江苏省南京市宁海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

2023-2024学年高二上学期南京市宁海中学期末考试数学试卷 一．单选题 1．方程所表示的直线　　 A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 2．已知等比数列中，，，则　　 A． B． C．或 D． 3．若，则　　 A．1 B．2 C． D． 4．函数的单调递增区间是　　 A．和 B． C． D． 5．在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于　　 A． B． C． D． 6．圆关于直线对称的圆的方程为　　 A． B． C． D． 7．已知双曲线的左右焦点分别为，，点，若点在双曲线上，且，则双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 8．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　 A． B． C． D． 二．多选题 9．对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是　　 A．使的一定是函数的极值点 B．在上单调递增是在上恒成立的充要条件 C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若在上存在极值，则它在一定不单调 10．已知递减的等差数列的前项和为，，则　　 A． B．最大 C． D． 11．已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是　　 A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 12．设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是　　 A． B． C．若点，则的最小值是5 D．若倾斜角为，且，则 三．填空题 13．已知数列中，，则 　　． 14．已知函数是的导函数），则 . 15．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 　　． 四．解答题 17．已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）经过点的直线被曲线截得的线段长为，求直线的方程． 18．已知等比数列中，，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19．已知函数． （1）若在区间上为增函数，求的取值范围； （2）若的单调递减区间为，求的值． 20．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 21．已知函数． （1）若，求函数在区间，上的最大值与最小值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 22．已知椭圆，直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个动点，且的中点到原点的距离为1，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二上学期南京市宁海中学期末考试数学试卷 一．单选题 1．方程所表示的直线　　 A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】． 【解析】解：， ， ，解得：，． 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 2．已知等比数列中，，，则　　 A． B． C．或 D． 【答案】． 【解析】解：等比数列中，，，设公比为， ，，；或，，． ，或， 则， 故选：． 3．若，则　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】． 【解析】解：， 则，解得． 故选：． 4．函数的单调递增区间是　　 A．和 B． C． D． 【答案】． 【解析】解：函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是，． 故选：． 5．在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：令，由等差数列的性质得，也为等差数列，设其公差为， 由，得， 又，得， 故选：． 6．圆关于直线对称的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：圆的圆心为，点关于直线的对称点为， 故关于的对称圆的圆心为，半径为2， 故选：． 7．已知双曲线的左右焦点分别为，，点，若点在双曲线上，且，则双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：依题意得，， 因为，所以，代入双曲线中， 得，得，即，则， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：． 8．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】解：由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点，， ， ， ， ， ． 设，则， 在上单调递增，在上单调递减， ， 实数的最大值为， 故选：． 二．多选题 9．对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是　　 A．使的一定是函数的极值点 B．在上单调递增是在上恒成立的充要条件 C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若在上存在极值，则它在一定不单调 【答案】． 【解析】解：选项，的不一定是函数的极值点， 比如在处导函数的值为0， 但不是的极值点，说法错误； 在上单调递增，可能会在某点导函数等于0， 比如为单调递增函数，在处导函数值为0， 故在上单调递增不是在上恒成立的充要条件，说法错误； 若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大， 比如，在处取得极大值， 在处取得极小值2，极小值大于极大值，故说法错误； 根据极值点和极值的定义可以判断， 若在上存在极值，则它在一定不单调，说法正确． 故选：． 10．已知递减的等差数列的前项和为，，则　　 A． B．最大 C． D． 【答案】． 【解析】解：递减的等差数列的前项和为，， ， 解得， 故， ，， ． 当时，取最大值． 故选：． 11．已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是　　 A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】． 【解析】解：因为的方程可化为，它表示圆心，半径为的圆， 对于表示圆上的点到定点的距离的平方， 故它的最大值为：故错误； 对于表示圆上的点与点的斜率， 由圆心到直线的距离，可得， 即其最大值为，故正确； 对于表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，故错误； 对于．设过点作曲线的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由，解得，故切线方程为，故正确． 故选：． 12．设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是　　 A． B． C．若点，则的最小值是5 D．若倾斜角为，且，则 【答案】． 【解析】解：的焦点，准线方程为，设，，，， 直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得， 所以，，， 则，时取得等号，故正确； 当直线的方程为时，不妨取，，此时，故错误； 根据抛物线的定义，可得的最小值是到抛物线的准线的距离，即的最小值为，故正确； 当的倾斜角为时，，不妨取在第一象限，在第四象限，由，，解得，， 所以，即，故正确． 故选：． 三．填空题 13．已知数列中，，则 　　． 【答案】29． 【解析】解：由累加法可得：，则 故答案为：29． 14．已知函数是的导函数），则 . 【答案】． 【解析】解：根据题意，函数，则有（3）， 令可得：（3）（3）（3），变形可得（3）， 则，故（1）； 故答案为：． 15．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】． 【解析】解：， 圆心，半径． 由题意可知， 点到圆的切线长最小时， ． 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 　　． 【答案】． 【解析】解：有两个极值点 有两个根有两个根， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， （1），，， 所以有两个极值点，即， 故答案为：． 四．解答题 17．已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）经过点的直线被曲线截得的线段长为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】解：（1）设点的坐标为， 由，可得， 则，所以曲线的方程为． （2）经过点的直线被圆截得的线段长为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线被圆截得的线段长为4，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 18．已知等比数列中，，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：解：（1）设数列的公比为， 由题意知：， ，即． ，即． （2）． 数列的前项和． ． ． 解得：． 19．已知函数． （1）若在区间上为增函数，求的取值范围； （2）若的单调递减区间为，求的值． 【答案】（1），；（2）3 【解析】解：（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，即的取值范围为，． （2）由，的单调递减区间为， 可得方程的根为，． 即的取值为3． 20．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）． （2）证明见解析． 【解析】解：（1），是公差为的等差数列， ， ， 时，， 化为：， ，时也成立）． （2）由（1）可得：， ， 数列单调递增， 又时，， ． 21．已知函数． （1）若，求函数在区间，上的最大值与最小值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】（1）最小值为，最大值为； （2）． 【解析】解：（1）当时，，，， ， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， ， （2）， ， 所以时，在，上最小值为，最大值为． （2）因为的最小值为0，， 若时，则，，在上单调递增，最小值， 若时，则，． 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以， 解得． 22．已知椭圆，直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个动点，且的中点到原点的距离为1，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】解：（1）因为直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以，，， 故椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，的面积为． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，， 联立方程组得， 则，． 因为，所以的中点为． 因为， 所以． 因为原点到直线的距离， ， 所以． 因为，当且仅当时，等号成立， 由解得，， 也满足△，所以． 综上所述，面积的最大值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$