江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷

2023-2024学年高二上学期南京一中期末数学试卷 高二数学 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．） 1．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（　　）． 充要条件 必要而不充分条件 充分而不必要条件 既不充分也不必要条件 2．若数列满足，，则（　　） 3．已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（　　）． 在区间上单独递减 的一个增区间为 的一个极大值为 的最大值为 4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（　　）． 5．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（　　） 6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（　　） 7．三个数，，的大小顺序为（　　） 8．已知，分别为双曲线左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是（　　） 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．） 9．已知圆和圆交于，两点，则（　　）． 两圆的圆心距 两圆有条公切线 直线的方程为 圆上的点到直线的最大距离为 10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（　　）． 时，的最小值为 最大时， 11．抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（　　）． 抛物线的方程为 存在直线，使得、两点关于对称 的最小值为 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 12．已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（　　） 的最小值为 取最小值时的值为 的最小值为 取最小值时的值为 三、填空题：（本题共4小题，共20分．） 13．在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______． 14．已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，做垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______． 15．设函数的导数为，且，则______． 16．已知数列满足，，则数列的通项公式为______，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为______． 四、解答题：（本题共6小题，共70分．） 17．（10分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的解集． 18．（12分）在数列中，， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前项和． 19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程． 20．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值． 22．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在不相等的实数，，使得，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二上学期南京一中期末数学考试试卷 高二数学 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．） 1．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（　　）． 充要条件 必要而不充分条件 充分而不必要条件 既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】斜率不存在时，则当时，两直线为与，此时两直线垂直． 当，即时，两直线为与，此时两直线相交不垂直． 斜率存在时，当且时，两直线的方程为与． 两直线的斜率为与， 所以由得， 所以或时两直线垂直， 所以是两直线垂直的充分不必要条件，故选：． 2．若数列满足，，则（　　） 【答案】 【解析】数列满足，， ， ， ， ， ， 是周期为的周期数列， 而， 故． 故选：． 3．已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（　　）． 在区间上单独递减 的一个增区间为 的一个极大值为 的最大值为 【答案】 【解析】结合图象： 时，递增，故错误，正确； 时，递减， 故是的极大值点，是函数的一个极大值，但不一定是最大值，即错误； 是函数的一个极小值，即错误；故选：． 4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（　　）． 【答案】 【解析】由题意可得，解得 ， 所以． 故选：． 5．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（　　） 【答案】 【解析】由题意，， 在圆中，点在圆上，线段的中点为，设，则，，即：． 故选：． 6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（　　） 【答案】 【解析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈， 所以有， ， 又因为，， 所以，，，，，，，，，，，． 故选：． 7．三个数，，的大小顺序为（　　） 【答案】 【解析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 解：设，， 时，， 在上单调递减， 又，，，且 ， ． 故选：． 8．已知，分别为双曲线左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是（　　） 【答案】 【解析】由，结合正弦定理得， 因为，所以，， 又，即， 则，所以． 设，则， 又，则，解得，所以，，所以是正三角形，从而， 在中，由， 得，得，所以． 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．） 9．已知圆和圆交于，两点，则（　　）． 两圆的圆心距 两圆有条公切线 直线的方程为 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】 【解析】根据题意，圆，即，其圆心，半径； 圆，即，其圆心，半径； 依次分析选项： 对于，两圆的圆心距 ，所以错误；对于，由于，两圆相交，有条公切线，错误；对于，两个圆的方程作差可得，即，故直线的方程为，正确；对于，圆到直线的距离，则圆上的点到直线的最大距离为，所以正确． 故选：． 10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（　　）． 时，的最小值为 最大时， 【答案】 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，由，则 ，又，则，故正确； 对于，结合选项知，，， 又，所以， 解得，故错误； 对于，结合选项知 ，又，所以时，的最小值为，故正确； 对于，结合选项和知，当时，，当时，，所以当最大时，，故错误． 故选：． 11．抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（　　）． 抛物线的方程为 存在直线，使得、两点关于对称 的最小值为 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 【答案】 【解析】对于，当运动到时，，由抛物线的定义可知，，所以， 故抛物线的方程为，即错误； 对于，过点作垂直抛物线的准线，则 ，当且仅当、和三点共线时，等号成立，即正确； 对于，因为、两点关于对称，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，，的坐标为，， 联立，得，所以 所以，且 ，即的中点坐标为， 因为、两点关于对称，所以点一定在直线上， 于是，解得，与相矛盾， 故不存在直线满足题意，即错误； 对于，设的坐标为，因为，所以的中点坐标为， 而以为直径的圆的半径为 ，与的中点的横坐标相同，所以正确． 故选：． 12．已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（　　） 的最小值为 取最小值时的值为 的最小值为 取最小值时的值为 【答案】 【解析】将表示为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方，利用导函数与函数切线的关系即可求解． 【详解】 由，得： ， 的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方的最小值， 由得：， 与直线平行的直线的斜率为， 则令，解得:， 切点坐标为， 到直线的距离． 即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为． 所以的最小值为 过与垂直的直线为，即． 由，解得：，即当最小时，． 故选：． 三、填空题：（本题共4小题，共20分．） 13．在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】直线的一方向的量为 直线倾斜角为． 14．已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，做垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______． 【答案】 【解析】椭圆的左焦点为，把代入中， 得， 15．设函数的导数为，且，则______． 【答案】． 【解析】因为，所以，令，则，即， 解得， 所以， 所以． 故答案为：． 16．已知数列满足，，则数列的通项公式为______，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为______． 【答案】①② 【解析】在数列中，，由得：，而， 于是得数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即， 所以数列的通项公式为； 显然，， 则， 由得：，即，令，则，即数列是递增数列， 由，得，而，因此，，从而得，， 所以满足不等式的的最小值为． 故答案为：；． 四、解答题：（本题共6小题，共70分．） 17．（10分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的解集． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）依题意，函数的定义域为， 且， ， ， 因此，曲线在点处的切线方程为，即； （2）依题意，函数的定义域为， 且，令且， ， 故不等式的解集为 18．（12分）在数列中，， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前项和． 【答案】（1）是首项为，公比为的等比数列（2） 【解析】（1）证明：由，得． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）)可知， 所以数列的通项公式为， 所以数列的前项和． 19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】 【解析】（1）设圆的方程为， 则， ， ， 联立解得，，， 圆的方程为，即． （2）直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，满足． 直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离 ， 由题意可得， 解得， 直线的方程为，即． 综上可得直线的方程为：，． 20．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】 【解析】（1）设等差数列的公差为． 由，得． 因为，所以． 所以． （2）．① ．② ②-①得：． ． 当时，， ． 上两式相减得： ． ． 21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值． 【答案】 【解析】（1）由椭圆的定义可知三角形的周长为，所以， 又离心率，所以，则， 所以椭圆的方程为； （2）①当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，，，代入椭圆方程可得： ，则 设与平行且与椭圆相切的直线方程为 ，代入椭圆方程可得： ，则 解得， 则点到的最大距离为两平行线间的距离， ， 所以三角形的面积的最大值为 ②若直线与轴垂直时，则在长轴顶点时三角形的面积取得最大值， 且此时的面积为，综上，三角形的面积的最大值为． 22．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在不相等的实数，，使得，证明：． 【答案】 【解析】（1）函数的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由得，所以在上单调递增； 由得，所以在上单调递减； 故当时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：， ， 由（1）可知，当时，在上是增函数， 故不存在不相等的实数，，使得，所以． 由得 ，即， 不妨设，则，则， 要证，只需证 ， 即证，只需证 ， 令，则只需证，即证 ， 令，则 ， 所以在上是增函数，所以， 从而，故． 学科网（北京）股份有限公司 $$