江苏省南京市第十三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度高二下学期期末考试 数学 （时间：120分钟 满分150分） 命题： 审题： 2024年6月25日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，，则（ ） ． ． ． ． 2.已知，，则（ ） ． ． ． ． 3.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ） ． ． ． ． 4.已知，则的值为（ ） ． ． ． ． 5.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）. ． ． ． ． 6.已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（ ） ． ． ． ． 7. 已知函数的大致图像如图所示，则的解析式可能为（ ） ． ． ． ． 8.已知，，且时， ，则的值为（ ） ． ． ． ． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） ．是递增数列 ． ．当时， ．当或时，取得最大值 10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） ．函数的周期为 ．函数的图象关于对称 ．函数在区间上的最大值为 ．直线与 的图象所有交点的横坐标之和为 11.已知，，且，则（ ） ．的取值范围是 ．的取值范围是 ．的最小值是 ．的最小值是 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.计算的值为 . 13.已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 14.已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 四、解答题：本题共5题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 计算： （1）； （2）. 16.（本题满分15分） 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17.（本题满分15分） 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）当时，求的值域. 18.（本题满分17分） 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 19.（本题满分17分） 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度高二下学期期末考试 数学 （时间：120分钟 满分150分） 命题： 审题： 2024年6月25日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，，则（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】根据交集定义计算即可.由题得，又，故. 故选：. 2.已知，，则（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】，，，故. 故选：. 3.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】由最小正周期，可得，的图象向右平移个单位长度后为偶函数的图象，故，，故，因为，所以. 故选：. 4.已知，则的值为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】. 故选： 5.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）. ． ． ． ． 【答案】 【解析】令，可得，由函数有两个不同的零点，可得函数与的图象有两个交点，作出与的图象，如图所示，由图可得. 故选：. 6.已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】由题意可得，即①，因为，所以②，②代入①可得，因为，，所以. 故选： 7. 已知函数的大致图像如图所示，则的解析式可能为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】由函数的图象可知，其定义域为,图象关于原点对称，且，当时，. 对于，，有，则有，不符合定义域为，故排除； 对于，当时，，，，则有，不符合题意，故排除； 对于，有，故为偶函数，函数图象关于轴对称，不符合题意，故排除； 故选：. 8.已知，，且时， ，则的值为（ ） ． ． ． ． 【答案】 【解析】因为，所以，化简得，根据，解得，因为，所以，利用两角和与差的正弦公式化简得，等式两边同除得，故. 故选：. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） ．是递增数列 ． ．当时， ．当或时，取得最大值 【答案】 【解析】当时，，又，所以，则是递减数列，故错误；，故正确；当时，，故正确；因为的对称轴为，开口向下，所以当或时，取得最大值，故正确. 故选： 10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） ．函数的周期为 ．函数的图象关于对称 ．函数在区间上的最大值为 ．直线与 的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】 【解析】根据图象可得，得，故正确; ,，则，当时，，所以，，根据可得，即. 当时，，故错误； 当时，，，故正确； 当时，，，又因为，所以，故正确. 故选： 11.已知，，且，则（ ） ．的取值范围是 ．的取值范围是 ．的最小值是 ．的最小值是 【答案】 【详解】利用基本不等式，得到，解出，故错误； 由，，可得，所以，又，所以，故正确； 由，，，得， 则，当且仅当时等号成立，但，取不到等号，故错误； 对于，由可知，，当且仅当时等号成立，故正确. 故选：． 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.计算的值为 . 【答案】 【详解】 因为， 所以. 故答案为. 13.已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意得，，，故，所以即在上恒成立，只需在上恒成立. 令，，易知在为在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即，故只需即可. 故答案为：. 14.已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】设，则，因为，所以，所以在上单调递减. ，即，因为，所以 ，所以，，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【详解】 （1） （2） 16.（本题满分15分） 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【详解】 （1）设公差为，由题意得：，解得，所以； （2）因为，所以. 17.（本题满分15分） 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）， （2） 【详解】 （1） ，令，解得，故的单调增区间为，. （2）当时，，所以，， 故的值域为. 18.（本题满分17分） 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 （1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得； （2），因为，所以，所以，故的值域为； （3）因为在上单调递减，所以在上有解即在上有解， 即在上有解， ，当时，，所以，所以，所以，即. 19.（本题满分17分） 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） 【详解】 （1）时，，要证，即证，即， 令，，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，所以，故. （2），，所以只有一个实数根. ，令，由（1）可知，，均在时取到最小值（实际取不到），故，所以，故. 学科网（北京）股份有限公司 $$