2024届江苏省南京东山外国语学校高考二模数学试卷

2023-2024学年高三下学期南京市东山外国语4月二模数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，，则（ ） . . . . 2.设，则“”是“”的（ ） .充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件 3.已知复数满足，则（ ） . . . .2 4.曲线在原点处的切线方程为（ ） . . . . 5.分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（ ） . .2 . . 6.遗忘曲线（如图）由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力。该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似地满足.则记忆率为时，所经过的时间约为（ ） (参考数据:) .2小时 .小时 .小时 .小时 7.设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） . . . . 8.已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） . . . . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9.2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为，得到频率分布直方图如图所示，则（ ） . .这组样本数据的分位数为88 .若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为 .若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为，则最大时，. 10.若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） . .为偶函数 .为奇函数 . 11.在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） .若，则三棱锥外接球的表面积为 .若，则异面直线与所成角的余弦值为 .若，则面积的最小值为 .若存在实数使得，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为________. 13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，为坐标原点.若，则的面积为________. 14.已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知函数，为的导函数. （1）若，求证：； （2）若对任意，，求的取值范围. 16.（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别为，，且， （1）求； （2）线段上一点，满足，求边的长. 17.（本小题满分15分） 如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 18.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. （1）求抛物线的方程; （2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. （1）当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； （2）求点到直线的距离的最大值. 19.（本小题满分17分） 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. （1）设，，求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$2023-2024学年高三下学期南京市东山外国语4月二模数学试卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,,则( ) . . . . 【答案】 【解析】由题意,,故. 故选. 2.设,则“”是“”的( ) .充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】由题意,“”是“”的充分不必要条件. 故选. 3.已知复数满足,则( ) . . . .2 【答案】 【解析】由题意,,,故,故选. 4.曲线在原点处的切线方程为( ) . . . . 【答案】 【解析】由题意,令,,则,又,故切线方程为. 故选. 5.分别是等边的边的中点,,点在线段上的移动(含端点),则一定不可能是( ) . .2 . . 【答案】 【解析】由题意,,因为,所以边长为2,结合投影可知,,故. 故选. 6.遗忘曲线(如图)由德国心理学家研究发现,描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述,人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用,从而提升自我记忆能力。该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时,那么记忆率近似地满足.则记忆率为时,所经过的时间约为( ) (参考数据:) .2小时 .小时 .小时 .小时 【答案】 【解析】由题意,当时,,,. 故选. 7.设分别为椭圆的左,右焦点,为椭圆上一点,直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点,且,则椭圆的离心率为( ) . . . . 【答案】 【解析】由题意,,,因为,所以,又,所以,由勾股定理可得,根据第一定义,,离心率. 故选. 8.已知实数,且,为自然对数的底数,则( ) . . . . 【答案】 【解析】因为,所以,函数,则在上单调递增,且,因为,所以,所以,即,又,所以,所以,即,综上,. 故选. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,不选或有选错的得0分. 9.2023年10月31日,神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛,现从中随机抽取100名学生成绩分为四组,分别为,得到频率分布直方图如图所示,则( ) . .这组样本数据的分位数为88 .若从这100名学生成绩不低于80分的学生中,随机抽取3人,则此3人的分数都不低于90分的概率为 .若用样本的频率估计总体,从该校高中学生中随机抽199人,记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为,则最大时,. 【答案】 【解析】,故对; 根据频率分布直方图可知,分位数在80到90分之间,,故对; 成绩不低于80分的共有65人,不低于90分的共有15人,随机抽取3人,则此3人的分数都不低于90分的概率,故错; ,,解得,故为29或30,故错. 故选. 10.若的定义域为,满足对任意,都有,且,则下列说法正确的是( ) . .为偶函数 .为奇函数 . 【答案】 【解析】中:令,得,又,所以,故不选; 中:令得,,所以,故选; 中:令,得,所以, 又,所以为奇函数,故选; 中:,所以,所以,故4是的周期,又,所以,故选. 故选. 11.在棱长为1的正方体中,、分别为、的中点,点满足,则下列说法正确的是( ) .若,则三棱锥外接球的表面积为 .若,则异面直线与所成角的余弦值为 .若,则面积的最小值为 .若存在实数使得,则的最小值为 【答案】 【解析】:由题意,与重合,故三棱锥的外接球半径,表面积为,故对; :以为原点建系,,,,,,,故错; :由得,在线段上运动,由对称性可得,,所以面与底面垂直时面积最小,此时,,故错; :,,,,由题意可得,所以,,,当时,,故正确. 故选. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.现有8道单选题(每题都是四个选择),某学生对其中6道有思路,2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对,没有思路的题仅能随机猜,那么从8题中随机选择1题,此学生能够做对的概率为_. 【答案】 【解析】,故答案为. 13.已知双曲线的左、右焦点分别为,过原点的直线与交于两点,为坐标原点.若,则的面积为_. 【答案】2 【解析】由题意,,,由对称性得为矩形,设且在第一象限,由勾股定理可得,解得,的面积为矩形面积的,即,故答案为2. 14.已知函数在区间上单调,且满足,若函数在区间上恰有5个零点,则的取值范围为_. 【答案】 【解析】因为在区间上单调,,又在区间上恰有5个零点,所以,解得,所以,解得. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数,为的导函数. (1)若,求证:; (2)若对任意,,求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】(1)因为,所以,,,,所以(当且仅当时取“”); (2)在上递增, ①若,则,,所以在上递增,所以,所以; ②若,则由,得,列表: 0 3 0 所以,所以; ③若,则,,所以在上递减,所以,无解; 综上,的取值范围. 16.(本小题满分15分) 在中,内角,,的对边分别为,,且, (1)求; (2)线段上一点,满足,求边的长. 【答案】(1);(2) 【解析】(1)因为,可化为, 方法1:因为,所以,,所以,又由,得,所以. 方法2:因为,,,,所以,所以,即,又由,得,所以,即. (2)方法1:因为线段上一点,,,所以,所以,两边平方得, 又因为,所以,即①, 在中,由余弦定理得,所以②, 由①②消去常数项得,,代入②得. 方法2:在中,因为,所以,则,, 所以和中,有正弦定理得, 所以,所以,代入,得(舍去)或,所以. 17.(本小题满分15分) 如图,,,点、在平面的同侧,,,,平面平面,. (1)求证:平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】(1)因为,平面,所以平面,同理平面,又,平面,,所以平面平面,所以平面; (2)取的中点,因为,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又因为,故以为基底建立空间直角坐标系.在四边形中,因为,,,,所以,所以,因为,所以,所以,,,,,,,,, 设,则,设为平面的法向量,则,即,故取, 因为直线与平面所成角的正弦值为, 所以, 所以,解得,或(舍去),所以,所以. 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中,顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程; (2)若抛物线不经过第二象限,且经过点的直线交抛物线于,,两点(),过作轴的垂线交线段于点. (1)当经过抛物线的焦点时,求直线的方程; (2)求点到直线的距离的最大值. 【答案】(1)或;(2) 【解析】(1)抛物线的焦点在轴上时,可设抛物线的方程为,又抛物线过点,所以,解得; 抛物线的焦点在轴上时,可设抛物线的方程为,又抛物线过点,所以,解得; 综上,抛物线的方程为或; (2)①因为抛物线不经过第二象限,由(1)可知,抛物线的方程为.,,令,得,在中,令,得,又,所以,所以直线,由得或,所以, 所以直线,即. ②设,,, 由,消去整理得, 所以,,, ,即, 所以, 令,得 , 所以直线经过定点, 所以当,即点以直线的距离取得最大值,为. 19.(本小题满分17分) 设为部分正整数组成的集合,数列的首项,前项和为,已知对任意整数属于,当时,都成立. (1)设,,求数列的通项公式; (2)设,求数列的通项公式. 【答案】(1);(2) 【解析】(1)因为,所以时,,又,所以时,,即,又,所以为公差为4等差数列, 所以,所以时,,所以. (2)方法1: ,所以时,,即①, 所以时,②, 所以时,由得,③, 同理,时,④, 由③得,时,, 所以时,两式相加得,即,结合④得,时,,即, 所以时,, 设,则时,, 由得,时,, 所以, , 所以时,, 所以是公差为等差数列,所以时,, 又由①得,所以, 又,, 所以。所以,又,所以,,所以时,符合此式, 所以. 方法2: ,所以时,,即①, 所以时,②, 所以时由得,③, 同理,时,④, 由③得,成等差数列,设公差为, 成等差数列,设公差为; 由④得,成等差数列,公差为, 成等差数列,设公差为; 成等差数列,设公差为; 所以,,, ,所以, 又由①得,所以⑤, 同理, 所以,与⑤联立解得,所以,故,, 所以时,符合此式, 所以. 学科网(北京)股份有限公司 $$