江苏省南京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024高一下学期南京一中期中考试试卷 一、单知题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题会出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算的结果是( ) A. B. C. D. 2.已知平面向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C.2 D.5 3.函数的值域为( ) A. B. C. D. 4.已知，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5.设向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6.已知，则（ ） 7.在中，，则( ) A. B. C. D. 8.在锐角中，分别是角所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分䢞对的得3分，有选错的得0分. 9.如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是( ) A. B.点的坐标为， C. D. 10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若为斜三角形，则 C.若，则解此三角形的结果有一解. D.若外接圆半径为，内切圆半径为，则 11.如图，长方形中将它分成3个小正方形，下列讨论正确的是 ( ) A.若，则 B.若为长方形内动点，为常数， 则满足 C.若在线段上(不包括端点)，则取值范围为. D.，若.则在正方形内. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若，则 13.设都是单位向量，且，则的最小值为 14.在中，为的外心，分别为，的中点，且，则 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 15.(13分)已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 16.(15分)已知，且. (1)求的值; (2)求的值. 17.(15分)如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点(不包含端点)，过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点. (1)若，求; (2)设，求四边形的面积的最大值. 18.(17分)如图，在平面四边形中，. (1)若，求的值; (2)若，求的长. 19.(17分)定义:向量的“相伴函数”为;函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模; (3)已知动点和定点满足:，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024高一下学期南京一中期中考试数试卷 一、单知题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题会出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】原式故选：D. 2.已知平面向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C.2 D.5 【答案】B 【解析】因为向量与共线，所以6，解得. 故选：B. 3.函数的值域为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ，.即值域为， 故选：C. 4.已知，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为 故选:B 5.设向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，，即， 解得； 故，又，故. 故选:C. 6.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， 故选:D. 7.在中，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，不妨设， 又因为， 即，解得， 所以， 因为，即， 且，即， 又因为，则，解得， 同理可得，所以. 故选:B. 8.在锐角中，分别是角所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】为锐角三角形，，， . 故选：C 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分䢞对的得3分，有选错的得0分. 9.如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是( ) A. B.点的坐标为， C. D. 【答案】ACD 【解析】,,A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若为斜三角形，则 C.若，则解此三角形的结果有一解. D.若外接圆半径为，内切圆半径为，则 【答案】ABD 【解析】A:，可得， 由正弦定理可得， 由由函数在上单调递减得;正确; B:， 所以;B正确; :若为的最小内角，则，所有错误; D:由正弦定理化角为边，设， 由余弦定理得 由正弦定理为外接圆半径， 所以外接圆半径， 所以， ，所以，D正确 11.如图，长方形中将它分成3个小正方形，下列讨论正确的是 ( ) A.若，则 B.若为长方形内动点，为常数， 则满足 C.若在线段上(不包括端点)，则取值范围为. D.，若.则在正方形内. 【答案】AB 【解析】对于中，由，可得， 又由， 因为，可得所以，所以A正确; 对于中，以为坐标原点，以所在的直线 分别为轴，建立平面直角坐标，如图所示，可得，则 ， 又由，可得， 因为点在长方形内，所以，即. 解得，所以B正确； 对于C中，由B中的坐标系，可得因为点P在AC上，可设,所以则，可得，所以C错误 对于中，由，可得 此时点不在正方形内，所以D错误. 故选:. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若，则 【答案】 【解析】. 13.设都是单位向量，且，则的最小值为 【答案】 【解析】不妨设，，则易得.故得其最小值为. 14.在中，为的外心，分别为，的中点，且，则 【答案】 【解析】如图示，作出的外接圆，设半径为. 由正弦定理得:，即，解得:，所以. 设，则. 所以 . 因为为的外心，所以，所以. 同理:. 因为为的外心，所以，所以， 同理:. 因为，所以， 所以. 由二倍角的余弦公式可得:. 所以. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 15.(13分)已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 复数，，则为纯虚数，则 解得，所以实数的值是1. 【小问2详解】 复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得，因此，又， 则，即有， 所以. 16.(15分)已知，且. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】已知，且. 所以， 故， 由于，解得. 所以. (2). 所以. 17.(15分)如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点(不包含端点)，过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点. (1)若，求; (2)设，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】(1)由题意可知关于对称，连接，记与的交点分别为， 则， 则， 故. (2)连接，记的交点分别为， 则 所以四边形的面积 ， 因为， 所以当，即时，取到最大值1， 故 18.(17分)如图，在平面四边形中，. (1)若，求的值; (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，则. 在中. 整理得， 所以 故。 （2） 由， 由. 而，故，故. 所以. 所以，即. 则 . 则 19.(17分)定义:向量的“相伴函数”为;函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. (1)设函数，求证； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模; (3)已知动点和定点满足:，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】(1)， 其中“相伴向量”，所以. (2) ， 函数的“相伴向量”， 则. (3)的相伴函数，其中， 当时，取到最大值，故 ， 所以， 所以为直线 的斜率，由几何意义知，， 令，则. 当时，函数单调递减，所以 当时，函数单调递减， 所以. 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$