2025届高三天枢杯第二届线上联考数学试题

第二次天枢杯线上联考一试 数学 本试卷共5页，20题．全卷满分150分，考试用时120分钟， 注意事项： 1．填空题，主观题请自备答题纸．并将答案提交到对应的答题区．请保持字迹工整．笔记清晰．字迹不清，提交错误的作答视为无效． 2．考试期间，请考生独立作答，禁止考生查网书籍、使用计算器等辅助工具、或在考试期间与他人交流．试卷在考试期间禁止外传，考试结束后可以外传，但最好留下作者名称skyhgzsh． 3．请使用高中课内知识答题，课外“超钢”知识请在答题纸上给出相应定理的证明，如果题目中不涉及复数的相关内容，则默认范围为实数．自然数默认包含，正整数用表示，不建议使用如“趋近于，足够大”等模棚性词语 4．考试结束后．请在规定时间内以雨课堂或QQ私信（QQ：10691923）的途径，将答题纸以电子版，照片或扫描的方式在府课章的相应位置处提交，未在规定时间内发送的卷子视为未提交，不计人成绩． 5．本比赛的最终解释权归作者所有．考试期间如对试卷内容等方面有问题，请先通读试题内容，如仍有疑间，请私信作者． 6．题目顺序不代表难度，部分题目可能难度较高！ 7．已知：若均为非负实数，则．取等当且仅当 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ） A. ，，， B. C. D. 或 2. 设复数，．那么如下说法中错误的是（ ） A. B. 在第二象限 C. 若，那么 D. 3. 如果，，那么称数列和“同增减”，以下说法中错误的是（ ） A. 两个单调递增数列和是同增减的 B. 和任意数列有和同增减 C. 和任意数列有和同增减 D. 和任意正数数列有和同增减 4. 已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5. 已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（ ） A. 设是半焦距到的其中一个焦点的距离，那么必然有 B. 到直线的距离不是定值 C. 和没有交点 D. 三角形面积的取值范围是 6. 如下图所示，边长为的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构．和等部分金属就属于这种结构．若将原子认为是如此分布的等大实心球，使得最近的两个原子球恰好相切，那么一个边长为的面心立方正方体品格内被原子球所占据的部分的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 已知：，，，那么三者的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 不是方程的解的选项是（ ） A. B. C. D. 10. 我们称两个正整数和互素，当且仅当和的最大公因数是1，我们定义是小于的正整数中和互素的数的个数，例如．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（ ） A. 有无限多个正整数使 B. 有无限多个正整数使 C. 的解只有1和2 D. 对于任意正整数，都有使得 二、填空题：本题共5小题．每小题6分，共30分 11. 定义．那么在上的取值范围是______． 12. 已知在平面上和单位圆交于那么的可能取值是）______． 13. 若，的解从小到大排成，那么若．则的整数部分是______． 14. 已知三角形中是直角，，若当变化时的最小值是．那么的可能取值是______． 15. 定义，那么以下说法正确的有（填序号）______． A． B．除了以外，都是奇数 C．对于任意的n， D．以，，为三边的三角形是直角三角形 三、解答题：本题共5小题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 16. 信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们可以度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的概念在信息学和通信领域用处颇多，若有一系列基本事件，以作为随机变量，则这些事件可以分别认为是，．则对于这些基本事件的总体的熵，我们用公式计算． （1）求抛一面质地均匀的六面骰子的熵 （2）假设一枚硬币，其抛出正面的概率是，请计算当取值为何时其熵最大 （3）在上一问中，假设．若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串（如“0”、“11011”、“1010110”传递给，并满足以下条件： ·A和B事先商量好个对应法则 ·A连续3次抛掷该硬币，将这三次的正反面通过对应法则编码成，将发送给B ·B可以通过唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1，2，3次时的正反面 ·的长度的期望尽量小． 例如，可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果，如表： 正正正 111 正正反 110 正反正 101 反正正 011 正反反 100 反正反 010 反反正 001 反反反 000 从而显然无论如何．都有成立．从而 请设计一种方案，使得： （a）； （b）； 并证明．（你不需要分别给出方案，的方案自动满足 17. 已知一个平行六面体的最长体对角线长度是，证明：该平行六面体的体积．并指出取等条件． 18. 我们定义的函数使得在上，证明：，当且仅当. 过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设，，．得到关于，的表达式（提示：，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题． 19. 已知的两个焦点和两个顶点四点共圆，且和，均相切 （1）求的表达式和离心率 （2）已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于.设右焦点为，证明是常量，并计算其正切值． 20. 设 （1）若.求的单调区间，并分析是何种单调. （2）分析的零点数量和的关系. 第二次天枢杯线上联考一试 数学 本试卷共5页，20题．全卷满分150分，考试用时120分钟， 注意事项： 1．填空题，主观题请自备答题纸．并将答案提交到对应的答题区．请保持字迹工整．笔记清晰．字迹不清，提交错误的作答视为无效． 2．考试期间，请考生独立作答，禁止考生查网书籍、使用计算器等辅助工具、或在考试期间与他人交流．试卷在考试期间禁止外传，考试结束后可以外传，但最好留下作者名称skyhgzsh． 3．请使用高中课内知识答题，课外“超钢”知识请在答题纸上给出相应定理的证明，如果题目中不涉及复数的相关内容，则默认范围为实数．自然数默认包含，正整数用表示，不建议使用如“趋近于，足够大”等模棚性词语 4．考试结束后．请在规定时间内以雨课堂或QQ私信（QQ：10691923）的途径，将答题纸以电子版，照片或扫描的方式在府课章的相应位置处提交，未在规定时间内发送的卷子视为未提交，不计人成绩． 5．本比赛的最终解释权归作者所有．考试期间如对试卷内容等方面有问题，请先通读试题内容，如仍有疑间，请私信作者． 6．题目顺序不代表难度，部分题目可能难度较高！ 7．已知：若均为非负实数，则．取等当且仅当 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题：本题共5小题．每小题6分，共30分 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】101 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】BCD 三、解答题：本题共5小题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）（a），我们的思路是尽量让更可能的事件用更短的表示． 从而考虑在例子的基础上作如下替换：11代表三面正，100代表正正反，0001代表正反反，0000代表三面反． 从而有的概率是，有的概率是． 计算可得．从而方案满足要求． （b）我们直接给出编码： 正正正 1 正正反 011 正反正 010 反正正 001 正反反 00011 反正反 00010 反反正 00001 反反反 00000 计算可得，从而方案满足要求． 【17题答案】 【答案】 设平行六面体三条互不平行的边所在向量分别是（即从同一顶点出发的三边，向量起点均为公共点）， 其中一条体对角线所在的向量， 则， 从而可以设和反向、和反向，和反向， 则四条体对角线的平方和就是 注意到， ， ， 因此四个体对角线的平方和就是， 因为是体对角线中最长的一条，所以其不小于平均值，即， 而取等条件是四条体对角线都相等，此时平行六面体是长方体. 由，设是向量所在平面的面积， 那么，取等条件是； 且，取等条件是和向量所在平面垂直； 即，取等条件为该平行六面体是长方体. 又 ， 当且仅当时等号成立， 即，取等条件为该平行六面体是正方体． 【18题答案】 【答案】 一方面：首先，显然，，． 另一方面：方法一： 先证明2个引理： 引理1：首一整系数多项式的零点若是有理数，则必是整数. 证明：设有首一整系数多项式 . 若有一个有理数零点，则 ， 故， 从而是的倍数，但互质，所以是的倍数，得，故是整数. 引理1证毕. 引理2：对正整数，存在首一整系数多项式，使得对任意的都有. 证明：设多项式列满足，，. 则，，. 再结合恒等式， 归纳即知. 而根据递推式，可知总是整系数多项式，且时首项系数为1，故引理2得证. 回到原题，设是正整数，若是有理数，可设. 则，从而，. 据引理2，设，则是首一整系数多项式，且. 而是有理数，根据引理1，是整数，所以是整数. 再由是正整数，知. 而奇数，则一定是无理数. 方法二： 用反证法,若是有理数,设为,其中为正整数. 则 记次多项式满足，其中，， 一方面，可由递推特征方程求出， 另一方面，由递推关系式归纳可得， 因此的根为， 于是有， 于是有 且,得为一根. 化简得, 模并结合,可得,与为大于1的奇数矛盾! 方法三： 用反证法,假设存在大于1的奇数是有理数. 设, 则, 下面证明:对任何正整数,且 1.当时结论成立. 2.设,且 由得 设,则,且. 因此，对一切正整数都成立,所以, 故,因此，又，所以或2的方幂,而这与是大于1的奇数矛盾. 方法四： 注意到，从而， 也就是．因为，．若， 其中是大于1的奇数 递归初始有不是的倍数． 若，不是的倍数，那么不是的倍数， 而是．从而也不是的倍数． 从而总不是的倍数，从而总不是的倍数． 若（其中是整数），那么，从而． 但是不是的倍数，从而不是整数，更不可能是1，矛盾， 若，，， 定义而初始有是奇数， 若是奇数，那么是偶数和奇数的和，从而是奇数， 从而当时总是奇数． 如上，类似地有，但是是奇数除以偶数，从而必然不是整数，矛盾． 综上，命题成立． 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 设从而斜率必然存在且非0， 设切线 代入得到 因为在上，从而，从而． 因为解只有，从而第二个因素的解也是，也就会，或者说是， 从而，也就是 联立和，解出， 同理有 从而，，， ，，， 注意到因为，从而．从而写出所求角度的正切值表达式． 先处理分子： ， 再处理分母： 当时候注意到能解出，此时和重合，与它们只有交点相矛盾．而不可能是0． 从而，又注意到在变化的时候恒为锐角，从而其是定角． 【20题答案】 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2） 当时没有零点，当或者时有一个零点；当时有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $