江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期3月阶段考试数学试卷

南京一中2023-2024学年度第二学期阶段考试试卷 高 二 数 学 2024.03 一、单项选则题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（    ） A．0 B．1 C． D．3 2．邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　） A．6种 B．8种 C．9种 D．10种 3．若直线把单位圆分成长度为的两段圆弧，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是等比数列，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则（    ） A． B．3 C． D．2 6．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得3分，有错选得0分） 9．下列结论中正确的是（    ） A．若直线的方程，则直线的倾斜角为 B．已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C．若直线与直线垂直，则 D．圆与圆的公切线条数为2 10．著名科学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线”（或者叫“叶形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字——茉莉花瓣曲线．已知曲线G：，则（    ） A．曲线G关于直线y＝x对称 B．曲线G与直线x－y＋1＝0在第一象限没有公共点 C．曲线G与直线x＋y－6＝0有唯一公共点 D．曲线G上任意一点均满足x＋y＞－2 11．在棱长为2的正方体中，下列选项正确的是（    ） A．若M，N分别为，的中点，直线平面 B．若，三棱锥的体积为定值 C．若､､分别为､､的中点，则存在实数､使得成立 D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 12．一条铁路线原有个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站 个． 13．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和 ． 14．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分13 分)在某大学艺术节上，经过激烈竞争选拔出了6名同学进行才艺展示，其中，财政学院选出了2名同学会计学院选出了3名同学，统计学院选出了1名同学. (1)出场顺序要求财政学院选拔的2名同学既不在第位出场，也不在最后一位出场，求不同的出场顺序种数； (2)出场顺序要求财政学院选拔的2名同学不能连排，会计学院选拔的3名同学连排，求不同的出场顺序种数. 16．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且. (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数. 17．（本小题满分15分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求. 18．（本小题满分17分）已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值. 19．（本小题满分17分）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京一中2023-2024学年度第二学期阶段考试试卷 高 二 数 学 2024.03 一、单项选则题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据方向向量的定义以及向量平行的规则求解. 【详解】因为A，B点在直线l上，必有 ， ， ， ，解得： ； 故选：A. 2．邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　） A．6种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法. 故选：C 3．若直线把单位圆分成长度为的两段圆弧，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线和圆相交于，则根据较短弧长与较长弧长之比为得到，利用点与直线的距离建立条件关系即可． 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径， 设直线和圆相交于，    若较短弧长与较长弧长之比为，则， 则圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：B. 4．已知数列是等比数列，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】C 【分析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可. 【详解】由等比数列的性质知：，，， 所以，又， 所以. 故选：C 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】设，根据椭圆的定义，得到，再由为等腰三角形，得，联立方程组求得，进而得到的值. 【详解】如图所示，由椭圆的左、右焦点分别为，且， 可得，所以， 设，可得，所以， 因为为等腰三角形，可得，则， 联立方程组，可得，则. 故选：C. 6．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 7．若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将可得，构造函数，利用导数求解单调性，即可结合函数的图象求解. 【详解】令，得， 令，则， 故当时，，当时，，当时，， 因为，作出函数的大致图象如下，观察图象可知，， 则， 故选:D．    8．如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可. 【详解】   如图所示，易知， 所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以, . 故选：A 二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得3分，有错选得0分） 9．下列结论中正确的是（    ） A．若直线的方程，则直线的倾斜角为 B．已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C．若直线与直线垂直，则 D．圆与圆的公切线条数为2 【答案】ABD 【分析】对于A，直接由斜率验算倾斜角即可；对于B，根据对称性，先得第一象限内曲线的长度，由此即可验算；对于C，由直线垂直的充要条件即可验算；对于D，先判断两圆的位置关系，由此进一步即可判断. 【详解】对于A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，如图所示： 当时，曲线，即， 此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为， 在曲线中，分别用替换，方程依然成立， 这表明了曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线的周长为，故B正确； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得或，故C错误； 对于D，圆即的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确. 故选：ABD. 10．著名科学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线”（或者叫“叶形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字——茉莉花瓣曲线．已知曲线G：，则（    ） A．曲线G关于直线y＝x对称 B．曲线G与直线x－y＋1＝0在第一象限没有公共点 C．曲线G与直线x＋y－6＝0有唯一公共点 D．曲线G上任意一点均满足x＋y＞－2 【答案】ACD 【分析】验证对于任意是否都有成立即可判断A；联立直线与曲线得，构造，利用导数研究其在上零点个数即可判断B；联立直线与曲线求交点即可判断C；设，代入曲线整理得，通过判别式得出的范围即可判断D. 【详解】对于A，将代入，有都成立， 即曲线关于直线对称，故A对； 对于B，将代入曲线得，即， 令，且， 则，由，解得， 在上，递减，在上，递增， 又，而， 所以在上有两个零点，故B错； 对于C，将代入曲线得， 即，所以， 即曲线与直线有唯一公共点，故C对； 对于D，设，代入曲线得， 即， 当，即时，代入得，矛盾，故， 所以，即， 解得，又，所以，故D对. 故选：ACD. 11．在棱长为2的正方体中，下列选项正确的是（    ） A．若M，N分别为，的中点，直线平面 B．若，三棱锥的体积为定值 C．若､､分别为､､的中点，则存在实数､使得成立 D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法即可判断A、C、D，变换三棱锥的顶点和底面，用等积法可判断B. 【详解】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，， ，是平面的一个法向量， 因为，所以A错误； 若，则点在线段上，如图： 则三棱锥的体积 为一定值，故B正确； 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，， ，，， 若存在实数､使得成立， 则有， 所以有，解得，所以C正确； 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，， ，， 若，得，则， 设异面直线BP和所成角为，则， 所以有， 当时，，此时异面直线BP和所成角为； 当时，令，则， ， 令，则，， 因，所以当即时，取得最大值为， 此时此时异面直线BP和所成角为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 12．一条铁路线原有个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站 个． 【答案】 14 【分析】根据排列数的定义建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，，即，解得． 故原有车站14个． 故答案为：14. 13．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和 ． 【答案】 【分析】先根据等差中项可得，再利用和的关系可得，进而求得，所以，利用裂项相消求和即可. 【详解】由对于任意的，总有，，成等差数列可得： ， 当时可得， 所以， 所以， 所以， 由数列的各项均为正数， 所以， 又时，所以， 所以， ， . 故答案为：. 14．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分13 分)在某大学艺术节上，经过激烈竞争选拔出了6名同学进行才艺展示，其中，财政学院选出了2名同学会计学院选出了3名同学，统计学院选出了1名同学. (1)出场顺序要求财政学院选拔的2名同学既不在第位出场，也不在最后一位出场，求不同的出场顺序种数； (2)出场顺序要求财政学院选拔的2名同学不能连排，会计学院选拔的3名同学连排，求不同的出场顺序种数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先排第一位和最后一位的出场，再排剩下的名同学，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）利用捆绑法与插空法计算可得； 【详解】（1）解：先安排第一位和最后一位的出场，有种，剩下的4名同学的出场顺序有种， 由分步乘法计算原理得不同的出场顺序种数为； （2）解：先把会计学院的3名同学连排，作为一个整体有种排法； 再把他和统计学院的1名同学排好有种排法，并产生了3个“空位”， 最后用财政学院的2名同学去坐这3个“空位”有种排法. 由分步乘法计数原理得不同的出场顺序种数为. 16．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，为公比为3的等比数列，且. (1)证明：； (2)若集合，求集合中的元素个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）设出等差数列的公差，由基本量表示出来，求解即可得证； （2）由（1）知，所以，将转化为，从而可知无正整数解. 【详解】（1）证明：设数列的公差为， 则， 解得，所以原命题得证. （2）由（1）知，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以是偶数， 所以无正整数解，故集合中的元素个数为0. 17．（本小题满分15分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求. 【答案】(1)答案见解析； (2) . 【分析】（1）求导，根据导数的结构对分和讨论得解. （2）对分类讨论求出的最大值，建立关于的不等关系，解得的范围. 【详解】（1）， 当时，，在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，不合题意. 当时，由（1）可知，. 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以. 所以当且时，，不合题意， 当时，，符合题意. 综上，. 18．（本小题满分17分）已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)16. 【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P的坐标，结合抛物线定义列式计算作答. （2）设出直线AB、CD的方程，求出点H坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借助均值不等式求解作答. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线， 为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则， 由，解得，设，则点， 于是由得：，解得， 所以抛物线的方程为：. （2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：， 由消去x并整理得：，设，则， 于是得弦AB中点，， 同理得， 因此，直角面积 ，当且仅当，即时取“=”， 所以面积的最小值为16. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得. 19．（本小题满分17分）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用共面向量定理可证明； （2）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解. 【详解】（1） ，，， ，所以,,,四点共面. （2）   设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，， ，，，， 由，可求得，， ，， 设为平面的法向量， ，取，，， ， ，， 设，， ， 设直线与平面所成角的为， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$