重难点05空间距离与体积问题（2种考法）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

重难点05空间距离与体积问题（2种考法） 考法1：距离问题 考法2：体积问题 一.求点到平面的距离的四步骤 二、常见几何体体积的四种求法 1.直接法求体积（也称公式法） 直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。 可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到 2.等体积法求三棱锥体积 1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。 2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。 【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。 3.多面体割补法求体积 1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时， 再将其分割没转化成比较好求体积的几何体； 【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥 多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口” 2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算； 常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体； （2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体； （3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体； （4）将台体补成锥体等等。 【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。 4.两部分体积比例法（转移法） 利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。 【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。 知识讲解 考法1：距离问题 1．（2023•青秀区校级一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 2．（2023•奉贤区校级模拟）如图，将边长为2的正方形沿对角线折蟊，使得平面平面，平面，且． （1）求证：直线与平面没有公共点； （2）求点到平面的距离． 3．（2023•宝山区二模）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点． （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）证明：平面，并求点到平面的距离． 4．（2024•杨浦区二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离． 5．（2024•浦东新区校级四模）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 6．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为． （1）求直线与平面所成角； （2）求点到平面的距离． 7．（2024•嘉定区校级模拟）已知，四棱锥的底面是矩形，平面，，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 8．（2024•黄浦区校级三模）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 9．（2023•金山区二模）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点． （1）求直线与所成的角的大小； （2）求证：平面平面，并求点到平面的距离． 10．（2023•杨浦区二模）四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角． 11．（2023•崇明区二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 12．（2024•闵行区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，，点，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 13．（2024•杨浦区校级三模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点． （1）若，求异面直线与所成的角的大小； （2）若，求点到平面的距离． 14．（2024•闵行区校级三模）如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上． （1）求证：； （2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离． 15．（2023•徐汇区校级三模）在直四棱柱中，，，，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 16．（2024•崇明区二模）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 考法2：体积问题 1．（2023•杨浦区校级三模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为． （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 2．（2024•青浦区校级模拟）如图，在直三棱柱中，，，异面直线与所成的角为． （1）求该三棱柱的体积； （2）设是的中点，求与平面所成角的正弦值． 3．（2023•静安区二模）如图，在五面体中，平面，，，若，． （1）求五面体的体积； （2）若为的中点，求证：平面平面． 4．（2024•虹口区模拟）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． （1）若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； （2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 5．（2023•宝山区校级模拟）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为2． （1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； （2）设，点、在底面圆周上，且满足，是线段的中点，如图．求直线与平面所成的角的大小． 6．（2024•嘉定区校级模拟）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面．如果存在，请说明点位置并证明．如果不存在，请说明理由． 7．（2024•浦东新区校级三模）在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，． （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 8．（2024•宝山区二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径． （1）求证：； （2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小． 9．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：； （2）设与底面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 10．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为， 求与平面所成的线面角的大小． 11．（2023•嘉定区校级三模）在长方体中，，，、、分别为、、的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）点在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值． 12．（2024•静安区二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． （1）求四面体的体积； （2）试判断与证明以下两个问题： ①在平面上是否存在经过点的直线，使得； ②在平面上是否存在经过点的直线，使得． 13．（2023•奉贤区校级三模）已知三棱锥，平面，，，，，分别在线段，上． （1）若与平面所成角大小为，求三棱锥的体积； （2）若平面，求证：平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05空间距离与体积问题（2种考法） 考法1：距离问题 考法2：体积问题 一.求点到平面的距离的四步骤 二、常见几何体体积的四种求法 1.直接法求体积（也称公式法） 直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。 可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到 2.等体积法求三棱锥体积 1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。 2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。 【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。 3.多面体割补法求体积 1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时， 再将其分割没转化成比较好求体积的几何体； 【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥 多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口” 2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算； 常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体； （2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体； （3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体； （4）将台体补成锥体等等。 【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。 4.两部分体积比例法（转移法） 利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。 【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。 知识讲解 考法1：距离问题 1．（2023•青秀区校级一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【分析】（1）根据勾股定理可得，再根据线面垂直的判定可得平面，进而根据正三角形与线面垂直的性质与判定可得平面； （2）取中点为，中点为，可得，，两两垂直，再建立空间直角坐标系根据线面角与点面距离的方法求解即可． 【解答】（1）证明：由题知， 因为，所以， 又，，所以， 又，所以平面， 又平面，所以， 在正三角形中，为中点，于是， 又，所以平面； （2）解：取中点为，中点为，则，， 由（1）知平面，且平面，所以， 又，所以，，所以平面， 于是，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 于是， 设，则， 由于直线与平面所成角的正弦值为， 于是， 即， 整理得， 由于，，所以， 于是， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为． 【点评】本题主要考查线面垂直的证明，点面距离的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题． 2．（2023•奉贤区校级模拟）如图，将边长为2的正方形沿对角线折蟊，使得平面平面，平面，且． （1）求证：直线与平面没有公共点； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）取中点，连接，．可证明四边形为平行四边形，可得面．即直线与平面没有公共点； （2），．可得点到平面的距离． 【解答】解：（1）取中点，连接，． 、都是以为斜边的解三角形，，， 又平面平面，平面平面，面，平面． 平面，，，四边形为平行四边形， ，面，面， 面． 直线与平面没有公共点； （2）由（1）可得面， 在中，，，． ，，． 点到平面的距离为1． 【点评】本题考查空间点、线、面位置关系，线面间的距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转 3．（2023•宝山区二模）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点． （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）证明：平面，并求点到平面的距离． 【分析】（1）取的中点，连接，，可得，所以与所成的角即为与所成的角，由题意求出，，的值，由余弦定理可得两条直线所成角的余弦值，进而求出角的大小； （2）由（1）可证得面面，进而可证得面，进而可知到平面的距离等于到平面的距离，再由等体积法求出到平面的距离． 【解答】解：（1）因为底面，， 所以， 又因为与底面所成的角为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为四边形边长为2的菱形，，所以为等边三角形，即， 所以，，， 取的中点，连接，，可得， 所以与所成的角即为与所成的角， 则，， 所以， 在中，， 所以， 即异面直线与所成角的大小为； （2）证明：连接， 由（1）可得，，， 所以面面， 因为面， 所以面； 所以到面的距离等于到面的距离，设， 则， 而， ， 所以，解得， 即点到平面的距离为． 【点评】本题考查线面平行的证法及面面平行的性质的应用，等体积法求点到面的距离的应用，属于中档题． 4．（2024•杨浦区二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离． 【分析】（1）利用空间线面垂直的性质与判定定理，即可证明； （2）先证平面，则就是点到平面的距离，即可求解． 【解答】解：（1）证明：连结交于点， 因为为圆锥顶点，为底面中心， 所以平面， 又因为平面， 所以， 因为为等边三角形，为中心， 所以， 因为， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）作，又，， 则平面， 又，，， 得， 所以点到平面的距离为． 【点评】本题考查空间线面垂直与点到平面的距离，属于中档题． 5．（2024•浦东新区校级四模）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）由，得出平面，故而即为所求角，利用勾股定理得出，即可得出； （2）过作，垂足为，通过证明平面平面得出平面，利用等面积法求出； 【解答】解：（1）平面，平面， ， 是圆的直径， ， 又平面，平面，， 平面． 是与平面所成的角． ，， ． 直线与平面所成角的大小为． （2）过作，垂足为， 由（1）得平面，平面， 平面平面， 又平面平面，平面，， 平面． ，． ． 即到平面的距离为． 【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题． 6．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为． （1）求直线与平面所成角； （2）求点到平面的距离． 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量，求出平面的一个法向量． （1）根据直线和平面所成角的向量法求出即可； （2）根据点到平面的距离的空间向量法求出即可． 【解答】解：一点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，， 则，1，，，0，，设，，是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以，1，． （1），0，，，， 设直线与平面所成角为， 则，， 所以直线与平面所成角为． （2），1，，， 点到平面的距离． 【点评】本题考查利用空间向量求空间角和距离，属中档题． 7．（2024•嘉定区校级模拟）已知，四棱锥的底面是矩形，平面，，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）只需证明，即可证明平面； （2）利用等体积法可求得结果． 【解答】证明：（1）在直角三角形中，， 所以底面为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面； 解：（2）由题意可知点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， 由（1）可得，所以， 由得，即， 所以， 所以点到平面的距离等于． 【点评】本题考查了线面垂直的证明、点到平面的距离计算，属于简单题． 8．（2024•黄浦区校级三模）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 【分析】利用线线平行证明线面平行即可； 取的中点，连接，可证，以为原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量示求点到平面的距离即可求到平面的距离． 【解答】证明：底面是边长为2的菱形， ，平面，平面， 平面； 解：取的中点，连接， 底面是边长为2的菱形，， 是正三角形，所以，， 以为原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，，，，1，，，0，，，， ，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 所以面的一个法向量为，3，， 又，1，， 所以到平面的距离为． 到平面的距离为． 【点评】本题考查线面平行的证明，以及线到面的距离的求法，属中档题． 9．（2023•金山区二模）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点． （1）求直线与所成的角的大小； （2）求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【分析】（1）由已知可得是直线与所成的角，求解即可； （2）由已知可证平面，进而可证平面平面，过作于，可得线段的长就是点到平面的距离，求解即可． 【解答】解：（1），是直线与所成的角， 在直角三角形中，， 直线与所成的角的大小为； （2）平面，平面，， 又是的中点，， ，平面， 再由平面，平面平面， 过作于，平面平面，且平面平面， 平面，线段的长就是点到平面的距离， ，点到平面的距离为． 【点评】本题考查求异面直线所成的角，考查点到面的距离的求法，属中档题． 10．（2023•杨浦区二模）四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角． 【分析】（1）作于，可证平面，求得的长即可求得点到平面的距离； （2）作于，连接，可证为与平面所成的角，求解即可． 【解答】解：（1）作于， 平面，平面， ，， ，平面， 平面，， ，， 平面， 为到平面的距离， 根据二面角的定义知，则， ，， 解得， 点到平面的距离为； （2）作于，连接，，， ，，，平面， 平面，， ，，平面， 为与平面所成的角， 中，，， 得，． 直线与平面所成的角为． 【点评】本题考查点到面的距离的求法，考查线面角的求法，属中档题． 11．（2023•崇明区二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解； （2）利用等体积转化法即可求解． 【解答】解：（1）由题意知，直线与平面的夹角，即为， 易知，， 又， 故，进而有，， 由圆柱的表面积为， 可得， 故， 故直线与平面的夹角为． （2）设点到平面的距离为， 则，，， 因为平面，， 所以平面，即， 在△中，， 故， 所以，即点到平面的距离为． 【点评】本题考查线面角的定义及其求解，考查点到平面的距离以及等体积法的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 12．（2024•闵行区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，，点，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）推导出，，从而平面，平面，进而，，由此能证明平面． （2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【解答】解：（1）证明：在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，， ，， ，， 平面，平面， ，， ，平面． （2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，点，分别为，的中点， ，0，，，0，，，0，，，1，， ，0，，，1，，，0，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，1，， 点到平面的距离为： ． 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 13．（2024•杨浦区校级三模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点． （1）若，求异面直线与所成的角的大小； （2）若，求点到平面的距离． 【分析】（1）当时，为的中点，取的中点，连接，则，得即为异面直线与所成的角，然后由已知求解三角形得答案； （2）若，又为在底面上的射影，则，然后利用等体积法求点到平面的距离． 【解答】解：（1）如图， 当时，为的中点，取的中点， 连接，则， 即为异面直线与所成的角， 在直三棱柱中，已知，可得平面， 则，可得， 由已知，，得，， 则，可得， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）若，又为在底面上的射影，则， 在中，由，，得， ，，， ，， 设点到平面的距离为， 由等体积法可得：， 解得，即点到平面的距离为． 【点评】本题考查空间角的求法，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题． 14．（2024•闵行区校级三模）如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上． （1）求证：； （2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离． 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的性质证明平面即可； （2）根据线面垂直的性质可得与平面所成角为，再根据等体积法能求出结果． 【解答】解：（1）证明：连接，， ，，，， ，平面， 平面，． （2）由（1）得，，且平面平面，平面平面， 平面，与平面所成角为，， 点在以点为圆心，为直径的半圆上，， ，， 设点到平面的距离为， ，， 解得． 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15．（2023•徐汇区校级三模）在直四棱柱中，，，，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）证明直线垂直面内的两条相交直线、，即可得到平面； （2）利用等体积法求点到平面的距离． 【解答】（1）证明：为直四棱柱， 平面，则． ，，四边形为直角梯形， 又，，，， 得，则， ，平面； （2）解：由已知可得，，， 又由（1）知，， ，， 设点到平面的距离为，由， 可得，则． 即点到平面的距离为． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题． 16．（2024•崇明区二模）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 【分析】（1）证明：可得，即是直角三角形， 又，可得，即可证明平面； （2）设点到平面的距离为．由，解得即可 【解答】（1）证明：，，，即是直角三角形， 又为的中点，， ，，， ，，，平面； （2）解：由（1）得平面，， 在中，． ， ． 设点到平面的距离为．由， 解得， 点到平面的距离为． 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题． 考法2：体积问题 1．（2023•杨浦区校级三模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为． （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【分析】（1）根据线面角的定义，锥体的体积公式即可求解； （2）将两异面直线平移成相交直线，再结合解三角形知识即可求解． 【解答】解：（1）底面， 直线与平面所成的角为， 又，， 又底面是矩形，且，， 四棱锥的体积为； （2）取的中点，连接，，又为中点， ，且， 四边形为平行四边形， ， 直线与所成的角即为与所成的角， 即直线与所成的角为或其补角， 又，又， ， ， 异面直线与所成的角的大小为． 【点评】本题考查线面角的定义，锥体的体积公式，两异面直线所成角，属基础题． 2．（2024•青浦区校级模拟）如图，在直三棱柱中，，，异面直线与所成的角为． （1）求该三棱柱的体积； （2）设是的中点，求与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）以点为原点，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出该三棱柱的体积． （2）法一：求出平面的法向量，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值． 法二：根据异面直线所成角的定义，结合棱柱的性质证出（或其补角）是异面直线与所成的角，得到△中，由算出，由此在△中算出．过点作于点，则平面，在△中算出，得点到平面的距离等于，从而得出点到平面的距离，最后算出，利用直线与平面所成角的定义与性质即可算出直线与平面所成角的正弦值． 【解答】解：（1）在直三棱柱中，，， 异面直线与所成的角为， 如图，以点为原点，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 设，则，0，，，1，，，0，， 则， 直线与所成的角为， ，解得． 该三棱柱的体积为． （2）解法一：是的中点， 由（1）知． 设平面的法向量， 可取． 又， 设与平面所成角为， 于是， 与平面所成角的正弦值为． 解法二：四边形为平行四边形，得， （或其补角）是异面直线与所成的角． ，，． 由此可得△中，， ，， △中，，可得， ，平面，平面， 平面，平面平面， 过点作于点，则平面， △中，，即点到平面的距离等于． 是的中点，点到平面的距离， △中，， △中， 设与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值等于． 【点评】本题着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明、异面直线所成角的定义及求法、直线与平面所成角的定义及性质和解直角三角形等知识，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 3．（2023•静安区二模）如图，在五面体中，平面，，，若，． （1）求五面体的体积； （2）若为的中点，求证：平面平面． 【分析】（1）取中点，连接，，易证得平面，五面体的体积等于棱柱的体积棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案． （2）以为坐标原点，以为，，轴正半轴建立空间直角坐标系，由垂直向量的坐标运算可证得，，即可得出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明． 【解答】解：（1）因为，，取中点，连接，， 因为，所以，，， 又平面，平面，， 所以平面，又因为，即，， ，平面，所以平面， 所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1， 三棱锥的高等于1，底面是等腰直角三角形， 所以五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积， 即：． （2）证明：以为坐标原点，以为，，轴正半轴建立空间直角坐标系， 点， 所以， 所以， 所以，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【点评】本题考查了几何体体积的计算，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 4．（2024•虹口区模拟）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． （1）若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； （2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式，算出母线，然后利用勾股定理算出圆锥的高，进而求得圆锥的体积； （2）取中点，连接、，可证出平面，则是直线与平面所成的角，进而在中利用锐角三角函数定义算出答案． 【解答】解：（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 可得圆锥的侧面积，解得，圆锥的高， 因此，圆锥的体积； （2）因为中，，，所以点是线段中点， 取中点，连接、，则为的中位线，可得， 又因为，所以， 因为平面，平面，， 因为、是平面内的相交直线，所以平面， 因此直线是在平面内的射影，可知是直线与平面所成的角， 因为，所以， 中，，可得， 即直线与平面所成的角的正切值为． 【点评】本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 5．（2023•宝山区校级模拟）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为2． （1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； （2）设，点、在底面圆周上，且满足，是线段的中点，如图．求直线与平面所成的角的大小． 【分析】（1）求出圆锥的母线长和高，再计算圆锥的体积． （2）取的中点，连接、，证明平面，是直线与平面所成的角．由此求出直线与平面所成角的大小． 【解答】解：（1）因为圆锥的底面半径为2，侧面积为，所以圆锥母线长为， 所以圆锥的高为， 圆锥的体积为； （2）取的中点，连接和，如图所示： 因为，平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为是线段的中点，是的中点，所以，所以， 又因为，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 中，， 所以， 即直线与平面所成的角是． 【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，也考查了线面垂直的判定与性质、线面角计算问题，是中档题． 6．（2024•嘉定区校级模拟）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面．如果存在，请说明点位置并证明．如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证． 【解答】解：（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以． （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又为的中点， 所以且， 所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面平面． 【点评】本题考查线面位置关系以及体积计算，属于中档题． 7．（2024•浦东新区校级三模）在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，． （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【分析】（1）由平面平面可得平面，所以，又，所以平面，进而证得； （2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设，，，利用和二面角的余弦值为求出，的值，再结合三棱锥的体积公式求解． 【解答】解：（1）证明：作交于， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为平面，且平面，所以， 因为，，、平面，， 所以平面，又因为平面， 所以； （2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，0，，，0，，，1，，，0，， 设，，，因为， 所以，又，， 所以，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 又因为为平面的一个法向量， 令二面角为角， 则， 又， 解得，（舍去）或，， 则或， 从而可得三棱锥的体积． 【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求出二面角，属于中档题． 8．（2024•宝山区二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径． （1）求证：； （2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小． 【分析】（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，得到，，结合线面垂直的判定定理得到平面后，易进一步得到； （2）延长交圆于点，连接，，结合圆柱的体积为，，，我们易得即为异面直线与所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案． 【解答】解：（1）证明：易知， 又由平面，得， 从而平面，故； （2）延长交圆于点，连接、、， 易知，（或其补角）即为所求的角， 由题知， 解得， △中，， 由余弦定理得， 从而， 所以异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键，是中档题． 9．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：； （2）设与底面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【分析】（1）由已知可得，，进而可证平面，可证结论； （2）由已知可得即为与平面所成的角，可得，进而可求三棱锥的体积． 【解答】解：（1）证明：由，，，得， ，， 在直三棱柱中，可得，， 平面，平面， ； （2）由平面，可得为在底面内的射影， 知即为与平面所成的角，， 又△为直角三角形，且，， 为三棱锥的高，， ， 三棱锥的体积． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题． 10．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为， 求与平面所成的线面角的大小． 【分析】（1）根据已知条件，结合线面垂直的判定，推出平面，再结合平面，即可求证； （2）取中点，结合线面垂直的判定，推出底面，再结合四棱锥的体积公式，推得，即可求出，再结合为与平面所成的角，即可求解． 【解答】证明：（1）在四棱锥中，， ，， 又， ， ， 平面， 平面， 平面平面； （2）解：取中点，连结， ，为的中点， ， 平面，平面， ， ， 底面， 设， 则，， 四棱锥的体积为，底面， ，解得， ， ， 底面， 为与平面所成的角， 在中，， ， 故与平面所成的线面角为． 【点评】本题主要考查平面与平面垂直的证明，以及直线与平面所成角的求解，属于中档题． 11．（2023•嘉定区校级三模）在长方体中，，，、、分别为、、的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）点在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值． 【分析】（1）利用，可求三棱锥的体积； （2）连结，，，推导出平面，平面，从而平面平面，推导出点在直线上，在中，，，，由此能求出当时，线段的长度最小，并能求出最小值． 【解答】解：（1）； （2）如图，连结，，， ，，分别为，，的中点， ，平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面， ，平面平面， 平面， 点在直线上，在中，，，， ， 当时，线段的长度最小，最小值为． 【点评】本题考查线段长度的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．（2024•静安区二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． （1）求四面体的体积； （2）试判断与证明以下两个问题： ①在平面上是否存在经过点的直线，使得； ②在平面上是否存在经过点的直线，使得． 【分析】（1）过点作，垂足为．可知为三棱锥的高，利用等面积法求得，再由棱锥体积公式求解； （2）①过点作，垂足为，由直线与平面垂直的判定与性质证明； ②利用反证法证明在平面上不存在经过点的直线，使得． 【解答】解：（1）过点作，垂足为． 平面平面，平面，由等面积法可得． ； （2）①在平面上存在经过点的直线，使得． 证明：过点作，垂足为． 平面，， 又，平面，可得， 即存在； ②在平面上不存在经过点的直线，使得， 证明：假设存在， 不在平面内，则平面，与平面矛盾． 不存在． 【点评】本题考查多面体体积的求法，考查直线与平面平行、垂直的判定与性质，是中档题． 13．（2023•奉贤区校级三模）已知三棱锥，平面，，，，，分别在线段，上． （1）若与平面所成角大小为，求三棱锥的体积； （2）若平面，求证：平面． 【分析】（1）由平面，得，再由已知可得，，求解三角形得，，然后利用棱锥体积公式求解； （2）由平面，得平面平面，再由，得平面，可得，由平面，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面． 【解答】（1）解：平面，平面，， 与平面所成角大小为，即，且，， 在中，，，，． ； （2）证明：平面，平面，平面平面， 又平面平面，平面，，平面， 平面，， 已知平面，平面，， 又，、平面， 平面． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$