江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年高二下学期南京市秦淮区3月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点，若向量，则点的坐标是（    ）. ． ． ． ． 2．已知，若为的导函数，若，则等于（    ） ． ． ． ． 3．用0，1，2，···，5这6个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） ． ． ． ． 4．可表示为（    ） ． ． ． ． 5．在三棱柱中，，，，点满足，则（   ） ． ． ． ． 6．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ） ． ． ． ． 7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（  ） ．144种 ．84种 ．78种 ．60种 8．已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点满足，是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） ． ． ． ． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9．设数列的前项和为，已知，，则（    ） ． ． ．数列是等比数列 ．数列是等比数列 10．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） ．直线的一个方向向量为 ．线段的长度为3 ．平面的法向量中 ．向量和向量夹角的余弦值为 11．甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（    ） ．共有72种安排方法 ．若甲被安排在学校，则有12安排方法 ．若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法 ．若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，那么 ； 13．如图，已知空间四边形中，，，对角线，的中点分别为，，则 .(用向量表示) 14．已知，，是不共面向量， ，，，若，，三个向量共面，则实数等于 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 某班级甲组有3名男生，3名女生；乙组有4名男生，2名女生． (1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有一名女生的不同选法有多少种？ (2)若从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？ (3)将这些学生排成两排，两组的女生站在第一排，两组的男生站在第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？ 16．（本小题满分15分） 设等差数列的前项的和为，，，设. (1)求的值； (2)设为的前项的和，为数列的前项的和，且，求实数的值. 17．（本小题满分15分） 椭圆的离心率为,且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，若，求的面积. 18．（本小题满分17分） 已知函数 ． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上. （1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二下学期南京市秦淮区3月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点，若向量，则点的坐标是（    ）. ． ． ． ． 【答案】 【详解】由空间向量的坐标表示可知，， 所以， 所以点的坐标为. 故选：. 2．已知，若为的导函数，若，则等于（    ） ． ． ． ． 【答案】 【详解】， 因为，所以， 解得. 故选：. 3．用0，1，2，···，5这6个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） ． ． ． ． 【答案】 【详解】用0到5这6个数字组成没有重复数字的三位数，首先排最高位，有5种，再排剩下的，有种，故共有个没有重复数字的三位数，故正确； 故选：. 4．可表示为（    ） ． ． ． ． 【答案】 【详解】解：由题意.. 故选：. 5．在三棱柱中，，，，点满足，则（   ） ． ． ． ． 【答案】 【详解】又，，， 故. 故选：. 6．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ） ． ． ． ． 【答案】 【详解】解：抛物线的焦点是，，，， ． 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：. 7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（  ） ．144种 ．84种 ．78种 ．60种 【答案】 【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种 所以每位同学的不同选修方式有种， 故选：. 8．已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点满足，是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） ． ． ． ． 【答案】 【详解】由题意，取中点为，， 得 , ， 当时，， 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9．设数列的前项和为，已知，，则（    ） ． ． ．数列是等比数列 ．数列是等比数列 【答案】 【详解】对于，，所以，正确； 对于，因为，所以， 所以，所以， 于是，正确； 对于，，但不满足，故不是等比数列，错误； 对于，因为，所以，即是首项为1，公比为4的等比数列，正确． 故选：. 10．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） ．直线的一个方向向量为 ．线段的长度为3 ．平面的法向量中 ．向量和向量夹角的余弦值为 【答案】 【详解】对于选项：，，，，故正确； 对于选项：，，故错误； 对于选项：因为向量是平面的法向量，所以有，又，所以有，即，故正确； 对于选项：，所以，故正确. 故选：. 11．甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（    ） ．共有72种安排方法 ．若甲被安排在学校，则有12安排方法 ．若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法 ．若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法 【答案】 【详解】所有安排方法有，错误； 若甲被安排在学校，则有种安排方法，正确； 若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，正确； 若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，所以若甲、乙不能在同一所学校，共有种方法，正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，那么 ； 【答案】 【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去） 故答案为：. 13．如图，已知空间四边形中，，，对角线，的中点分别为，，则 .(用向量表示) 【答案】 【详解】设为的中点，连接，， 则. 故答案为：. 14．已知，，是不共面向量， ，，，若，，三个向量共面，则实数等于 . 【答案】 【详解】若向量，，共面，则存在，使得， ， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 某班级甲组有3名男生，3名女生；乙组有4名男生，2名女生． (1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有一名女生的不同选法有多少种？ (2)若从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？ (3)将这些学生排成两排，两组的女生站在第一排，两组的男生站在第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)105； (2)78； (3)6912. 【详解】（1）共有7名男生，5名女生，所以共有种不同的的选法； （2）分为两类，甲组中抽出一名女生或乙组中抽出一名女生，可得共有种不同的的选法； （3）对于前排女生，捆绑法，共有种排法，同理对于后排男生共有种排法，所以共有种排法. 16．（本小题满分15分） 设等差数列的前项的和为，，，设. (1)求的值； (2)设为的前项的和，为数列的前项的和，且，求实数的值. 【答案】(1)68 (2) 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 由已知可得，解得， 则. （2）解：由（1）可知，则， ， 所以，数列是以为首项，以4为公比的等比数列， 所以，，因此，. 17．（本小题满分15分） 椭圆的离心率为,且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，若，求的面积. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）椭圆的离心率为,,即, 又椭圆过点,, 所以椭圆的方程为：. （2）设点，，由（1）得，，因为，所以，即，将，代入椭圆方程得：，两式相减得，即，与联立可解得，，. 18．（本小题满分17分） 已知函数 ． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 在上单调递减   当时， 在单调递减，在单调递增． (3) 【详解】（1），，又函数在处的切线与直线垂直，，即，即 故答案为：. （2）的定义域为， （ⅰ）若，则，所以在上单调递减   （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增．   故当时， 在上单调递减   当时， 在单调递减，在单调递增． （3）（ⅰ）若，由（2）知，至多有一个零点，不满足条件． （ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为 ①当时，由于，故只有一个零点，不满足条件；    ②当时，，即，故没有零点，不满足条件； ③当时，，，即． 又，故在有一个零点． 设正整数满足，则 ． 由于，因此在有一个零点． 综上，的取值范围为． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上. （1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）为靠近点的四等分点，证明见解析 （2） （3） 【详解】（1）为靠近点的四等分点， ，又底面是菱形，，，即四点共面. （2）取中点，连接，. 为等边三角形，，，. 又平面平面，平面平面， 平面，平面. 又平面，. ，，. 又，平面， 平面，，平面. 又平面，. ， 设点到平面的距离为， 则即，； （3）由（2），分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，. 设，则，. 得，则. 又平面，则取平面的法向量. 设与平面所成的角为，则 ，解得. 则，. 设平面的法向量，则. 令，则取平面的法向量，又平面的法向量. 故平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$