江苏省南京市中华中学2023-2024学年高二下学期5月综合练习数学试卷

中华中学2023-2024学年度第二学期5月综合练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用，，，，，这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） 个 个 个 D. 个 2. 某班有名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为，则（ ） 3. 的展开式中的系数为（ ） 4. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） 5. 为了研究关于的线性相关关系，收集了组样本数据（见下表）： 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） （其中相关系数） 当时，的预测值为 样本数据的第40百分位数为 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 6. 已知三棱柱的侧棱长为，底面是边长为的正三角形， .若和相交于点，则（ ） 7. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（ ） 8. 二进制数是用和表示的数，它的基数为，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即 ，其中， 则在中恰好有个的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） 中最大 10. 棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ） 三棱锥的体积为定值 平面 当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） 在上单调递增 不等式的解集为 若恒成立，则 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量的取值为，，，若，，则 . 13. 设、、为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为；已知，，则满足条件的正整数中，最小的两位数是 . 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制.已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为. （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列及数学期望. 16. 已知函数. （1）若函数在处取到极值.求实数的值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且. （1）证明：； （2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 女 合计 （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （）求第天他去甲餐厅用餐的概率. 附：； 19. 已知集合是公比为的等比数列且，构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为. ①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值； ②若，数列的前项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中华中学2023-2024学年度第二学期5月综合练习试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用，，，，，这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） 个 个 个 D. 个 【答案】 【详解】当最后一位是时，共有种情况； 当最后一位是时，共有种情况； 当最后一位时，共有种情况，所以共有个. 故选： 2. 某班有名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为，则（ ） 【答案】 【详解】由题可设，则， 又的学生人数为，故. 故选： 3. 的展开式中的系数为（ ） 【答案】 【详解】因， 的通项公式为， 当时，，则得的展开式中的系数为； 当，，则得的展开式中的系数为. 故的展开式中的系数为. 故选：. 4. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式可知，然后根据古典概型分别求解代入计算即可. 【详解】由题意得：， 所以， 故选： 5. 为了研究关于的线性相关关系，收集了组样本数据（见下表）： 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） （其中相关系数） 当时，的预测值为 样本数据的第40百分位数为 去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 【答案】 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故错误； 对于，当时，的预测值为，故错误； 对于，样本数据的第40百分位数为，故错误； 对于，由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故正确. 故选：. 6. 已知三棱柱的侧棱长为，底面是边长为的正三角形， .若和相交于点，则（ ） 【答案】 【详解】 故选：. 7. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（ ） 【答案】 【详解】函数定义域为， 又函数存在两个极值点， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得， 又 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增加， ， 因为不等式恒成立，即恒成立，所以. 故选：. 8. 二进制数是用和表示的数，它的基数为，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即 ，其中， 则在中恰好有个的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） 【答案】 【详解】由题可得 所以在中恰好有2个0的可能性为种， 即符合条件的二进制数的个数为28， 所以有二进制数对应的十进制数的和中出现次， 均出现次 所以满足中恰好有个的二进制数对应的十进制数的总和为 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） 中最大 【答案】 【详解】由，得， 由，得，所以，所以，故错误； 由选项的分析知，，故错误； 因为，所以数列是递减数列，其前项为正，从第项起均为负，故最大，故正确； 由选项的分析知，， 所以，且，即，所以，故正确. 故选： 10. 棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ） 三棱锥的体积为定值 平面 当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为 【答案】 【详解】 对于，因为平面，平面， 所以到平面的距离等于， 所以为定值，故正确； 对于，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，由题意可知，， 则， 设平面法向量为，则，可取， 所以，且，所以，故正确； 对于，由题， 所以， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，， 即，， 令，则， 所以， 所以平面与平面不垂直，故错误； 对于，当运动到点时，三棱锥即为三棱锥， 取线段的中点，连接， 由题意可知，根据几何体特特补成长方体，为该长方体的体对角线， 则外接球的球心在线段的中点， ，所以， 所以外接球的体积为，故正确. 故选：. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） 在上单调递增 不等式的解集为 若恒成立，则 若，则 【答案】 【详解】因为，所以. 令，则， 所以（为常数），所以. 因为，所以，即. 对于，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故错误. 对于，当时，时，时， 而，根据单调性知：，故正确. 对于，若，则. 当时，恒成立；当时，等价于，即. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故正确. 对于，若，即. 因为在恒小于0，在上又单调递增，且， 所以，且，所以，故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量的取值为，，，若，，则 . 【答案】 【详解】设，则由已知得， ，所以， 解得：， 所以. 故答案为：. 13. 设、、为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为；已知，，则满足条件的正整数中，最小的两位数是 . 【答案】 【详解】根据组合数的计算公式有 故. 故答案为： 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【详解】建如图所示的空间直角坐标系 所以，则 设 则 所以点到直线的距离 故时，的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制.已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为. （1）求乙队以的比分获胜的概率； （2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列及数学期望. 【详解】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率.……………………5分 （2）由题意，的可能取值为3、4、5， 所以； ； . 所以的分布列为 …………………………………………11分 ………………………………13分 16. 已知函数. （1）若函数在处取到极值.求实数的值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【小问1详解】 ，， 若函数在处取到极值，则，解得；………………4分 又当时，，， 故当，，单调递增； 当，，单调减； 当，，单调增； ……………………………………6分 则当时，满足在处取到极值，故.…………………………………7分 【小问2详解】 当时，， ，即， 令； 对于任意，当时，不等式恒成立， 即对于任意，当时，恒成立，也即在单调递减； 又，故 ， 由题可知，在恒成立，即在恒成立， 也即在恒成立， ………………………………11分 令， 则，又对称轴为，其中单调递减， ， 故在恒成立，则在单调递减，又， 则，也即的取值范围为：. ……………………15分 17. 如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且. （1）证明：； （2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【小问1详解】 连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为， 所以都为正三角形， 所以，四边形是菱形， 记与的交点为，为和的中点， 因为， 所以三角形为正三角形， 所以，所以， 因为是半球面上一点，是半球的直径，所以， 因为，， 所以. ……………………………………………………6分 【小问2详解】 因为点在底面圆内的射影恰在上， 由（1）知为的中点，为正三角形，所以， 所以， 因为四边形是菱形，所以， 即、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ………………………………7分 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则， ………………………………11分 设直线与平面的所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. ……………………15分 18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 女 合计 （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （）求第天他去甲餐厅用餐的概率. 附：； 【答案】（1）没有关联 （2）（）； （） 【详解】（1）零假设：在不同区域就餐与学生性别没有关联， 根据表中的数据可得，， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.…………5分 （2）设“第天去甲餐厅用餐”， “第天去乙餐厅用餐”， “第天去丙餐厅用餐”， 则两两独立，， 由题意可得，，，， ，，，， ， （）由，结合全概率公式可得， ， 所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为. …………………………10分 （）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，则， 由全概率公式可得 故①， ………………………………12分 同理可得②， ③，④， 由①②可得，由④可得， 代入②中可得，即， 且， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以， …………………………14分 于是，当时，， 综上所述，. …………………………17分 19. 已知集合是公比为的等比数列且，构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为. ①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值； ②若，数列的前项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列. 【答案】（1）；（2）①32；② 【小问1详解】 是公比为2的等比数列且构成等比数列. 则，即， 解得，故数列的通项公式. …………………………4分 【小问2详解】 ①，设其前项和， ，设其前项和， ………………6分 集合中的所有元素的最小值为， 且三个元素是中前项中的元素，且是中的元素， 又， 又， 故， 且， 故使成立的的最大值是. ……………………10分 ②因为中的元素按从小到大的顺序记为， 对集合中的元素进行分类讲座： 当时，由的前项成等比数列，得，显然不成立； 当时，由的前项成等比数列，得，； 因此数列的前项分别为，，，，； 这样，则数列的前项分别为，，，，，， ，，；上述数列符合要求； …………………………14分 当时，有，即数列的公差， ； ，，在数列的前项中，由于，这样， 以及，，共9项， 它们均小于，即数列的前项均小于，这与矛盾，所以也不成立； 综上所述，. ……………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$