第十三章 轴对称（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第13章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图是巴黎奥运会项目图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．点关于y轴的对称点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 3．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（    ）厘米． A．22 B．17 C．22或17 D．无法确定 4．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD的长是（          ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，，是高，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．连接，．若，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点C，D 分别落在点M，N的位置上，与相交于点 G．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，射线是的角平分线，交于点D，过点B作的垂线与射线交于点E，连接，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点G．则下列结论中：①；②垂直平分；③；④；⑤．正确的有（    ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 12．如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为 ．    13．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ． 14．如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ． 15．如图，四边形是轴对称图形，且是其对称轴，E、F、G为上的三点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．    16．如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 17．如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ． 18．在中，，于D，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法正确的有： ．（填正确的序号） ①；②；③；④若则． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）已知三角形的三边分别为4cm，9cm和x cm． (1)求x的取值范围； (2)若三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 20．（10分）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．求证：． 21．（10分）如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证：    (1)平分：（2）是的垂直平分线． 证明：（1） 平分 ① ∵   （② ） 在和中 （④ ） （⑤ ） 平分 (2)平分 ⑥    ⑦   ⑧ （三线合一） 是的垂直平分线 22．（10分）如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长 23．（10分）如图，已知为等边三角形，，相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（10分）已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且． (1)如图①，求证：垂直平分； (2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且． 求证：． 25．（10分）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 26．（10分）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图是巴黎奥运会项目图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．点关于y轴的对称点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中对称点的规律．解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．掌握平面直角坐标系中对称点的规律是解题的关键．根据关于轴的对称点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：由关于轴的对称点的坐标特征可得：点关于轴的对称点的坐标为． 故选：A． 3．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（    ）厘米． A．22 B．17 C．22或17 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边长的关系，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当腰是9厘米，底是4厘米时，周长为22厘米；当腰是4厘米，底是9厘米时，根据三角形三边关系判定此种情况不符合题意，由此即可求解． 【详解】解：当腰是厘米，底是厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∴周长为（厘米）； 当腰是厘米，底厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不符合题意，舍去； ∴等腰三角形的周长为22厘米， 故选：A ． 4．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一定理和等边对等角是解题的关键. 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴． ∴, 故B、C、D正确，A错误． 故选：A． 5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD的长是（          ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，则BD=AD=6，再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°， ∴BD=AD=6， ∴CD= BD=6×=3． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质和角的平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，解题关键是熟记30°直角三角形所对线段是斜边的一半． 6．如图，在中，，，是高，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质推出，，得到，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是三角形的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、、、、的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 【详解】∵，， ∴和是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可得是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有个， 故选：． 8．如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．连接，．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用基本作图判断、分别垂直平分和是解决问题的关键． 利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，则，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和用的代数式表示． 【详解】解：由作法得垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， ． 故选：． 9．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点C，D 分别落在点M，N的位置上，与相交于点 G．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质．作，推出，，再由折叠的性质得，据此求解即可． 【详解】解：作，如图， 由题意得， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，，射线是的角平分线，交于点D，过点B作的垂线与射线交于点E，连接，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点G．则下列结论中：①；②垂直平分；③；④；⑤．正确的有（    ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】先由题意得到，再由角平分线的定义得到，从而推出，再由三线合一定理即可证明，即可判断②；得到，再由，可得，则，从而可证明，即可判断①；则，再由，可得到，即可判断③；由，即可判断④．延长交延长线于G，若，证明即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵M是的中点， ∴， ∴垂直平分，，故②正确， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故④错误； 如图所示，延长交延长线于G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C为的中点， ∴， ∴， ∴与矛盾； ∴与不垂直，故③错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】55 【分析】此题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，根据等腰三角形两个底角相等可得解．． 【详解】解：底角： 故答案为55． 12．如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为 ．    【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，又，， ∴的周长为， 故答案为：20． 13．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质．由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， ∴电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 14．如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.先根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，再根据等边三角形的性质进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是中点， ， 等边三角形， 周长， 故答案为：． 15．如图，四边形是轴对称图形，且是其对称轴，E、F、G为上的三点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质推出阴影部分面积是四边形的面积的一半是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，且是其对称轴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．根据折叠的性质，可得，从而，再由的周长，即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处， ， ， ， 的周长． 故答案为： 17．如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解∶∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， 故答案为∶3． 18．在中，，于D，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法正确的有： ．（填正确的序号） ①；②；③；④若则． 【答案】①②④ 【分析】证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故③错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 根据题意无法确定的大小、的大小关系， ∴无法得到，故③错误； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）已知三角形的三边分别为4cm，9cm和x cm． (1)求x的取值范围； (2)若三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)22cm 【分析】本题考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义； （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和列不等式组求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定等腰三角形的另一边，再求周长即可． 【详解】（1）解：∵三角形任意两边的差都小于第三边，任意两边之和都要大于于第三边， ∴， 解得：； （2）解：∵，已知两边为4和9， 时三角形为等腰三角形， ∴该三角形周长为：（cm）． 20．（10分）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．求证：． 【答案】见详解 【分析】由等边三角形的性质可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，由等边对等角以及三角形内角和定理可得出． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵E是延长线上的点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形外角的定义以及性质，以及三角形内角和定理等知识， 掌握这些性质和定理是解题的关键． 21．（10分）如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证：    (1)平分：（2）是的垂直平分线． 证明：（1） 平分 ① ∵   （② ） 在和中 （④ ） （⑤ ） 平分 (2)平分 ⑥    ⑦   ⑧ （三线合一） 是的垂直平分线 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定以及性质．等腰三角形三线合一的性质． （1）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，即可得出平分． （2）由角平分线的性质定理可得出，由（1）知，由等腰三角形三线合一的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：（1） 平分 ①， ∵   （②垂线的定义） 在和中 （④） （⑤全等三角形对应角相等） 平分 （2）平分，， ⑥ ， ⑦ ⑧（三线合一） 是的垂直平分线 22．（10分）如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长 【答案】(1) (2)周长为 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解的垂直平分线交于点， ， ， ； （2）解：的周长， ， ， ， ，， 的周长． 23．（10分）如图，已知为等边三角形，，相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，根据全等三角形的判定“边角边”即可求证； （2）根据三角形全等的性质，等边三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（10分）已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且． (1)如图①，求证：垂直平分； (2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且． 求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用． （1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）可得，由，则． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ， ， ． 25．（10分）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，含直角三角形的性质； （1）根据点Q的速度可得，进而可得答案； （2）分和两种情况，分别根据含直角三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵． ∴， 故答案为：； （2）解：①若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当或时，是直角三角形． 26．（10分）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； （3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）证明：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$