第十一章 三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第11章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，2 C．2，2，4 D．1，3，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】A、因为 ，所以1，2，3不能组成三角形，故A不符合题意； B、因为 ，所以2，2，2能组成三角形，故B符合题意； C、因为 ，所以2，2，4不能组成三角形，故C不符合题意； D、因为，所以1，3，5不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，两条斜边与互相平行，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质．设交于点G，根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正多边形的内角和与外角和．根据正多边形的性质、补角的定义即可得． 【详解】解：设正多边形的边数为，根据题意得： ， 解得：， ∵正多边形的每个外角都相等，且外角和为， ∴正多边形的每一个外角为：． 故选：C． 4．如图，中，，点D为中点，选接、，取的中点F，连接，若的面积是1，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用中线求三角形面积，根据点F在的中点，点D为中点，并结合三角形面积公式可得，，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵点F在的中点，的面积是1， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，是的中线， ，若的周长比的周长大3，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得 ，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 6．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义； 根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答． 【详解】解：∵， 的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，， ，， ∴ ∵在中，°， ∴， 故选：B． 9．如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故选：C． 10．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．一个三角形的底是3分米，高是4分米，它的面积是 平方分米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，根据三角形面积公式：三角形面积底高，进行计算即可． 【详解】解：∵三角形的底是3分米，高是4分米， ∴三角形的面积为：（平方分米）， 故答案为：6． 12．如图，已知的一个外角等于，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，求解即可． 【详解】解：∵的一个外角等于， ∴； 故答案为：． 13．如图，在中，D是边上任意一点，E是的中点，点F在上，且．若的面积是8，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，根据得到，结合，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论．本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点，的面积是8， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，平分，于F，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 于， ， ． 故答案为：． 15．如图，是五边形的三个外角，延长交于点O．如果，那么的度数为 ．    【答案】/55度 【分析】本题考查了多边形的内角和，邻补角等知识．熟练掌握多边形的内角和，邻补角是解题的关键． 由题意知，四边形的内角和为，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，四边形的内角和为， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 16．在中，，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F．若折叠过程中，中有两个角相等，则此时的度数为 ． 【答案】或 【分析】设，根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 当中有两个角相等，分三种情况： 当时，则，（舍去）； 当时，则，； 当时，则，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 17．如图，点在直线外，点、在直线上，点、分别是，的中点，、相交于点．已知，四边形的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质、点到直线的距离垂线段最短．连接，过点作于点，根据三角形中线性质只需求出，进而求出，即可利用点到到直线的距离垂线段最短求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 点、分别是、的中点， ，，， ，， ， ， ， ， 点到到直线的距离垂线段最短， ， 的最小值为6． 故答案为：6． 18．如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当，时，．”计算可得②的结论不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据是的角平分线，，可得，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立． 【详解】对于①， 是的高线， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， 举反例，当，时，． 理由如下： 当，时， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ②错误； 对于③， 是的外角， ， 是的外角， ， 而由①知， ， ， ③正确； 对于④， 设与交于点，与交于点， 是的角平分线， ， ， ， 又，， ， ④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高，举反例的方法，熟练掌握相关知识及方法是解答本题的关键． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）19．（1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 【答案】（1）1800°；（2）8 【分析】（1）根据内角和公式，可得答案； （2）根据多边形内角和公式（n-2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2）•180°-360°=720°，再解方程即可． 【详解】解：（1）由题意，得 （12-2）×180°=1800°； （2）由题意得： （n-2）•180°-360°=720°， 解得：n=8． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理． 20．（10分）已知在△ABC中，试说明：∠A+∠B+∠C=180°    方法一： 过点A作DE∥BC． 则（填空） ∠B=∠ ，∠C=∠ ∵ ∠DAB+∠BAC+ ∠CAE=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°          方法二： 过BC上任意一点D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB、AC于E、F（补全说理过程 ）    【答案】DAB，CAE ；见解析 【分析】方法一：根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等解答； 方法二：根据平行线的性质：两直线平行、同位角相等解答. 【详解】方法一：∵DE∥BC, ∴∠B=∠DAB，∠C=∠CAE， 故答案为：DAB，CAE ；   方法二：∵DE∥AC，         ∴∠A=∠BED，∠C=∠BDE， ∵DF∥AB，        ∴∠EDF=∠BED，∠B=∠CDF， ∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理的证明过程，解题的关键是熟记平行线的性质并运用于解题. 21．（10分）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，． (1)求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质． （1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和可得，代入计算即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 22．（10分）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接． (1)若，，求证：． (2)若，探究，则________；（直接写答案，不用证明） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线定义．掌握三角形外角的性质和平行线的性质与判定是解题的关键． （1）先根据三角形外角的性质得出，再根据，即可得出． （2）由平行线的性质得出，再由三角形外角性质和角平分线定义得，，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∵平分， ， ， 又， ， ； （2）解：∵， ， ∵是的平分线， ， ， ， ∴， ∵． ∴． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，，，点是三角形内任意一点．将三角形进行平移后得到三角形，已知点的对应点为．    (1)点的坐标是 ，点的对应点的坐标是 ； (2)在图中画出三角形； (3)连接，，求三角形的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—平移变换、根据平移的性质求点的坐标、利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据点和的坐标得出平移方式，即可得出答案； （2）画出点、、的对应点，再顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵将三角形进行平移后得到三角形，已知点的对应点为， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移两个单位长度， ∴点的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：如图，三角形即为所作， ； （3）解：． 24．（10分）在中，，平分，M为直线上一动点，，E为垂足，的平分线交直线于点F． (1)如图1，点M为边上一点，则的位置关系是_________，并证明； (2)如图2，点M为边延长线上一点，则的位置关系是________，并证明； (3)如图3，点M为边延长线上一点，补全图形，并直接写出的位置关系是______． 【答案】(1)BD∥MF，证明见解析 (2)BD⊥MF，证明见解析 (3)补全图形见解析，BD⊥MF 【分析】根据∠A=90°，ME⊥BC，可得∠ABC+∠AME==180°，∠AFM+∠AMF=90°，再由BD平分∠ABC，MF平分∠AME，可得，从而得到∠AFM=∠ABD，即可求解； （2）延长MF交BD于点G，根据∠BAC=90°，ME⊥BC，可得∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∠ABD+∠ADB=90°，从而得到∠ABC=∠AME，再由BD平分∠ABC，MF平分∠AME，可得∠ABD=∠AMF，从而得到∠AMF+∠ADB=90°，即可求解； （3）根据题意，补全图形，延长BD交MF于点H，根据∠BAC=90°，ME⊥BC，可得∠ABC+∠ACB=∠AME+∠MCE=90°，∠FAM=90°，从而得到∠ABC=∠AME，再由BD平分∠ABC，MF平分∠AME，可得∠ABD=∠AMF，从而得到∠ABD+∠F=90°，即可求解． 【详解】（1）解∶BD∥MF，证明如下∶ ∵∠A=90°，ME⊥BC， ∴∠ABC+∠AME=360°-90°×2=180°，∠AFM+∠AMF=90°， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴， ∴， ∴∠AFM=∠ABD， ∴BD∥MF； 故答案为：BD∥MF， （2）解：BD⊥MF，证明如下： 如图，延长MF交BD于点G， ∵∠BAC=90°，ME⊥BC， ∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠ABC=∠AME， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD=∠AMF， ∴∠AMF+∠ADB=90°， ∴∠DGM=90°， ∴BD⊥MF； （3）解：根据题意，补全图形，延长BD交MF于点H，如图： ∵∠BAC=90°，ME⊥BC， ∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠MCE=90°，∠FAM=90°， ∵∠ACB=∠MCE， ∴∠ABC=∠AME， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD=∠AMF， ∵∠AMF+∠F=90°， ∴∠ABD+∠F=90°， ∴∠BHF=90°， ∴BD⊥MF． 故答案为：BD⊥MF． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，四边形的内角和定理，有关角平分线的计算，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的判定，四边形的内角和定理，有关角平分线的计算，直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键． 25．（10分）阅读材料： 如图①，在中，、分别是、边上中线，它们相交于点，且，求的值．聪明的小明很快给出了答案是．理由如下： 解：连接 是边上中线， ，． ． 即．同理：． ，． 类比迁移： (1)如图②，在中，与相交于点，，，且．求的值； (2)如图③，在中，与相交于点，，，．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中线与面积，熟练掌握中线与面积是解题的关键 （1）如图1，连接，由是边上中线，可得，．则．由．可得，．则，由，可得，计算求解即可． （2）如图2，连接，由，可得，，则．，设，则，，．即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是边上中线， ∴，． ∴，即． ∵． ∴，． ∴，即， ∵， ∴， 解得，， ∴． （2）解：如图2，连接，         ∵， ∴，， ∴，即． ∴， 设，则，， ∴，即． ∴， 解得，， ∴． 26．（10分）问题引入： (1)如图①所示，中，点O是和的平分线的交点， 若，则________（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示， ， ， 若，则________（用α表示），填空并说明理由． (2)如图③所示，，，若，求 ________（用α表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查与角平分有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义和性质： （1）由三角形内角和为180度可得，，结合角平分线（角三等分线）的定义即可求解； （2）由三角形内角和为180度可得，结合角三等分线的定义可得，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 如图①所示，∵点O是和的平分线的交点， ∴． ∴； 如图②所示，∵， ， ∴， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ∵，， ， ∴， ， ， ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，2 C．2，2，4 D．1，3，5 2．如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，两条斜边与互相平行，则（　　） A． B． C． D． 3．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，中，，点D为中点，选接、，取的中点F，连接，若的面积是1，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，是的中线， ，若的周长比的周长大3，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 8．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 9．如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．一个三角形的底是3分米，高是4分米，它的面积是 平方分米． 12．如图，已知的一个外角等于，则的度数是 ． 13．如图，在中，D是边上任意一点，E是的中点，点F在上，且．若的面积是8，则的面积为 ． 14．如图，在中，平分，于F，，，则的度数为 ． 15．如图，是五边形的三个外角，延长交于点O．如果，那么的度数为 ．    16．在中，，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F．若折叠过程中，中有两个角相等，则此时的度数为 ． 17．如图，点在直线外，点、在直线上，点、分别是，的中点，、相交于点．已知，四边形的面积为6，则的最小值为 ． 18．如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）19．（1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 20．（10分）已知在△ABC中，试说明：∠A+∠B+∠C=180°    方法一： 过点A作DE∥BC． 则（填空） ∠B=∠ ，∠C=∠ ∵ ∠DAB+∠BAC+ ∠CAE=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°          方法二： 过BC上任意一点D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB、AC于E、F（补全说理过程 ）    21．（10分）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，． (1)求的度数； (2)若平分，求证：． 22．（10分）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接． (1)若，，求证：． (2)若，探究，则________；（直接写答案，不用证明） 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，，，点是三角形内任意一点．将三角形进行平移后得到三角形，已知点的对应点为．    (1)点的坐标是 ，点的对应点的坐标是 ； (2)在图中画出三角形； (3)连接，，求三角形的面积． 24．（10分）在中，，平分，M为直线上一动点，，E为垂足，的平分线交直线于点F． (1)如图1，点M为边上一点，则的位置关系是_________，并证明； (2)如图2，点M为边延长线上一点，则的位置关系是________，并证明； (3)如图3，点M为边延长线上一点，补全图形，并直接写出的位置关系是______． 25．（10分）阅读材料： 如图①，在中，、分别是、边上中线，它们相交于点，且，求的值．聪明的小明很快给出了答案是．理由如下： 解：连接 是边上中线， ，． ． 即．同理：． ，． 类比迁移： (1)如图②，在中，与相交于点，，，且．求的值； (2)如图③，在中，与相交于点，，，．求的值．        26．（10分）问题引入： (1)如图①所示，中，点O是和的平分线的交点， 若，则________（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示， ， ， 若，则________（用α表示），填空并说明理由． (2)如图③所示，，，若，求 ________（用α表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$