第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十一章 一元二次方程（A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 3．方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，15 B．，15 C．6， D．， 4．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 6．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 7．劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 9．关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．一元二次方程的解是 ． 13．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为 ． 14．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 15．用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 16．方程的根为 ． 17．5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 18．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）解方程： (1)； (2)． 20．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 21．（10分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 22．（10分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 23．（10分）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 24．（10分）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门， （1）若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80米2． （2）问a的值在什么范围时，（1）中的解有两个？一个？无解？ （3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？ 25．（10分）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 26．（10分）六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． (1)求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ (2)月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程．”是解题的关键． 【详解】解：A.是分式方程，故不符合题意； B.含有两个未知数，故不符合题意； C.是一元一次方程，故不符合题意； D.符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选：D． 2．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故选C． 3．方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，15 B．，15 C．6， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程的一次项系数和常数项分别是，． 故选D． 4．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即， 故选：B． 5．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 6．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 7．劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x，列方程得， 故选A． 8．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故选：B． 9．关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、C正确，不符合题意； ∵，故D错误，符合题意； 故选：D． 10．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，由此求解即可． 【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，， 则方程可写成，即． 对比可得，，，， 可得，，， ， 综上可知，①②④正确，③错误， 故选B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12．一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故答案为： 13．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为 ． 【答案】0或4/4或0 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意， 整理，得：， ∴， ∴； 故答案为：0或4． 14．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根的判别式，根据方程有两个相等的实数根得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 15．用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【答案】6 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解： 移项，可得 配方，可得，即 ∴n的值是6， 故答案为：6． 16．方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴， 解得，，， 故答案为：，． 17．5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 18．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）， 方程左边分解因式，得 所以或， 解得，； （2）， 开平方，得，或， 解得，． 20．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 （2）解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求解参数．熟记相关结论即可． 21．（10分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，； （2）设，则原方程可化为， 解得，（舍）， ∴， ∴，． 22．（10分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为 (2)每件应降价60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 23．（10分）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 【答案】(1)，，，6 (2)2或 (3)3 【分析】（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到,即可得到p、q的值； （2）讨论：当时，易得原式；当时，把m、n看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答； （3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴,解得． 故答案为：，，，6． （2）解：∵m,n满足， 当时，原式； 当时，m、n可看作方程的两根， ∵， ∴原式． 综上，的值为2或． （3）解：∵， ∴， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而c＞0， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么由求根公式可推出，是解答本题关键． 24．（10分）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门， （1）若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80米2． （2）问a的值在什么范围时，（1）中的解有两个？一个？无解？ （3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？ 【答案】（1）矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；（2）当a≥16时，（1）中的解有两个，当10≤a＜16时，（1）中的解有一个，当0＜a＜10时，无解；（3）所围成鸡舍面积不能为90平方米． 【分析】（1）设长为xm，根据所用篱笆长为25m得宽为26-2x， 再由x（26﹣2x）＝80解出x的值，再判断其小于12则符合. （2）根据（1）知，以靠墙的边长为10或16米为临界点可分为三个范围分别是a≥16，解有两个，10≤a＜16，解有一个，0＜a＜10无解. （3）根据（1）中的一元二次方程，判断其根的判别式是否大于等于0即可. 【详解】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形鸡舍的另一边长为（26﹣2x）m． 依题意，得x（26﹣2x）＝80， 解得x1＝5，x2＝8． 当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去）， 当x＝8时，26﹣2x＝10＜12． 答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m． （2）由（1）知，靠墙的边长为10或16米， ∴当a≥16时，（1）中的解有两个， 当10≤a＜16时，（1）中的解有一个， 当0＜a＜10时，无解． （3）当S＝90m2， 则x（26﹣2x）＝90， 整理得：x2﹣13x+45＝0， 则△＝b2﹣4ac＝169﹣180＝﹣11＜0， 故所围成鸡舍面积不能为90平方米． 答：所围成鸡舍面积不能为90平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程，判断有无解时，可直接根据根的判别式判断，即△＝b2﹣4ac≥0时有解，△＝b2﹣4ac＜0时无解. 25．（10分）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 26．（10分）六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． (1)求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ (2)月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 【答案】(1)每筐醉李元，每筐杨梅元； (2)元． 【分析】（）设每筐醉李元，则每筐杨梅元，根据题意列出分式方程即可求解； （）根据题意列出二元一次方程，解方程求出的值，再结合杨梅的价格仍然高于醉李的价格即可求解； 本题考查了分式方程和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每筐醉李元，则每筐杨梅元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：每筐醉李元，每筐杨梅元； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，杨梅每筐的价格为，符合题意； 当时，杨梅每筐的价格为，不合题意，舍去； 答：杨梅此时每筐元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$