江苏省南京田家炳高级中学2023-2024学年高二下学期3月模拟考试数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市田家炳中学 高二下学期3月数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．两不重合直线和的方向向量分别为，则与的位置关系是（ ） 平行 相交 垂直 不确定 2．在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（ ） 3．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． 16 18 24 32 4．如图的平行六面体中，点在上，点在上，且,若，则（　　） 5．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ） 192 420 210 72 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ） 7．有10只不同的实验产品，其中有4只次品，6只正品.现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，则错误的是（ ） 最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种 最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有576种 所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有7200种 4只次品全测出至多需要九次测试 8．已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（ ） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一个介绍，则（ ） 与相邻，共有240种排法 相隔一天介绍的方法种数为96 若与不相邻，共有480种排法 若在的前面，共有360种排法 10.下列结论正确的是（ ） 多项式展开式中的系数为52 若，则 11．如图，在矩形中，为中点，现分别沿将翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） 三棱锥的体积为 直线与直线所成角的余弦值为 直线与平面所成角的正弦值为 三棱锥外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量共面，则实数　 　． 13．已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到直线的距离为____________． 14．已知次多项式．如果在一种算法中，计算 的值需要次乘法，计算的值至多需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值至多需要　 　次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：利用该算法，计算的值至多需要6次运算，计算的值至多需要　 　次运算． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求． 16．（15分）已知的展开式中． （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项． 17．（15分）已知抛物线的焦点为，直线过点，交抛物线于两点． （1）若为中点，求的方程． （2）求的最小值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形， （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． 19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，请写出具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年江苏省南京市田家炳中学 高二下学期3月数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．两不重合直线和的方向向量分别为，则与的位置关系是（ ） 平行 相交 垂直 不确定 【答案】 【解析】解：直线和的方向向量分别为， ， 即， 与的位置关系平行． 故答案为：平行． 故选： 2．在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（ ） 【答案】 【解析】解：点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为C（﹣1，3，﹣4），． 故选： 3．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． 16 18 24 32 【答案】 【解析】解：从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式． 停放的3个车辆，有种方式， 则不同的泊车方案有种． 故选： 4．如图的平行六面体中，点在上，点在上，且,若，则（　　） 【答案】 【解析】解： ， ， 故选： 5．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ） 192 420 210 72 【答案】 【解析】解：由题意知，与任意一点均不同色． 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色． 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 用5种颜色，均不同色，此时不同染色方法的种数为 根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为 故选： 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ） 【答案】 【解析】解：由，可得点的坐标为， 直线斜率为， 设， 又点在双曲线上， ， ， 双曲线的离心率. 故选： 7．有10只不同的实验产品，其中有4只次品，6只正品.现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，则错误的是（ ） 最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种 最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有576种 所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有7200种 4只次品全测出至多需要九次测试 【答案】 【解答】解：最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种 最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有种 所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有种 4只次品全测出至多需要九次测试 故选： 8．已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（ ） 【答案】 【解析】解：设， 恒成立， ， 在定义域上是增函数， 即， 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一个介绍，则（ ） 与相邻，共有240种排法 相隔一天介绍的方法种数为96 若与不相邻，共有480种排法 若在的前面，共有360种排法 【答案】 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，与相邻，共有种排法，正确； 对于，相隔一天介绍的方法种数为，错误； 对于，若与不相邻，共有种排法，正确； 对于，若在的前面，共有种排法，正确； 故选： 10.下列结论正确的是（ ） 多项式展开式中的系数为52 若，则 【答案】 【解析】解：，正确； 多项式展开式中的系数为，错误； 若，令，可得 ， 正确； ，且， 相加可得，，正确． 故选： 11．如图，在矩形中，为中点，现分别沿将翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） 三棱锥的体积为 直线与直线所成角的余弦值为 直线与平面所成角的正弦值为 三棱锥外接球的半径为 【答案】 【解析】解：对于项，由题意可得， 又平面， 所以平面， 在中，边上的高为， 所以，故项错误； 对于项，在中，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故项正确； 对于项，， 设点到平面的距离为， 由，得，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故错误； 对于项，由选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 又因为平面， 则， 即三棱锥外接球的半径为，故正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量共面，则实数　 　． 【答案】1． 【解答】解：共面， 则存在实数使得，即，解得 故答案为：1． 13．已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到直线的距离为____________． 【答案】 【解析】解：直线的一个方向向量为， 取直线一个单位方向向量为， 又为直线外一点，且直线过点， ， ，， 点到直线的距离为. 故答案为：． 14．已知次多项式．如果在一种算法中，计算 的值需要次乘法，计算的值至多需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值至多需要　 　次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：利用该算法，计算的值至多需要6次运算，计算的值至多需要　 　次运算． 【答案】230；40． 【解析】解：在利用常规算法计算多项式的值时， 算项需要乘法，则在计算时共需要乘法：次 需要加法：次，则计算的值共需要次运算． 故计算的值共需要230次运算． 在使用秦九韶算法计算多项式的值时， 共需要乘法：次 需要加法：次，则计算的值共需要次运算． 故计算的值至多需要40次运算． 故答案为：230；40． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求． 【答案】（1）;（2） 【解析】解：（1）因为， 所以 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以， 当时，②， ①减②得：， 当时，成立， 所以． （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以. 16．（15分）已知的展开式中． （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项． 【答案】（1）；6和7. （2）． 【解析】证明：（1）中二项式系数最大的项为； 解：（2），所以系数的绝对值为， 设第项系数最大， 则，解得，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，直线过点，交抛物线于两点． （1）若为中点，求的方程． （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】解：（1）设则 又，两式相减可得： ，即直线的斜率为2， 直线的方程为． （2）直线的方程为 由 ， 当时，取最小值．最小值为 18．（17分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形， （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）证明：在四棱锥中， 面，面，面， ，在直角梯形中，， 又面，面， 面，又面， ； （2）建系如图所示，根据题意可得： 设平面的法向量为， ，令，可得， 由（1）知，平面 平面与平面所成锐二面角的余弦值为； （3）由题意及（1）（2）可得：, 设， ， ， 设，则， 又，， , 当时，此时取得最大为， 又在上单调递减， ∴当最大时，直线与所成的角取得最小， 又， 故所求线段长为． 19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，请写出具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）0. 【解析】解：（1）求导易知； （2）构造函数，由（1）可知 ①当时，由， 可知，，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，满足题意； ②当时，令， 则，可知单调递增， 由与可知， 存在唯一，使得， 故当时，， 则在内单调递减， 故对任意，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． （3）， 令，则； 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0． 学科网（北京）股份有限公司 $$