第十二章 全等三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第12章 全等三角形（A卷·提升卷） 第13章 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各组图形，是全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，是的平分线，，垂足为，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（    ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 5．如图，，，则添加下列条件能使的为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点B在线段上，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 9．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 10．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如果，那么 12．如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为 ． 13．如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 14．如图，图中的两个三角形全等，则 °． 15．如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    16．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 17．已知，且的周长为，面积为，则的周长为 cm． 18．如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，已知，，求证：．    20．（10分）如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，求的长． 21．（10分）如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 22．（10分）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（10分）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若的面积为70，，，求的长． 24．（10分）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 25．（10分）在中，和的角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：． 26．（10分）已知在四边形中，，. (1)如图1．连接，若，求证：. (2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：; (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形（A卷·提升卷） 第13章 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各组图形，是全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查全等图形的定义“形状、大小完全相同的两个图形”，根据定义，图形结合分析，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是全等图形，不符合题意； 、不是全等图形，不符合题意； 、不是全等图形，不符合题意； 、是全等图形，符合题意； 故选：． 2．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 3．如图，中，是的平分线，，垂足为，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵中，是的平分线，， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 4．如图，用直尺和圆规作射线，使它平分，则的理由是（    ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答．根据作图知，用证明三角形全等即可． 【详解】解：由作图可知，， 在与中 ， ， 故选：A． 5．如图，，，则添加下列条件能使的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：∵， ∴， A．当时，，即， 根据可以判定； 故A符合题意； B．当时，不能判定；故B不符合题意； C．当时，不能判定；故C不符合题意； D．当时，不能判定；故D不符合题意； 故选：A． 6．如图，点B在线段上，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用． 根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∴， 故选：C． 7．如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形三边之间的关系．构造全等三角形是解题的关键．延长，过B点作的平行线交的延长线于E点，则，则可得，因此．在中，根据三角形三边之间的关系求出的范围，则可得的范围． 【详解】解：如图，延长，过B点作的平行线交的延长线于E点． ∵是的中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 8．如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，延长到E使得，连接，证明得到，则当三点共线且时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故选：D． 9．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求． 【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决． 10．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得 ，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到． 【详解】解：设与的延长线交于点，   ， ∴， ∴，故①正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ，故④正确； 平分， ∴点到的距离相等，都设为， ，故③正确． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如果，那么 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12．如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质，即“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，掌握角平分线的性质是解本题的关键． 过作于，则，根据角平分线性质求出，求出，再计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过作于， 点到的距离为6， ， ，平分， ， ， ， ． 故答案为：18． 13．如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 14．如图，图中的两个三角形全等，则 °． 【答案】55 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：根据左图可知，边a、c夹角为， ∵两个三角形全等， ∴． 故答案为：55． 15．如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 16．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 【答案】14 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴； 故答案为：14． 17．已知，且的周长为，面积为，则的周长为 cm． 【答案】12 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可直接得出答案，掌握全等三角形的周长相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的周长与的周长相等， ∴的周长为， 故答案为：12． 18．如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长交于，证明，利用全等三角形的性质和三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，已知，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴． 20．（10分）如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F， ∴． ∵ ∴， ∴． 21．（10分）如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)等角对等边；三线合一，；；； 【分析】本题主要考查作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）根据作图得出，得，再证明，再证明，得，再由为的中点可得出结论 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（等角对等边） 又∵点D为的中点， ∴（三线合一） ∴ 在和中， ∴ ∴． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 22．（10分）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质， （1）由平行线的性质可得，，再利用“”证明即可； （2）由（1）可得，，即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴． 23．（10分）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若的面积为70，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）证明即可得到结论； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵的面积为70， ∴， ∴． 24．（10分）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（10分）在中，和的角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解； （）在上截取，连接，证明，，再根据性质即可求证； 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（10分）已知在四边形中，，. (1)如图1．连接，若，求证：. (2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：; (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出； （2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论； （3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC． 【详解】（1）证明：如图1， ∵， ∴ 在和中， ∴ ∴ （2）如图2， 延长至点，使得，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ （3） 如图3，在延长线上找一点，使得，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$