦值为,故错洖. 设,则，因为,所以,,则,所以12,所以当时,有最小值,所以,所以.故D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系中,,若平面的一个法向量,直线与平面所成角的正弦值为 【答案】 【解析】 ,又平面的一个法向量, ,即. 直线的一个方向向量为; ,则, 又平面的一个法向量, 直线与平面所成角的正弦值为. 故本题正确答案为:. 13.若,则正整数的值为 【答案】5 【解析】由组合数性质:可得，则， 所以或，解得或(舍). 故答案为:5 14.设5支枪中有2支未经试射校正,3支已校正.一射手用校正过的枪射击,中靶率为0.9,用未校正过的枪射击,中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击,中靶的概率是 (2)若任取一支枪射击,结果未中靶,求该枪未校正的概率为 . 【答案】 【解析】设表示枪已校正,表示射击中靶. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位:人） 评价 居民 评价高 评价一般 总计 男居民 30 女居民 35 总计 45 100 (1)完善上述表格数据,试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关? (2)从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人,再从这6人中任选3人进行深度调查,记进行深度调查的男居民的人数为,求的分布列与期望 附:. 当时,没有充分的证据判断变量有关联,可以认为变量是没有关联的; 当时，有的把握判断变量有关联; 当时，有的把握判断变量有关联; 当时,有的把握判断变量有关联. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 评价 居民 评价高 评价一般 总计 男居民 30 20 50 女居民 15 35 50 总计 45 55 100 的把握判断体验感评价与性别有关； （2）评价高的居民男女比例为，则6人中，男居民4人，女居民2人， 则的可能取值为， 故随机变量的分布列为: 1 2 3 16.在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等; ②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127; ③的绝对值之和为99;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答. 已知. (1)求; (2)求的值; (3)求的值; 【答案】（1）； （2）见解析 （3）见解析 【解析】设. 选①由,则; 选②:由题知二项式系数和为,所有项系数和为1,所以,所以; 选③:展开式通项为, 故,则, ,所以; (2) 所以； (3)因为, 故, 因此,. 17.某校拟对全校学生进行体能检测,并规定:学生体能检测成绩不低于60分为合格,否则为不合格;若全年级不合格人数不超过总人数的,则该年级体能检测达标,否则该年级体能检测不达标,需加强锻炼. (1)为准备体能检测,甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能,并约定每轮比赛均采用七局四胜制(一方获胜四局则本轮比赛结束)。假设甲同学每局比赛获胜的概率均为,求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下,前3局比赛均获胜的概率; (2)经过一段时间的体能训练后,该校进行了体能检测,并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析.将这40名学生体能检测的平均成绩记为,标准差记为,高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布.已知,请估计该校高二年级学生体能检测是否合格? 附:若随机变量,则, 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 (1)设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件,“甲以或或获胜”分别记为事件甲前3局比赛均获胜”为事件. 则, , , . , . 所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下,前3局比赛均获胜的概率. (2)设该校高二年级学生体能检测的成绩为,则. , 所以, 所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人, 而 所以该校高二年级学生体能检测成绩合格. 18.如图,在四棱锥中,已知底面为矩形,,平面平面. (1)求证:平面; (2)若,点在棱上,且二面角的大小为. ①求证:; ②设是直线上的点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）证明：在四棱雉中， 因为底面为矩形,所以. 因为平面平面,平面平面平面, 所以平面. 因为平面,所以, 因为平面,且, 所以平面. (2)①以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系. 则.所以. 因为点在棱上,所以设或显然不满足题设. 因为,所以. , 所以. 设平面的一个法向量, 则,即 取. 是平面的一个法向量, 所以, 因为二面角的大小为,所以, 即，解得. 此时,,, 所以, 所以,即. ②因为是直线上的点,所以设, 由①可得,所以,平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为,则. 令,则, 则, 则, 令,则,则, 所以当,即时,, 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 19.(1)在集合中，选出三个不同的数字，组成一个三位数，其中能被3整除的三位数有几个? (2)在集合中,选出个不同的元素,共有种选法:若选出的元素中含有2,此时的选法总数记为:若选出的元素中不含有2,则选法总数记为.求出猜想所满足的等量关系并加以证明; (3)在集合中,任取个元素构成集合,当的所有元素之和为偶数时,记满足条件的集合的个数为;当的所有元素之和为奇数时,记满足条件的集合的个数为.求,并将结果化简. 【答案】（1）共有180个数字 ,证明见解析, (3). 【解析】(1)考虑在集合中,被3除余数分别为,将余数相同的数组成一个集合,分别为,, 则所选的3个数有以下4种选法:全部从或或,或者从各选一个, 从或或,每种有种排法,故有个数字, 从各选一个有个数字, 故共有180个数字; (2)由题意, 证明如下: ; (3)将集合分为两个子集，由偶数组成集合，和奇数组成的集合, 即每个集合都有个元素， 当为偶数时,组成的方法有:从选0个,选个,从选2个,选个,从选4个从选个,,从选个,从选0个, 即; 组成的方法有:从选1个,从选个,从选3个,从选个,选个,从选1个, 即; 考察 其中的系数为: ; 同时, 的系数为:, 当为奇数时,组成的方法有:从选1个，从选个，从选3个，从选个,,从选个,选0个, 即; 组成的方法有,从选0个,从选个,从选2个,从选个,从4选4个,从选个,,从选个,从选1个, 即, 显然,即 学科网（北京）股份有限公司 $$