第二章 有理数的运算（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版2024）

第2章 有理数的运算（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的个数为（    ） ①；    ②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 7．如图，A，B两点在数轴上的位置表示的数分别为a，b．有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 8．已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 9．根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 10．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．计算： ． 12．已知为正整数，计算的结果是 ； 13．计算： ． 14．若，，且，则 ． 15．若，求代数式 ． 16．比较大小： ． 17．小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    18．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 20．（10分）计算： (1)； (2)； 21．（10分）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并解答问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是______； (2)运算从第______步开始出现错误； (3)请正确计算本题： 22．（10分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 23．（10分）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 24．（10分）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，试求的值． 25．（10分）点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 26．（10分）已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数加法法则即可得出答案．解题的关键是掌握有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得；③一个数同相加仍得这个数． 【详解】解：． 故选：B． 2．2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：将数50450000用科学记数法表示为． 故选：C． 3．下列运算正确的个数为（    ） ①；    ②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则计算判断即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】，故①错误，不符合题意； ，故②错误，不符合题意； ，故③错误，不符合题意； ，故④正确，符合题意． 故正确的个数为1， 故选：B． 4．将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 6．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 7．如图，A，B两点在数轴上的位置表示的数分别为a，b．有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各数的大小即可． 【详解】解①∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∴，故④错误； 正确的结论是①②， 故选：B 【点睛】本题考查的是比较大小，根据字母的取值判断式子的正负是解题的关键． 8．已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，由数轴可得：，，，从而可得，，，，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 9．根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，找到规律是关键；求出部分输出结果，发现输出的结果以，，2循环，据此求解即可． 【详解】解：第1次输入，则输出的结果， 第2次输入，则输出的结果， 第3次输入，则输出的结果， … 输出的结果以，，2循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为， 故选：B． 10．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当时，，，此时； 时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选A. 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．计算： ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查有理数乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数乘方运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．已知为正整数，计算的结果是 ； 【答案】2 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 13．计算： ． 【答案】135 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加． 【详解】解： ． 14．若，，且，则 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，解决此类问题的关键是由，得出；，得出．再利用这一条件确定x和y的具体取值，然后代入，从而得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，；，， ∴或， 故答案为：或1． 15．若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解： ， ，，， ，，， ， 故答案为：1 16．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，先分别求出两个数，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    【答案】7或 【分析】本题考查了有理数的加法，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，先求出这8个数的和，然后即可求出横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和，从而求出a、c的值，即可得出的值，进而分别分析求解即可． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ， 又横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等， 这个数和为， ， ， ， 当时，， 当时，， 或， 故答案为：7或． 18．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键． 先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得． 【详解】因为，，，，，，…， 所以个位数字是以为一循环，且， 又因为，， 所以的结果的个位数字是1， 故答案为：1． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （）根据有理数加法交换律、加法结合律计算法则求解即可； （）再根据乘法交换律、乘法结合律运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（10分）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（10分）下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并解答问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是______； (2)运算从第______步开始出现错误； (3)请正确计算本题： 【答案】(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数 (2)二 (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算定律． （1）根据有理数除法法则解得即可； （2）根据有理数的乘法运算法则求解可得； （3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算定律求解可得． 【详解】（1）解：第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个数等于乘以这个数的倒数， 故答案为：除以一个数等于乘以这个数的倒数； （2）解：运算从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是是异号两数相乘，积的符号确定错误，积应该是负数， 故答案为：二． （3）解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 正确的运算结果为． 22．（10分）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题； （3）根据题意和表格中的数据可以解答本题． 【详解】（1）解：（辆）， 故答案为：599； （2）（辆）， 故答案为：26； （3）， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元． 23．（10分）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 24．（10分）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，试求的值． 【答案】-15或-11 【分析】根据倒数，相反数的定义，最大的负整数为-1，绝对值的意义，得ab=1，c+d=0，m=-1，n=2，进而代入求值即可得到答案． 【详解】由题意得：ab=1，c+d=0，m=-1，n=2， 当n=2时，原式=， 当n=-2时，原式=， ∴=-15或-11． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握倒数，相反数的定义，最大的负整数为-1，绝对值的意义，是解题的关键． 25．（10分）点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 【答案】(1) (2)①最小值为；②点表示的数为，点表示的数为． 【分析】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的运用，绝对值的意义． （1）根据题意，数轴上的点和点重合，可得到点重合的数，即可; （2）根据题意，则表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和，即可；根据对应的点与对应的点重合，则数轴从对应的点处折叠，即可求出，． 【详解】（1）由数轴折叠可知，数轴上的点和点重合， 所以折叠的点表示的数是2， ∴点与表示数的点重合． 故答案为：． （2）∵表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和 ∴当的值最小时，所对应的点的位置应该在对应的点和对应的点之间 ∴的最小值为； ∵对应的点与对应的点重合， ∴数轴从对应的点处折叠， ∵，两点之间的距离为（点在点的左侧）, ∴点与对应的点之间的距离为，点与对应的点之间的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为． 26．（10分）已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 【答案】(1)，，， (2)或或 (3)当时， 【分析】本题考查了数轴，代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，对进行分类讨论． （1）根据题意，可以计算出当秒时，点和点对应的数，然后用大数减去小数就是两点间的距离，用点对应的数加上点移动的距离即可表示数轴上点对应的数； （2）先计算、相遇的时间，点到达终点的时间，点到达终点的时间，然后分类写出、两点间的距离； （3）分为、相遇前和相遇后进行讨论，用含有的式子分别表示出、相遇前、后的、，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当秒时， 数轴上点对应的数为：， 点对应的数为：， 、两点间的距离为：， 用含t的代数式表示数轴上点对应的数为：， 故答案为：，，，； （2）设点追上点所用的时间为， ， 解得：， 点到达终点的时间为：（秒）， 点到达终点的时间为：（秒）， 当时，， 当时，， 当时，， 或或； （3）①、相遇前， ， ，即， 解得：，不符合题意，舍去； ②、相遇后， ，， ，即， 解得：， 综上所述，当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$