专题04 分段数列（8类重点题型）-【学霸养成】2025年高考数学压轴大题必杀技系列·数列（新高考全国通用）

专题4 分段数列 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,由于分段数列问题大多涉及分类讨论思想,对能力要求更高,作为压轴题出现的频率更高,本专题总结分段数列的常见类型及求解,供大家参考. （一）分段数列求通项 分段数列求通项,关键是确定n在不同范围内取值时与的关系,恰当进行分类是求解的难点. 【例1】（2024届四川省成都石室中学高三下学期适应性考试）已知数列满足 当时, (1)求和,并证明当为偶数时是等比数列； (2)求及. 【解析】（1）因为 当时,, 所以,. ,,又, 当为偶数时,是以为首项,以为公比的等比数列； （2）由（1）知,, 设,则   为偶数时, 当为奇数时, ； 设,为奇数时,, 所以. . （二）分段数列求和 对于分段数列求和,一般数列分几段,求和时也分几段,对于型的数列求和,一定要注意若为偶数,则奇数项与偶数项各有项,若n为奇数,则奇数项有项,偶数项有,若是公差为的等差数列,则的奇数项是公差为的等差数列,若是公比为的等比数列,则的偶数项是公比为的等比数列. 【例2】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若,,求数列的前100项和． 【解析】（1）设数列的首项为,公差为, 根据题意得即 解得或． 又因,所以．所以的通项公式为． （2）由（1）得． 即数列的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列, 奇数项是以为首项,16为公比的等比数列． 数列的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项, 数列的前100项和． , ． 所以． 【例3】（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且. (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 【解析】（1）由为“比差等数列”, 得,从而. 设,则, 所以数列为等差数列. 因为,所以为常数列, 因此,,即, 所以是首项为,公比为的等比数列,因此. （2）当为偶数时, ； 当为奇数时,. 综上,. （三）型的分段数列 此类问题比较简单,求解时只需分n为偶数与奇数即可,求指定项时要注意区分该项在奇数项或偶数项中的位置,求和时要注意奇数项与偶数项的项数. 【例4】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为,且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中,是否存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,说明理由 【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 则, 因为,所以,即, 因为,所以,即, 解得, 所以； （2）由（1）知, 所以对于,有,, 所以（）, （3）在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数, 下面说明： 若,则由,得, 化简得, 此式左边是偶数,右边是奇数,不可能成立, 若,则由,得,化简得, 令,则, 所以,所以只有,此时, 综上,在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数. （四）型的分段数列 求解此题问题,一般是由已知条件推出与（或与,与）的递推关系,再构造等差（比）数列求通项. 【例5】设数列满足：是的等比中项. （1）求的值； （2）求数列的前20项的和. 【解析】（1）由已知,, 又是的比例中项,所以,即,显然且,故解得； （2）是奇数时,,,,而, 所以数列是等比数列, ． （五）相邻项和（积）为等差（比）数列型的分段数列 1.若,则当时,,两式相减得,即数列与数列均是公差为的等差数列. 2.若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列. 【例6】设数列的前n项和为,且． （1）求； （2）若对恒成立,求的取值范围． 【解析】（1）因为,当时,, 两式相减得,则, 两式相减得． 当时,,则；当时,,则, 所以. （2）由（1）得． 要使对恒成立,则即解得, 所以的取值范围为. （六）型的分段数列 求解此类问题,关键是确定分界点. 【例7】（2023年高考全国乙卷数学真题）记为等差数列的前项和,已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为, 由题意可得,即,解得, 所以, （2）因为, 令,解得,且, 当时,则,可得； 当时,则,可得 ； 综上所述：. 【例8】（2024届吉林省长春市东北师大附中高三第六次模拟）记集合无穷数列中存在有限项不为零,,对任意,设．定义运算若,则,且． (1)设,用表示； (2)若,证明：： (3)若数列满足,数列满足,设,证明：． 【解析】（1）因为,所以, 所以, 根据多项式的乘法可得：． （2）因为, 所以． 又, 所以, 所以 （3）对于, 因为,所以, 所以, 所以, 所以． 所以． 所以． 所以 (七)含或型的分段数列 求解含或型的分段数列问题,一般借助三角函数的周期性求解,求和时通常把一个周期内的项求和后,构造新数列求解. 【例9】（2024届山东潍坊高三三模）已知正项等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【解析】（1）因为, 所以,即,解得或, 又因为,所以,所以. （2）,所以, 所以为奇数时, , 为偶数时, , 所以前项和. (八)当时型的分段数列 求解此类问题的关键是判断在每个范围内数列项的个数. 【例10】已知数列是等差数列,其前和为,,,数列满足 (1)求数列,的通项公式； (2)若对数列,,在与之间插入个2（）,组成一个新数列,求数列的前83项的和. 【解析】（1）设公差为,故,解得, 故, 故,① 当时,, 当时,,② 式子①-②得,, 即,当时,也满足上式,故； （2）因为,所以在中,从项开始,到项为止, 共有项数为, 当时,,当时,, 故数列前项是项之后还有项为2, . 【例11】（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列,． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列,且对任意的,当时,则, （Ⅰ）当时,求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【解析】（1）由题意可得,解得, 则数列的通项公式为, 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知,当时,, 取,则,即, 当时,, 取,此时, 据此可得, 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：, 则数列的公比满足, 当时,,所以, 所以,即, 当时,,所以, 所以数列的通项公式为, 其前项和为：. 【例1】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数． (1)若,,,,, （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设数列的前项和为,求证：． (2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,） 【解析】（1）（ⅰ）,, 由, 得,解得, 又, , ,是以2为公比,2为首项的等比数列． ． （ⅱ）令,则, ． 显然,当时,是递增数列,在时,单调递减, 可得,． ． （2）为奇函数, ． , 又,, ,． , 由得,． , , ,, 在上为增函数, 当时,,； , ． 当时,． 时,,又, 当时,,． 又,的最大值为5． 【例2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,． (1)求的通项公式； (2)证明：当时,． 【解析】（1）设等差数列的公差为,而, 则, 于是,解得,, 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知,,, 当为偶数时,, , 当时,,因此, 当为奇数时,, 当时,,因此, 所以当时,. 方法2：由（1）知,,, 当为偶数时,, 当时,,因此, 当为奇数时,若,则 ,显然满足上式,因此当为奇数时,, 当时,,因此, 所以当时,. 【例3】（2024年天津高考数学真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设,． （ⅰ）当时,求证：； （ⅱ）求． 【解析】（1）设等比数列的公比为, 因为,即, 可得,整理得,解得或（舍去）, 所以. （2）（i）由（1）可知,且, 当时,则,即 可知, , 可得, 当且仅当时,等号成立,所以； （ii）由（1）可知：, 若,则；若,则, 当时,,可知为等差数列, 可得, 所以, 且,符合上式,综上所述：. 【例4】（2021年新高考1卷数学真题）已知数列满足, （1）记,写出,,并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【解析】（1）由题设可得 又,,故即即 所以为等差数列,故. （2）设的前项和为,则,因为,所以 . 【例5】（2024届湖南长沙高三下学期三模）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且. (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 【解析】（1）由为“比差等数列”, 得, 从而. 设,则, 所以数列为等差数列. 因为, 所以为常数列, 因此,,即, 所以是首项为,公比为的等比数列, 因此. （2）当为偶数时, ； 当为奇数时,. 综上,. 【例6】设是数列的前n项和,已知, （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数n. 【解析】（1）由已知得, 所以,其中,,所以是以为首项,为公比的等比数列； （2）由（1）知,所以,, 所以,所以 ,当时,单调递减,其中,,, 所以满足的所有正整数n为1,2. 1.（2024届福建省厦门市高三第四次质量检测）设为数列的前项和,已知,且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若,求的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为,因为, 所以,即, 所以,即, 当时,, 当时,,满足上式,所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为. 2．（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列满足,． (1)求,,,并求证：； (2)求数列的前2n项和． 【解析】（1）,,, 证明：, , 即,,则, 故． （2）由（1）可得：且, 所以数列是公比为2的等比数列, 故,解得：,, 故 所以 ． 3．（2024届贵州省贵阳市第一中学等校高三下学期三模）已知正项数列的前项和为,且满足.试求: (1)数列的通项公式; (2)记,数列的前项和为,当时,求满足条件的最小整数. 【解析】（1）因为,当时,, 当时,,因为, 两式相减得,,因为,所以, 所以,均为等差数列,,． 所以； （2）由题意得,, 所以, 因为,所以, 解得．所以满足条件的最小整数为9． 4．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列是正项等比数列,是等差数列,且, (1)求数列和的通项公式; (2),求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围; 【解析】（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为, 因为, 则,解得或（舍去）, 所以；. （2）因为,, 设, , 两式相减得 , 所以, 当n为奇数时,, 设 , . （3）由题意可知：, 其中, 所以, 集合,设, 则, 所以当时,,当时,． 计算可得,,,,, 因为集合有4个元素,． 5．（2024届天津市第一中学高三第五次月考）已知数列是等差数列,,,数列的前n项和为,且, (1)求数列和的通项公式； (2)若集合中恰有四个元素,求实数的取值范围； (3)设数列满足,的前n项和为,证明：． 【解析】（1）设等差数列的公差为, 由题意可得：,解得, 所以；又因为, 若,可得,解得；若,可得, 两式相减得,即； 可知数列是以首项,公比的等比数列,所以. （2）由（1）可知：, 若,即,可得, 设,原题意等价于关于n的不等式恰有4个不同的解, 令, 当且仅当时,等号成立, 可得,且,则, 所以实数的取值范围为. （3）由题意可知：,则, 则, 因为,则,即,可得, 则； 又因为,则,可得, 则； 综上所述：. 6．（2024届山西省高考三模）已知等差数列的公差,前项和为,且,. (1)求数列的通项公式； (2)若,求数列的前项和. 【解析】（1）因为,, 所以,解得或, 因为,所以,则； （2）由（1）可得, 所以 . 7．（2024届福建省厦门市高三第二次质检）已知为等差数列的前n项和,,,. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和,若,求n的最小值. 【解析】（1）设数列的公差为d, 依题意,, 即,解得, 所以的通项公式是. （2）由（1）知,所以, , 恒成立, 令, 由,由于,所以. 所以 所以的最小值为4. 8．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考）设是等差数列,其前项和,是等比数列,且,,. (1)求与的通项公式； (2)设,求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 由,,又,,, 由,,又,,, ,, 即,． （2）当为奇数时,, 记,则有 , , 得： , , , 当为偶数时,, 记, , ． （3）由与恒成立, 可得恒成立, 恒成立,即求的最大值, 设, , 单调递增, 又, , ． 9．（2024届山东省烟台市高三二模）已知是公差不为0的等差数列,其前4项和为16,且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 【解析】（1）设的公差为,由题意知,即, 即有,因为,可得,, 所以； （2）设数列的前项中的奇数项之和为,偶数项之和为, 则 , , 所以． 10．已知等差数列的前项和为,. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）时,, 时,, 又, 所以； （2）由（1）, 当时,, 当时, , . 11．已知的前项和是,且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【解析】（1）由①得,当时,②, 联立①②得, 所以有, 因为,所以． （2）设数列的前项中的奇数项之和为,偶数项之和为, 由（1）知 则, , 综上：． 12．已知正项数列的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为,求. 【解析】（1）因为①,时,②, ①-②整理得, 数列是正项数列,, 当时,, ,数列是以1为首项,2为公差的等差数列, ； （2）由题意知,设的前项中奇数项的和为,偶数项的和为, , , . 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1＝－9,a2为整数,且a5≤0,a6≥0. (1) 求{an}的通项公式； (2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn. 【解析】 设{an}的公差为d,由题意得 所以≤d≤.因为a2∈Z,所以d＝2, 所以an＝2n－11. (2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn. 由题可知,当n为偶数时,bn＋bn＋1＝(－2)n＝2n. ①当n为奇数(n≥3)时,Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝b1＋22＋24＋…＋2n－1＝＋＝. 当n＝1时也符合上式． ②当n为偶数时, Tn＝Tn－1＋bn＝＋an－1＝＋2n－13. 所以Tn＝ 14.（2020天津高考真题）已知为等差数列,为等比数列,． （Ⅰ）求和的通项公式； （2）对任意的正整数,设求数列的前项和． 【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为q. 由,,可得d=1. 从而的通项公式为. 由, 又q≠0,可得,解得q=2, 从而的通项公式为. (2)当n为奇数时,, 当n为偶数时,, 对任意的正整数n,有, 和 ① 由①得 ② 由①②得, 由于, 从而得：. 因此,. 所以,数列的前2n项和为. 15.（2024届广东省广州实验中学校考）已知数列满足,且的前100项和 (1)求的首项； (2)记,数列的前项和为,求证：. 【解析】（1）当为奇数时,； 则偶数项构成以为公差的等差数列, 所以当为偶数时,； 当为偶数时,, 则奇数项构成以1为公差的等差数列, 所以当为奇数时,, 则,又, 所以, 解得,. （2）由（1）得,,,, 当时,, ∴, 综上,知. 16．（2024云南省昆明市五华区高三上学期第五次检测数学试题）已知数列满足,数列满足． (1)求,的值及数列的通项公式； (2)若（,）,求的取值范围； (3)在数列中,是否存在正整数,,使,,（,,）构成等比数列？若存在,求符合条件的一组的值,若不存在,请说明理由． 【解析】（1）由已知得：, ． 因为,,所以, 而,所以是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以数列的通项公式为． （2）不等式化为：, 设, 则, 所以在上单调递增, 所以,因为在上恒成立, 所以, 所以的取值范围为． （3）若,,（,,）构成等比数列, 则,即：, 所以, 由于,均为正整数,所以奇数必须是完全平方数, 又因为,所以, 则为奇数的平方,不妨取,, 所以,当时,,,即：,不满足题意,舍去； 当时,,,即：,,不满足题意,舍去； 当时,,,即：,. 所以符合条件的一组的值可以是． ( 32 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 分段数列 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,由于分段数列问题大多涉及分类讨论思想,对能力要求更高,作为压轴题出现的频率更高,本专题总结分段数列的常见类型及求解,供大家参考. （一）分段数列求通项 分段数列求通项,关键是确定n在不同范围内取值时与的关系,恰当进行分类是求解的难点. 【例1】（2024届四川省成都石室中学高三下学期适应性考试）已知数列满足 当时, (1)求和,并证明当为偶数时是等比数列； (2)求及. 【解析】（1）因为 当时,, 所以,. ,,又, 当为偶数时,是以为首项,以为公比的等比数列； （2）由（1）知,, 设,则   为偶数时, 当为奇数时, ； 设,为奇数时,, 所以. . （二）分段数列求和 对于分段数列求和,一般数列分几段,求和时也分几段,对于型的数列求和,一定要注意若为偶数,则奇数项与偶数项各有项,若n为奇数,则奇数项有项,偶数项有,若是公差为的等差数列,则的奇数项是公差为的等差数列,若是公比为的等比数列,则的偶数项是公比为的等比数列. 【例2】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若,,求数列的前100项和． 【解析】（1）设数列的首项为,公差为, 根据题意得即 解得或． 又因,所以．所以的通项公式为． （2）由（1）得． 即数列的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列, 奇数项是以为首项,16为公比的等比数列． 数列的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项, 数列的前100项和． , ． 所以． 【例3】（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且. (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 【解析】（1）由为“比差等数列”, 得,从而. 设,则, 所以数列为等差数列. 因为,所以为常数列, 因此,,即, 所以是首项为,公比为的等比数列,因此. （2）当为偶数时, ； 当为奇数时,. 综上,. （三）型的分段数列 此类问题比较简单,求解时只需分n为偶数与奇数即可,求指定项时要注意区分该项在奇数项或偶数项中的位置,求和时要注意奇数项与偶数项的项数. 【例4】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为,且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中,是否存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,说明理由 【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 则, 因为,所以,即, 因为,所以,即, 解得, 所以； （2）由（1）知, 所以对于,有,, 所以（）, （3）在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数, 下面说明： 若,则由,得, 化简得, 此式左边是偶数,右边是奇数,不可能成立, 若,则由,得,化简得, 令,则, 所以,所以只有,此时, 综上,在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数. （四）型的分段数列 求解此题问题,一般是由已知条件推出与（或与,与）的递推关系,再构造等差（比）数列求通项. 【例5】设数列满足：是的等比中项. （1）求的值； （2）求数列的前20项的和. 【解析】（1）由已知,, 又是的比例中项,所以,即,显然且,故解得； （2）是奇数时,,,,而, 所以数列是等比数列, ． （五）相邻项和（积）为等差（比）数列型的分段数列 1.若,则当时,,两式相减得,即数列与数列均是公差为的等差数列. 2.若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列. 【例6】设数列的前n项和为,且． （1）求； （2）若对恒成立,求的取值范围． 【解析】（1）因为,当时,, 两式相减得,则, 两式相减得． 当时,,则；当时,,则, 所以. （2）由（1）得． 要使对恒成立,则即解得, 所以的取值范围为. （六）型的分段数列 求解此类问题,关键是确定分界点. 【例7】（2023年高考全国乙卷数学真题）记为等差数列的前项和,已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为, 由题意可得,即,解得, 所以, （2）因为, 令,解得,且, 当时,则,可得； 当时,则,可得 ； 综上所述：. 【例8】（2024届吉林省长春市东北师大附中高三第六次模拟）记集合无穷数列中存在有限项不为零,,对任意,设．定义运算若,则,且． (1)设,用表示； (2)若,证明：： (3)若数列满足,数列满足,设,证明：． 【解析】（1）因为,所以, 所以, 根据多项式的乘法可得：． （2）因为, 所以． 又, 所以, 所以 （3）对于, 因为,所以, 所以, 所以, 所以． 所以． 所以． 所以 (七)含或型的分段数列 求解含或型的分段数列问题,一般借助三角函数的周期性求解,求和时通常把一个周期内的项求和后,构造新数列求解. 【例9】（2024届山东潍坊高三三模）已知正项等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【解析】（1）因为, 所以,即,解得或, 又因为,所以,所以. （2）,所以, 所以为奇数时, , 为偶数时, , 所以前项和. (八)当时型的分段数列 求解此类问题的关键是判断在每个范围内数列项的个数. 【例10】已知数列是等差数列,其前和为,,,数列满足 (1)求数列,的通项公式； (2)若对数列,,在与之间插入个2（）,组成一个新数列,求数列的前83项的和. 【解析】（1）设公差为,故,解得, 故, 故,① 当时,, 当时,,② 式子①-②得,, 即,当时,也满足上式,故； （2）因为,所以在中,从项开始,到项为止, 共有项数为, 当时,,当时,, 故数列前项是项之后还有项为2, . 【例11】（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列,． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列,且对任意的,当时,则, （Ⅰ）当时,求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【解析】（1）由题意可得,解得, 则数列的通项公式为, 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知,当时,, 取,则,即, 当时,, 取,此时, 据此可得, 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：, 则数列的公比满足, 当时,,所以, 所以,即, 当时,,所以, 所以数列的通项公式为, 其前项和为：. 【例1】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数． (1)若,,,,, （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设数列的前项和为,求证：． (2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,） 【解析】（1）（ⅰ）,, 由, 得,解得, 又, , ,是以2为公比,2为首项的等比数列． ． （ⅱ）令,则, ． 显然,当时,是递增数列,在时,单调递减, 可得,． ． （2）为奇函数, ． , 又,, ,． , 由得,． , , ,, 在上为增函数, 当时,,； , ． 当时,． 时,,又, 当时,,． 又,的最大值为5． 【例2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,． (1)求的通项公式； (2)证明：当时,． 【解析】（1）设等差数列的公差为,而, 则, 于是,解得,, 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知,,, 当为偶数时,, , 当时,,因此, 当为奇数时,, 当时,,因此, 所以当时,. 方法2：由（1）知,,, 当为偶数时,, 当时,,因此, 当为奇数时,若,则 ,显然满足上式,因此当为奇数时,, 当时,,因此, 所以当时,. 【例3】（2024年天津高考数学真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设,． （ⅰ）当时,求证：； （ⅱ）求． 【解析】（1）设等比数列的公比为, 因为,即, 可得,整理得,解得或（舍去）, 所以. （2）（i）由（1）可知,且, 当时,则,即 可知, , 可得, 当且仅当时,等号成立,所以； （ii）由（1）可知：, 若,则；若,则, 当时,,可知为等差数列, 可得, 所以, 且,符合上式,综上所述：. 【例4】（2021年新高考1卷数学真题）已知数列满足, （1）记,写出,,并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【解析】（1）由题设可得 又,,故即即 所以为等差数列,故. （2）设的前项和为,则,因为,所以 . 【例5】（2024届湖南长沙高三下学期三模）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且. (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 【解析】（1）由为“比差等数列”, 得, 从而. 设,则, 所以数列为等差数列. 因为, 所以为常数列, 因此,,即, 所以是首项为,公比为的等比数列, 因此. （2）当为偶数时, ； 当为奇数时,. 综上,. 【例6】设是数列的前n项和,已知, （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数n. 【解析】（1）由已知得, 所以,其中,,所以是以为首项,为公比的等比数列； （2）由（1）知,所以,, 所以,所以 ,当时,单调递减,其中,,, 所以满足的所有正整数n为1,2. 1.（2024届福建省厦门市高三第四次质量检测）设为数列的前项和,已知,且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若,求的前项和. 2．（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列满足,． (1)求,,,并求证：； (2)求数列的前2n项和． 3．（2024届贵州省贵阳市第一中学等校高三下学期三模）已知正项数列的前项和为,且满足.试求: (1)数列的通项公式; (2)记,数列的前项和为,当时,求满足条件的最小整数. 4．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列是正项等比数列,是等差数列,且, (1)求数列和的通项公式; (2),求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围; 5．（2024届天津市第一中学高三第五次月考）已知数列是等差数列,,,数列的前n项和为,且, (1)求数列和的通项公式； (2)若集合中恰有四个元素,求实数的取值范围； (3)设数列满足,的前n项和为,证明：． 6．（2024届山西省高考三模）已知等差数列的公差,前项和为,且,. (1)求数列的通项公式； (2)若,求数列的前项和. 7．（2024届福建省厦门市高三第二次质检）已知为等差数列的前n项和,,,. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和,若,求n的最小值. 8．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考）设是等差数列,其前项和,是等比数列,且,,. (1)求与的通项公式； (2)设,求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围. 9．（2024届山东省烟台市高三二模）已知是公差不为0的等差数列,其前4项和为16,且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设,求数列的前项和. 10．已知等差数列的前项和为,. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 11．已知的前项和是,且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 12．已知正项数列的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为,求. 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1＝－9,a2为整数,且a5≤0,a6≥0. (1) 求{an}的通项公式； (2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn. 14.（2020天津高考真题）已知为等差数列,为等比数列,． （Ⅰ）求和的通项公式； （2）对任意的正整数,设求数列的前项和． 15.（2024届广东省广州实验中学校考）已知数列满足,且的前100项和 (1)求的首项； (2)记,数列的前项和为,求证：. 16．（2024云南省昆明市五华区高三上学期第五次检测数学试题）已知数列满足,数列满足． (1)求,的值及数列的通项公式； (2)若（,）,求的取值范围； (3)在数列中,是否存在正整数,,使,,（,,）构成等比数列？若存在,求符合条件的一组的值,若不存在,请说明理由． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$