第二十二章 二次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十二章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴为（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 3．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（ ） A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5 C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2 5．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 7．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 10．二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 12．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 13．当时，二次函数的最小值是，则 ． 14．已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 16．抛物线的部分特征如图所示，则关于的方程的解是 ． 17．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 18．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 20．（10分）一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点． (1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； (2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？ 21．（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 22．（10分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 23．（10分）如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为． (1)请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围； (2)在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质：________； (3)若，请结合图象直接写出满足条件的所有整数的值． 24．（10分）已知二次函数经过和，二次函数与一次函数 交于，两点． (1)求二次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)结合图象直接写出不等式的解集． 25．（10分）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润销售额成本） 26．（10分）如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图2，点N是x轴上一点，连接，将线段绕点N逆时针旋转，得到线段，连接，请求出周长的最小值（简要描述求解的方法，不需证明）； (3)将抛物线向右平移一定距离得到新抛物线，若新抛物线恰好经过原点，设点P为新抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，是否存在这样的点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 2．抛物线的对称轴为（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据抛物线的对称轴公式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线对称轴为直线，即为y轴， 故选：D． 3．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：C． 4．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（ ） A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5 C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式：y=a(x-m)2+k，即可得到答案． 【详解】顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的二次函数解析式为：y＝－（x＋5）2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式y=a(x-m)2+k，其中(m，k)是顶点坐标，是解题的关键． 5．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故选：D 6．已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式得到开口方向和对称轴，进而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此结合自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当时，当时，y有最小值1，当时，y有最大值， 故选：C． 7．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 8．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的应用，根据“函数的图象与轴交于点，顶点为”，求出二次函数解析式，逐项分析判断即可，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数关系（、、为常数，），该函数的图象与轴交于点，顶点为， ∴铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是，B正确， 铅球在运动过程中距离地面的最大高度是，C正确， 函数关系可表示为， 把代入得：， 解得：， ∴A正确， ∴函数关系式为， 时，， 解得：（负值舍去），， ∴该铅球落地点离轴的距离大于，D错误， 综上所述，说法错误的是D， 故选：D． 9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 10．二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得，，，，∴，故①正确，符合题意； 图象与x轴两个交点，故，∴，故②正确，符合题意； ∵对称轴为直线，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意； 当时，，故④正确，符合题意； 由抛物线对称性，当时，，故⑤错误，不符合题意． 故选：D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤ 函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 12．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 13．当时，二次函数的最小值是，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查二次函数的性质与二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键．先求解抛物线的对称轴，判断抛物线的开口方向，再分三种情况讨论：①当，即时，②当，即，③当，即，再进一步解答即可； 【详解】解：的对称轴为直线，，抛物线的开口向上， ①当，即时，则时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， ②当，即时，则时，， ∴； 解得：， ③当，即时，则时，， ∴ ∴， 解得：（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：1或 14．已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围． 由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可． 【详解】解：由得：， ∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∵两图像交于，两点， ∴， 故答案为：． 16．抛物线的部分特征如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与轴交点的坐标，根据抛物线对称性质得到当时所对应的的值，解题时，注意二次函数与方程之间的联系 【详解】解：根据图象可知，抛物线与的交点是，对称轴为， 根据对称性，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 17．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 18．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设二次函数为，由题意可得，，，将代入求解即可； （2）由（1）得，开口向上，即可求解． 【详解】解：（1）设二次函数为， 由题意可得，，，即二次函数为 将代入得 解得 即 故答案为： （2）由（1）得，开口向上， 由题意可得：当x＝－2与时，y＝0 ∴当或时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质． 20．（10分）一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点． (1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； (2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？ 【答案】(1)抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）； (2)向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度 【分析】（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝2（x+1）2+k，代入点（1，1），即可求出解析式； （2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案． 【详解】（1）解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1） 则1 =2（1+1）2+k ， 解得k=-7， ∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7. 顶点坐标是（-1，-7） （2）解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2 向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键． 21．（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解 【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，，解得，， ∴关于的函数表达式为，即：． （2）解：不能得满分，理由如下， 根据题意，令，且， ∴，解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． 22．（10分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1或3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴方程的两个根为； （2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是； （4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为， 当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 23．（10分）如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为． (1)请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围； (2)在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质：________； (3)若，请结合图象直接写出满足条件的所有整数的值． 【答案】(1)，， (2)当时，函数有最大值（答案不唯一） (3)，， 【分析】（1）作于，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定和性质可得，结合题意可得：， ，，，再根据三角形的面积公式即可求出函数解析式；根据其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得的取值范围； （2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质； （3）由，将代入可求得，结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可． 【详解】（1）解：作于，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，则，，， ∴的面积：， 的面积：， ∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 则点运动时间最多为：秒，点运动时间最多为：（秒）， ∴，，． （2）解：列表： 1 2 3 4 5 5 8 9 8 5 描点，，，，， 画出关于的函数图象如图所示： ， 由此可知：当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 故答案为：当时，函数有最大值（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴， 即， ， 故， 只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可， 由图可知两函数的交点横坐标约为， 其右侧部分在上方， ∴当时，x的取值范围为， ∴满足条件的所有整数的值为，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的判定和性质、三角形的面积公式、二次函数的图象和性质、根据函数图象解不等式；熟练掌握以上知识是解题的关键． 本题属于四边形综合题，主要考查二次函数函数的图象与性质，根据函数图象解不等式等知识点，解题的关键是掌握相关知识． 24．（10分）已知二次函数经过和，二次函数与一次函数 交于，两点． (1)求二次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）过点作轴，交于点，利用进行计算即可； （3）根据图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， 则： ，解得： ， ∴； （2）解： ， 解得：或， ∴， 过点作轴，交于点， 则：， ∴， ∴； （3）解：由图象知：抛物线在直线上方时：或， ∴不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．待定系数法正确的求出函数解析式，利用二次函数的图象和性质求解是解题的关键． 25．（10分）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润销售额成本） 【答案】(1) (2)销售产品所获利润是0.75万元 (3)当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用： （1）根据题意可设抛物线为：，再把代入，即可求解； （2）根据二次函数的性质可得当时，成本最小值为，此时，即可求解； （3）设销售利润为W万元，根据题意可得W关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，成本最小值为， 此时， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为W万元，根据题意得： ∴， ∵， ∴当时，W的值最大，最大值为10.5， 即当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元． 26．（10分）如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图2，点N是x轴上一点，连接，将线段绕点N逆时针旋转，得到线段，连接，请求出周长的最小值（简要描述求解的方法，不需证明）； (3)将抛物线向右平移一定距离得到新抛物线，若新抛物线恰好经过原点，设点P为新抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，是否存在这样的点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求即可； （2）分别过点B，M作的平行线交于点E，连接，交于点G，则得到四边形是平行四边形，由是定值，当时，点C到的距离最短，同理点B到的距离最短，即得到最短，周长有最小值，此时，边形是菱形，即可求解； （3）先求出，根据题意，抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，求出新抛物线对称轴为，设，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则，解得：， 抛物线的解析式：； （2）解：如图，分别过点B，M作的平行线交于点E，连接，交于点G，    则四边形是平行四边形， ， 是定值， 当时，点C到的距离最短，同理点B到的距离最短，即最短，周长有最小值， 如图，此时四边形是菱形，点重合，    ， ， ， ； （3）解：令， 解得：， 根据题意， 抛物线向右平移一定距离得到新抛物线恰好经过原点， 抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线对称轴为， 设， ， 当为对角线时， 则，解得：， ； 当为对角线时， 则，解得：， ； 当为对角线时， 则，解得：， ； 综上，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，平行四边形形的性质，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，求出线段之间的关系是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$