7.5 三角形内角和定理 课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册

7.5 三角形内角和定理 初中数学 CHUZHONGSHUXUE 学而优 教有方 学习目标 1.通过三角形撕拼方法的演示,借助基本事实和定理,能用自己的语言说出三角形内角和定理的证明思路. 2.通过小组合作交流,能从不同角度证明三角形内角和定理. 3.能借助三角形内角和定理,解决简单的几何问题. 学习目标 学而优 教有方 思考下面两个问题: 1.三角形的内角和是多少度? ⒉.你之前用哪些方法得到的? 忆一忆 学而优 教有方 一、度量法 二、折叠法 三、撕拼法 忆一忆 学而优 教有方 议一议 180 能让你联想到哪些学过的概念和定理? 平角∠AOB= 1 8 0 ∵AB∥CD ∴∠B+∠C=180 这是我们本节证明的本源 学而优 教有方 撕拼法验证三角形的内角和定理 再次探究并回答下列问题: 问题1. ∠A的原位置与新位置上的两个角具有什么位置关系和数量关系? ∠B呢? 问题2:具备了这样的位置关系与数量关系的两个角,你又能得到什么结论? 问题3.若不移动∠A,∠B,你有什么方法可以达到同样的效果? 问题4.想一想,我们刚才分析的方法用到了什么数学思想?有什么共同的特征? 问题5.思考:除了在顶点处作平行线,还能在哪些位置作平行线,将三个角“凑”成平角呢? 学而优 教有方 除了在顶点处作平行线,还能在哪些位置作平行线,将三个角"凑”成平角呢? 思考: 学而优 教有方 要求: 1.依据小组所选问题,讨论如何添加平行线可以将三个角“凑"成平角? ⒉能根据所画图形,分析证明思路。 3.展示本组的交流成果。 说一说 学而优 教有方 想一想: 利用辅助线说明三角形内角和的一般思路是什么?在解决问题的过程中用到了哪些数学思想? 方法提升:在平面上任取一点,过这一点作三角形各边的乎行线, 利用平行线的性质,把三个内角“搬”到一起,“凑”成一个平角或者互补的同旁内角,从而得到三角形的内角和等于180 . 数学思想:转化 特殊到一般 学而优 教有方 写一写 已知:如图, ABC. 求证:∠A+ ∠ B+ ∠ C=180 . 要求:写出每一步的依据 证明:延长BC到D,过点C作射线CE∥BA,则 ∠ 1= ∠ A(两直线平行,内错角相等) ∠ 2= ∠ B(两直线平行,同位角相等): ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ ACB=180 (平角的定义) ∠ A+ ∠ B+ ∠ ACB=180 (等量代换). 学而优 教有方 文字叙述 三角形的内角和等于_ 几何语言 如图,如果∠A,∠B和∠C为 ABC的三个内角, 那么∠A+∠B+∠C=180 . 知识点 三角形内角和定理 180 小结 学而优 教有方 试一试 1.在 ABC中, ∠ A=40 , ∠ B=70 ,则∠ C=_ 2.在 ABC中, ∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2,则∠ A=_∠ B=_, ∠ C=_ 3.在 ABC中, ∠ B= ∠ C, ∠ A= ∠ B+30 ,则∠ C=_ 70 80 60 40 50 学而优 教有方 用一用 1,已知:如图,AB ∥ CD,点E在AC上.求证: ∠ A= ∠ CED+ ∠ D. 学而优 教有方 2,先将三角形纸片的一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行(如图①),然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合(如图②③),最后得到如图④所示的图形. 由此可知:三角形的内角和等于180 .如何证明三角形的内角和等于180 ?写出已知、求证和证明. 学而优 教有方 解:(方法一)已知: ABC. 求证: ABC的内角和等于180 . 证明:如图,在BC边上任取一点D,过点D作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F. ∵DE∥AB, ∴∠1=∠B,∠2=∠4. ∵DF∥AC,∴∠3=∠C,∠A=∠4. ∴∠2=∠A. 又∠1+∠2+∠3=180 , ∴∠A+∠B+∠C=180 . 学而优 教有方 (方法二)已知: ABC. 求证: ABC的内角和等于180 . 证明:如图,过点A作AD∥BC. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠C,∠DAB+∠B=180 . ∴∠BAC+∠C+∠B=∠DAB+∠B=180 . 学而优 教有方 3.已知:如图,在 ABC中,∠B=50 ,∠C=70 ,AD是 ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.则∠EDA=_ . 60 学而优 教有方 4.如图,已知AB∥CD,EF与AB,CD分别相交于点E,F,∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P. 求证:EP⊥FP. 学而优 教有方 5.已知AD是 ABC的高,∠BAD=62 ,∠CAD=28 ,判断 ABC的形状. 解:如图, ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=62 +28 =90 , ∴ ABC是直角三角形. 上面的解答过程正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确答案. 学而优 教有方 解:不正确. 理由:错解中只考虑到高AD在 ABC内部的情况,而忽视了高AD在 ABC外部的情况. 正解:若高AD在 ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=62 +28 =90 , ∴ ABC是直角三角形; 若高AD在 ABC的外部,如图.∵∠BAC=∠BAD-∠CAD=62 -28 =34 ,∠B=90 -∠BAD=90 -62 =28 , ∴∠ACB=180 -28 -34 =118 . ∴ ABC是钝角三角形. 综上可知: ABC是直角三角形或钝角三角形 学而优 教有方 本节课我们学了什么知识?你有什么收获? 理一理 (1)知识 三角形内角和定理 (2)思想 转化从特殊到一般 学而优 教有方 你一定没问题的: 课本179页 随堂练习第3题,课本180页第2题 相信你可以的: 课本180页第4题 作业布置 学而优 教有方 【解析】∵∠B=50 ,∠C=70 , ∴∠BAC=180 -∠B-∠C=180 -50 -70 =60 . ∵AD是 ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠BAC= 60 =30 . ∵DE⊥AB,∴∠DEA=90 . ∴∠EDA=180 -∠BAD-∠DEA=180 -30 -90 =60 . 证明:∵AB∥CD, ∴∠BEF+∠EFD=180 . 又EP,FP分别是∠BEF,∠EFD的平分线, ∴∠PEF=eq \f(1,2)∠BEF,∠EFP=eq \f(1,2)∠EFD. ∴∠PEF+∠EFP=eq \f(1,2)(∠BEF+∠EFD)=90 . ∴∠P=180 -(∠PEF+∠EFP)=180 -90 =90 ,即EP⊥FP. $$