第二章 有理数的运算（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版2024）

第2章 有理数的运算（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．国家林草局估计到2025年，森林覆盖率将达到 ，森林蓄积量达到190亿立方米，草原综合植被盖度将达到 ，湿地保护率达到 ，以国家公园为主体的自然保护地面积占陆域国土面积的比例将超过 ． 其中数据“190亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．两数之和为负，积也为负，则这两个数是（    ） A．同为负数 B．同为正数 C．一正一负 D．无法确定 4．与互为倒数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 7．已知a，b，c为有理数，且，，则a，b、c满足的条件是（    ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上A，B，C三点表示的有理数分别为a，b，c，下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 10．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．的倒数是 ． 12．若定义，例如．在上述运算法则下， ． 13．如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 14．计算的值为 ． 15．的倒数是 ；绝对值等于4的数是 ． 16．已知．且，则的值等于 ． 17．按下面的程序计算，若开始输入的值2，最后输出的结果为 ．    18．有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算： (1) (2) 20．（10分）计算： (1)； (2)． 21．（10分）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 22．（10分）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 23．（10分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 24．（10分）阅读下列材料： 我们知道在数轴上运用数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，可以表示6与2之差的绝对值，同时也可以理解为在数轴上表示6与2两个数所对应的两点之间的距离，我们把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以在数轴上表示5与两个数所对应的两点之间的距离． 自主探究： 数轴上A、B两点之间的距离表示为． ①若点A、B在数轴上分别表示有理数，3，则______； ②若点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则______；（用含a，b，的式子表示） 解决问题： ①若x与1之间的距离为3，那么______； ②若x与之间的距离为n，那么______；（用含n的式子表示） 拓展提升： ①直接写出式子的最小值为______； ②当a为______时，代数式的最小值是2． 25．（10分）请观察下列算式，找出规律并解决问题 =1-， =-， =-，  =- 则第10个算式是 = ； 根据以上规律解答下题： 若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求：+++ …… +的值. 26．（10分）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．    (1)求a，b，c的值： (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 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6．下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 7．已知a，b，c为有理数，且，，则a，b、c满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，可得，，由可判断c，进而可解答； 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，字母符号的判断，正确理解题意是解题的关键． 8．如图，数轴上A，B，C三点表示的有理数分别为a，b，c，下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用点在数轴上的位置判断式子的正负，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据数轴可得可判断①；根据数轴可得可判断②，由数轴可得-即可判断③，由数轴可得即可判断④． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，故①正确； 由数轴可得：， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确， 综上可知，正确结论是①③④． 故选：C． 9．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的定义，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3， ∴，则， 当时，， 当时，， 综上：的值为0或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 10．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数的意义，熟练乘积是的两个数互为倒数是解题的关键． 根据倒数的意义即可求解． 【详解】解：根据倒数的意义，即乘积是的两个数互为倒数， ∵， ∴的倒数是， 故答案为． 12．若定义，例如．在上述运算法则下， ． 【答案】13 【分析】本题考查了有理数的混合运算．按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：13． 13．如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则即可求解，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵是个不同的整数， 设， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 14．计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数乘除混合运算，根据有理数乘除混合运算运算法则和运算顺序计算即可，牢记法则是解题关键．． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．的倒数是 ；绝对值等于4的数是 ． 【答案】 【分析】根据倒数的定义：两数之积为1，以及绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：的倒数是；绝对值等于4的数是； 故答案为：，． 【点睛】本题考查倒数，绝对值．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 16．已知．且，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴或， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．按下面的程序计算，若开始输入的值2，最后输出的结果为 ．    【答案】 【分析】先把2输入进行计算，若结果不大于300，则将计算出的结果继续输入计算，如此循环，直至计算的结果大于300时，进行输出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的有理数计算，正确弄清流程图是解题的关键． 18．有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）利用含乘方的有理数混合运算法则正确计算，即可解题； （2）利用含乘方的有理数混合运算法则，以及绝对值正确计算，即可解题； 【详解】（1）解：原式 ；． （2）解： ． 21．（10分）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米 (2)离开下午出发点最远时是26千米 (3)这天下午共需支付22.95元油钱 【分析】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． （1）把所有的行程数据相加即可求出小张离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再结合油价求解即可解题． 【详解】（1）解：小张离下午出车点的距离 （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 26最大， 离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小张所走路程 （千米）， 这天下午共需付钱（元）， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． 22．（10分）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 23．（10分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， 故答案为：； （2）∵， 24．（10分）阅读下列材料： 我们知道在数轴上运用数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，可以表示6与2之差的绝对值，同时也可以理解为在数轴上表示6与2两个数所对应的两点之间的距离，我们把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以在数轴上表示5与两个数所对应的两点之间的距离． 自主探究： 数轴上A、B两点之间的距离表示为． ①若点A、B在数轴上分别表示有理数，3，则______； ②若点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则______；（用含a，b，的式子表示） 解决问题： ①若x与1之间的距离为3，那么______； ②若x与之间的距离为n，那么______；（用含n的式子表示） 拓展提升： ①直接写出式子的最小值为______； ②当a为______时，代数式的最小值是2． 【答案】自主探究：①4；②；解决问题：①或4；②或；拓展提升：①6；②或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值方程，掌握数轴上两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解是关键． 自主探究：利用两点间的距离公式进行求解即可； 解决问题：根据两点间的距离公式，列出绝对值方程，进行求解即可； 拓展提升：根据两点间的距离公式，进行求解即可． 【详解】解：自主探究：①；故答案为：4； ②；故答案为：； 解决问题：①由题意，得：，解得：或；故答案为：或4； ②由题意，得：，解得：或；故答案为：或； 拓展提升：①表示到的距离与到的距离和， ∴当时，由最小值为； 故答案为：6． ②表示到的距离与到的距离和， ∴当在到3之间时，有最小值为， ∴或； 故答案为：或． 25．（10分）请观察下列算式，找出规律并解决问题 =1-， =-， =-，  =- 则第10个算式是 = ； 根据以上规律解答下题： 若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求：+++ …… +的值. 【答案】；；. 【分析】根据所给的算式，可找出规律：；现根据所给的式子，利用两个非负数的和等于，则每一个非负数等于0，可求出、，再把、的值代入所求式子，利用公式进行计算即可． 【详解】解：=； ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0的知识． 26．（10分）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．    (1)求a，b，c的值： (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)8秒 (3)或0或3或4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律： （1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点P表示的数为2，进而可求得 ，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点P在点Q右侧，两点同向而行，②当点P在点Q左侧，两点同向而行，③当点P在点Q左侧，两点背向而行，④当点P在点Q右侧，两点背向而行，进而可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点P在之间，且点P到点A的距离是到点C距离的3倍， 所以， 因为点C表示的数为8，点P在点C的左边， 所以点P表示的数为：， 所以， 因为点P以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点P的运动时间为：（秒）时，点P到点A距离是到点C距离的3倍． （3）能，理由如下： 点P从点B运动到点C需要秒，而点Q从点A运动到点C需要秒，点Q到达点C时，此时点P表示的数为2， 所以当点P从点B运动到点C的过程中，点Q从点A运动到点C，又从点C返回，因此可分为四种情况讨论： 点Q到达点C之前： ①点P在点Q右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； ②当点P在点Q左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； 点Q从点C返回后： ③当点P在点Q左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； ④当点P在点Q右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为. 综上所述，点P表示的数为或0或3或4． 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