第二十三章 旋转（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金、翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛．下列四种眉心花钿图案是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 2．已知点、点关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 3．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形． B．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． C．任意多边形的内角和是 D．只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“”定理． 5．如图，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 8．如图，是等边三角形，是边上的一点，连接，把绕着点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是（     ）    A．10 B．12 C．17 D．19 9．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 10．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，且．若，，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 12．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 13．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若 ，则 14．如图，将绕点顺时针旋转，得到，则 ． 15．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 ． 16．如图，在中，，，为边上一点，且，是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，若恰好在边上，则的长为 ． 17．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的面积都等于4，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为 ．    18．如图，在四边形中，，，连接，将绕点旋转，使旋转到，旋转到，当与交于一点，同时与交于一点时，下面四个结论：；；；周长的最小值是．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 20．（10分）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影： (1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需涂出符合条件的一种情形） 21．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形） (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标______； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标______． (3)计算出的面积． 22．（10分）如图，已知是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，． (1)求的度数； (2)求证：平分． 23．（10分）如图，在正方形中，交于点E，交于点F，，连接交于点M，交于点N，将绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 25．（10分）已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，，求的面积． 26．（10分）已知正方形中，点为对角线上一点，点在的延长线上，连接． (1)如图1，若，连接，若，求的长； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金、翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛．下列四种眉心花钿图案是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．已知点、点关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可． 【详解】解：点、点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 3．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【详解】解：、关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为，则； 故选项A、B正确； 而是对顶角， 则， 故选项C正确； 的对应角是，不是， 故选项D错误； 故选：D． 4．下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形． B．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． C．任意多边形的内角和是 D．只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“”定理． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线的定义与性质、平行四边形的判定、多边形的内角和、直角三角形的判定定理，逐项判断即可，熟练掌握三角形的中位线的定义与性质、平行四边形的判定、多边形的内角和、直角三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意一个四边形四边的中点，连接原四边形的对角线，新四边形的4条边分别是对应三角形的中位线，每组对边平行于一条原四边形的对角线，故所得到的四边形一定是平行四边形，说法正确，符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； C、边形的内角和，原说法错误，不符合题意； D、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用“”定理，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5．如图，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，依据旋转的性质可求得 ，，求得的度数，再根据即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得 ，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A. 6．正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转对称图形的性质，根据旋转的性质和正五边形的特点解答． 【详解】解：正五边形绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合， 则其旋转的角度至少为． 故选：C． 7．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 8．如图，是等边三角形，是边上的一点，连接，把绕着点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是（     ）    A．10 B．12 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的性质与判定，利用旋转前后图形全等，得到线段相等，再结合题干条件，即可解题． 【详解】解： 绕着点逆时针旋转，得到， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形，， ， ， 的周长为， 故选：B． 9．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由含直角三角形的性质可得出，由旋转知，．由等边对等角的性质，由直角三角形两锐角互余等出，由三角形外角的定义以及性质可得出，再由等角对等边可得出，再由线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴． 由旋转知，． ∵点，B，A在同一条直线上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了含直角三角形的性质，旋转的性质，以及等角对等边，等边对等角的性质，三角形外角的定义以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 10．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，且．若，，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据旋转的性质可得，，，设交于点，根据三角形的内角和，旋转的性质可求出，的度数，从而得到的大小，即可选出． 【详解】解：根据旋转的性质知，，， ∵，且设交于点，如图，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 【答案】B点 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点即为旋转中心．    故答案为：点． 12．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的特征．根据题意，关于原点对称的点的坐标与原来的点的横纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点与点关于原点对称 点的坐标是． 给答案为：． 13．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若 ，则 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意可得，根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是． ∴， ∵ ， ∴， 故答案为：． 14．如图，将绕点顺时针旋转，得到，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可知，，，由点恰好在的延长线上，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵点恰好在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：5． 16．如图，在中，，，为边上一点，且，是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，若恰好在边上，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．本题解题关键是通过一线三等角模型构造全等三角形，从而得到． 由，可知，又有，联想一线三等角模型，延长到，使，得，进而可得，，由于，即可得是直角三角形，易求，由即可解题． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， ， 设，则，由得： ， 解得，不合题意舍去， ， ， 故答案为：． 17．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的面积都等于4，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为 ．    【答案】1 【分析】根据正方形的性质可得，，，，，，从而可得，再根据等式的性质可得，然后利用证明，从而可得 ，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 这两个正方形重叠部分的面积为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，在四边形中，，，连接，将绕点旋转，使旋转到，旋转到，当与交于一点，同时与交于一点时，下面四个结论：；；；周长的最小值是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，根据题意可证，可判断，由的周长，则当最小时的周长最小，根据垂线段最短，可得时，最小，即最小，即可求此时周长最小值，解题的关键是熟练掌握这些性质的应用． 【详解】∵，， ∴，为等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转到位置， ∴，且，， ∴， ∴，，， ∴，故正确，错误； ∵，， ∴，故正确； ∵的周长， ∴当最小时，∴的周长最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴当时，长度最小，即长度最小， ∵，，， ∴， ∴的周长最小值为，故正确， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特征，得到关于a，b的方程，解之即可； （2）根据a，b的值得到点A坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求解； （3）根据关于y轴对称点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为； （3）∵， ∴点B关于y轴的对称点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，解题的关键是掌握关于原点和坐标轴对称点的坐标特征． 20．（10分）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影： (1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需涂出符合条件的一种情形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用中心对称设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示； （2）中心对称图形如图2所示； 21．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形） (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标______； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标______． (3)计算出的面积． 【答案】(1)图见解析，点 (2)图见解析，点 (3)5 【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握网格的特征作出符合要求的图形． （1）根据中心对称的定义，分别作，，的对称点，再连成三角形即可； （2）作出将，，绕点顺时针方向旋转后得到的对应点，再连成三角形即可； （3）根据割补法即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标； 故答案为：； （2）解：如图所示，，点的坐标； 故答案为：； （3）解：的面积． 22．（10分）如图，已知是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由角的数量关系可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∴，， ∴， ∴平分． 23．（10分）如图，在正方形中，交于点E，交于点F，，连接交于点M，交于点N，将绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． （1）根据证明即可解题； （2）根据全等的性质得到，设，则，依据勾股定理可列出关于x的方程解题即可． 【详解】（1）证明：∵是正方形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 则，即， 解得：，即． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．． (1)将进行平移得到，其中点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，请在图中画出并直接写出点和的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解，，；； (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （2）按要求作图，再确定所求点坐标即可； （3）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了四边形综合，旋转作图，平移作图，勾股定理，平行四边形的判定，准确的在网格中作图及平行四边形的判定是本题的解题关键． 【详解】（1）解：如图，为所求，且，； （2）解：如图，则△为所求，且 （3）解：如图， ， 且， 四边形为平行四边形． 25．（10分）已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得AD=DE； （3）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可列方程组，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，在上取点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积= 26．（10分）已知正方形中，点为对角线上一点，点在的延长线上，连接． (1)如图1，若，连接，若，求的长； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）本题考查正方形的性质及勾股定理，过作于，先根据正方形的性质得到和都是等腰直角三角形，求出、，在中根据勾股定理求解即可得到答案； （2）本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，过作于点，交于点，连接，根据正方形的性质及辅助线先证明，再证明即可得到证明； （3）本题考查正方形的性质及最短距离问题，先找到动点所在直线，根据垂线段最短结合特殊直角三角形边的关系求解即可得到答案； 【详解】（1）解：过作于， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，，，, ∴； （2）证明：过作于点，交于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，    ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴，   ∴； （3）解：由（2）得，，如图， ∴点轨迹：直线， ∵绕点顺时针旋转得， ∴点轨迹：直线，且， 当点在点时有等边三角形，， 由，，垂直于，， ，， 当直线时，最小即的长， ，，， ，，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$