第十三章 轴对称（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第13章 轴对称（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：BCD选项中的图形都能找到一条直线，使沿直线折叠之后的两部分互相重合，A选项中的图形找不到这样的直线，能够使折叠之后的两部分互相重合， 故A选项中的图形不是轴对称图形， 故选：A． 2．若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等边对等角，可知两个底角相等，再根据三角形内角和定理，可计算出答案． 【详解】该等腰三角形的顶角为 底角为 故选：D． 3．如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质； 根据等腰三角形的三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A不符合题意； B．∵，D为的中点， ∴，故B不符合题意； C．∵，D为的中点， ∴，故C不符合题意； D．无法得出，故D符合题意； 故选：D． 4．已知点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键． 利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：∵的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为：． 故选：D． 5．如图，在中，，D是边上一点，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，等角对等边，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，，则，，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴的周长=， 故选：B． 6．如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当点A、P、F三点共线时，周长最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点P， ∵， ∴， 当点A、P、F三点共线时，周长最小， ∵F为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10， 故选：B．    7．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 8．如图，在中，，，是的平分线，，为点D到的距离，则长度为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质以及所对的直角边是斜边的一半的性质，根据为点D到的距离得到， 然后根据角平分线的定义和性质得到，最后利用所对的直角边是斜边的一半得出答案，熟练掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．． 【详解】解：∵在中，， ，为点D到的距离， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于的对称点，过点作，交于点D，则是线段的垂直平分线，根据角平分线的性质得，，从而可得的最小值是的值，证明，可得，利用面积公式求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，过点作，交于点D， 则是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即的最小值是的值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形和等腰三角形的性质可得是等腰三角形且顶角，根据三角形内角和定理先求得、的度数，再证明，根据全等三角形的性质和直角三角形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故⑤不正确， 综上所述：结论正确的是①②④， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．由等腰三角形两边长分别为5和，分别从等腰三角形的腰长为5和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为5，底边长为， ∵， ∴不能组成三角形； ②若等腰三角形的腰长为，底边长为5， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是， 故答案为：． 12．新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 13．如图，在正方形网格中，已有四个小正方形涂黑，现再任取一个白色的小正方形并涂黑，则图中黑色部分的图形能构成一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的位置，进而利用概率的公式得出答案． 【详解】由示意图可知，我们涂黑一个白色小方块可以使图形为轴对称图形的情况总共为三种，我们可以涂的白色小方块的个数总共为个，所以图中黑色部分的图形能构成一个轴对称图形的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式的应用，正确把握轴对称的性质是解题的关键． 14．如图，在中，于点， °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形以及三角形的内角和，根据题目要求算出角度即可． 【详解】 故答案为：． 15．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长． 【详解】过点作， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则AC的长为 【答案】2.5/ 【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠EAB=15°，根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解:连接AE， ∵DE是AB的中垂线， ∴BE=AE， ∴∠B=∠EAB=15°， ∴∠AEC=30°， ∵∠C=90°， ∴AC=AE=BE=2.5． 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠AEC的度数和AE=BE是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 17．如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 18．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，如图所示： ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴（SAS） ∴， ∴的周长是： ． 故答案为：8． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，在中，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解： ， ， ， ， ， 答：的度数为． 20．（10分）如图，在钝角中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作交的延长线于点H，连接，求证．请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：∵是的垂直平分线（已知） ∴　　①　　，， ∴　　②　　（等腰三角形三线合一） ∵，　　③　　 ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴（　　④　　填写文字依据） ∴． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质．掌握相关作图方法，以及相关性质，是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：∵是的垂直平分线（已知） ∴，， ∴（等腰三角形三线合一） ∵，， ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∴． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)将沿y轴方向向下平移5个单位后得到，并写出顶点，，的坐标； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，，； (3)4 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； ； （2）解：如图所示：即为所求， 点，，； （3）解：的面积为． 故答案为：4． 22．（10分）如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接，交于点，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可得，即得，进而得，再由得，即可由证明； （）由全等三角形的性质得，即得，据此即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：∵， ， ， ． 23．（10分）如图所示，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示市图书馆． (1)请画出学校A到书店B的最短路线． (2)在公路l上找一个路口M，使得的值最小． (3)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并说明作图依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，依据：垂线段最短 【分析】本题考查了作图-应用与作图，最短路线问题，点到直线的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）连接，线段就是学校A到书店B的最短路线； （2）连接，交公路l于点M，这时的值最小； （3）过点A作公路l，垂足为点D，这时小路的长最短，垂线段就是要修的小路． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；   ； （2）解：如图，点M即为所求； （3）解：如图，垂线段就是要修的小路，小路与公路l垂直． 依据：垂线段最短． 24．（10分）如图，已知在中，，D为边上的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证明即可得证； （2）根据，，判定是等边三角形，得到，，结合，得到，结合，得到，再根据D为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． 在和中， ∵, ∴， ∴． 解法2：如图，连接， ∵，D是的中点， ∴． ∵，， ∴． （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握上述四条性质是解题的关键． 25．（10分）如图，为的角平分线，的中垂线交于点E、交的延长线于点F，与交于点O， (1)求证：； (2)连接，求证： 【答案】(1)证明过程见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可等量代换即可得证； （2）根据垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角可得，利用等量代换可得，再根据平行线的判定与性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， ∵的中垂线交于点E，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键． 26．（10分）在中，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______． (3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析； (3)；理由见解析 【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得是等边三角形； （2）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1所示：    在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：． 如图2所示：延长使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）结论：． 证明：延长至H，使得． 由（2）得，， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，等腰三角形的判定，根据已知作出正确的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   2．若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D是边上一点，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 7．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，是的平分线，，为点D到的距离，则长度为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 9．如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 12．新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 13．如图，在正方形网格中，已有四个小正方形涂黑，现再任取一个白色的小正方形并涂黑，则图中黑色部分的图形能构成一个轴对称图形的概率是 ． 14．如图，在中，于点， °． 15．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则AC的长为 17．如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 18．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，在中，，求的度数．    20．（10分）如图，在钝角中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作交的延长线于点H，连接，求证．请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：∵是的垂直平分线（已知） ∴　　①　　，， ∴　　②　　（等腰三角形三线合一） ∵，　　③　　 ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴（　　④　　填写文字依据） ∴． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)将沿y轴方向向下平移5个单位后得到，并写出顶点，，的坐标； (3)的面积为 ． 22．（10分）如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接，交于点，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 23．（10分）如图所示，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示市图书馆． (1)请画出学校A到书店B的最短路线． (2)在公路l上找一个路口M，使得的值最小． (3)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并说明作图依据． 24．（10分）如图，已知在中，，D为边上的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 25．（10分）如图，为的角平分线，的中垂线交于点E、交的延长线于点F，与交于点O， (1)求证：； (2)连接，求证： 26．（10分）在中，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______． (3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$