江苏省南京市外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023—2024学年高二下学期南京市外国语学校3月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．表示为　　 A． B． C． D． 2．若，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 3．如果点位于第三象限，那么角所在象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在中，若，，，则此三角形解的情况为　　 A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定 5．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为　　 A． B． C． D．15 6．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为　　 A． B． C． D． 7．的值为　　 A． B． C． D． 8．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有　　 A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 二．多选题 9．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是　　 A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上单调递增 D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 10．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是　　 A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240 C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则　　 A． B． C． D． 三．填空题 12．已知， 则 ； . 13．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件为“三人竞岗部门都不同”， 为“甲独自竞岗一个部门”，则　　． 14．如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形，设，则的面积最小时， ． 四．解答题 15．在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16．某垃圾分类宣传小组由4名女同学和2名男同学组成. （1）若从这6名同学中选出4名参加活动，求既要有男同学参加又要有女同学参加的选法多少种？ （2）若这6名同学排成一排照相留念，求男同学不相邻的站法有多少种？ （3）若这6名同学排成一排照相留念，求男同学甲不站在最左边，男同学乙不站在最右边的站法有多少种？ 17．南外第37届外语节系列活动之“主持人大赛”选拔出的优胜者如下：高一年级有4名女生和4名男生，高二年级有3名女生和2名男生，高三年级有2名女生和3名男生，现在需要从中选两名学生主持配音比赛，规则如下：先随机选一个年级，再从该年级中先后随机选两名同学. （1）求第一次选出的是女同学的概率； （2）求第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 18．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求的值； （2）若，且，求的值； （3）求关于的方程在，上的最大根与最小根之和． 19. “数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意，有如下定义： 定义：“数”：； 定义：“阶乘”：规定； 定义：“组合数”： （1）求的值． （2）证明：对任意，都有 ①； ② （3）证明：对任意，都有 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高二下学期南京市外国语学校3月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：由排列式公式可得：． 故选：． 2．若，则的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】． 【解析】解：由，得， 解得， 又且，即，解得． 故选：． 3．如果点位于第三象限，那么角所在象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】． 【解析】解：点位于第三象限， 且， 则角所在象限是第三象限． 故选：． 4．在中，若，，，则此三角形解的情况为　　 A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定 【答案】． 【解析】解：在中，，，， ， 即， ， 或． 故此三角形有两解． 故选：． 5．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为　　 A． B． C． D．15 【答案】． 【解析】解：因为只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0， 则，令，则，解得， 所以二项式为，其展开式的通项公式为 令，解得， 所以展开式中含的项的系数为， 故选：． 6．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：设该校共有名同学，则约有的学生近视，的学生每天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有的学生近视． 所以有的学生每天玩手机不超过1小时且其中有的学生近视． 所以从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为． 故选：． 7．的值为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解： 因为 ，则 故选： 8．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有　　 A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】． 【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①对于区域①、②、⑤，三个区域两两相邻，有种涂色的方法， ②对于区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法， 故有种涂色方法， 故选：． 二．多选题 9．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是　　 A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴方程是 C．函数在区间上单调递增 D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 【答案】． 【解析】解：已知函数，， 其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期，则， 点是其中一个对称中心，则，，， 又，， ，最小正周期，故正确； ，是函数图象的一条对称轴方程，故正确； ，，则函数在区间上不单调，故错误； 将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度， 可得，故错误， 故选：． 10．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是　　 A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240 C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】． 【解析】解：对于选项，给其中的一人安排一项工作，则有4种不同的安排方法，则每人都安排一项工作，则不同的方法数为，即选项正确； 对于选项，每项工作至少有1人参加，先从5人中选2人作为1组，再与另外3人共4组，每组选一项工作，则不同的方法数为，即选项错误； 对于选项，先将5名同学分为3组，然后再分别安排赛道补给、路线引导、物品发放三项工作，则这5名同学全部被安排的不同方法数为，，即选项错误； 对于选项，当从丙、丁、戊3人中选2人兴奋剂检测，则不同安排方案的种数是，当从丙、丁、戊3人中选1人兴奋剂检测，则不同安排方案的种数是，即不同安排方案的种数是，即选项正确， 故选：． 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：对于，，故正确； 对于，，故正确； 对于，事件和相互独立， ，故错误； 对于，，， ， ，故正确． 故选：． 三．填空题 12．已知， 则 ； . 【答案】；127 【解析】解：因为，令，则； 表示展开式中各项系数和，则 ，因为，则 故答案为：；127. 13．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件为“三人竞岗部门都不同”， 为“甲独自竞岗一个部门”，则　　． 【答案】． 【解析】解：由题意可得，（B），， ． 故答案为：． 14．如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形，设，则的面积最小时， ． 【答案】． 【解析】解：不妨设的边长为，．在中，． 因为， 所以在中，可得， 根据正弦定理可得，所以其中， 当时，取得最小值，此时面积的最小，此时， 故答案为：． 四．解答题 15．在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理的变形得， 又，所以； （2）由得，且， 所以， 所以， 因为，从而， 所以，从而， 故的取值范围为． 16．某垃圾分类宣传小组由4名女同学和2名男同学组成. （1）若从这6名同学中选出4名参加活动，求既要有男同学参加又要有女同学参加的选法多少种？ （2）若这6名同学排成一排照相留念，求男同学不相邻的站法有多少种？ （3）若这6名同学排成一排照相留念，求男同学甲不站在最左边，男同学乙不站在最右边的站法有多少种？ 【答案】（1）14； （2）480； （3）504． 【解析】解：（1）既要有男同学参加又要有女同学参加的选法包括一名男同学，3名女同学或者两名男同学2名女同学的情况；故共有：种. （2）男同学不相邻的站法有： （3）男同学甲不站在最左边，男同学乙不站在最右边的站法有：． 17．南外第37届外语节系列活动之“主持人大赛”选拔出的优胜者如下：高一年级有4名女生和4名男生，高二年级有3名女生和2名男生，高三年级有2名女生和3名男生，现在需要从中选两名学生主持配音比赛，规则如下：先随机选一个年级，再从该年级中先后随机选两名同学. （1）求第一次选出的是女同学的概率； （2）求第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 【答案】（1）；（2）； 【解析】解：（1）第一次选出的是女同学的概率 （2）第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率 18．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求的值； （2）若，且，求的值； （3）求关于的方程在，上的最大根与最小根之和． 【答案】（1）． （2）． （3）2024． 【解析】解：（1）正三角形的高为，， 函数的周期，． （2），由（1）有， 即，由，知， ． ． （3）， 当，，， 设与，的图象交点的横坐标最小为，最大为， 则：； 即此方程在内所有最小根为：1，最大根为2023．两个之和为2024. 19. “数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意，有如下定义： 定义：“数”：； 定义：“阶乘”：规定； 定义：“组合数”： （1）求的值． （2）证明：对任意，都有 ①； ② （3）证明：对任意，都有 【答案】（1） 【解析】解：（1） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$