第09讲 球（6个知识点+3种题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第09讲 球（6个知识点+3种题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养； 2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养. 1.了解并掌握球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点) 3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点) 知识点01.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【即学即练1】(1)（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C (2)（24-25高二上·上海·课前预习）球 如图，将圆心为O的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做 ，记作 ．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做 ．点O到球面上任意一点的距离都 ，点O叫做 ，原半圆的半径和直径分别叫做球的 和 ．    【答案】 球 球O 球面 相等 球心 半径 直径 （3）（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【答案】1或无数 【分析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可. 【详解】当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 知识点02.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 【即学即练2】（21-22高一·全国·课后作业）球的对称性 所有经过 的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的 ． 【答案】 球心 直径 【分析】根据球的性质即可得答案. 【详解】解：因为球是半圆绕直径旋转一周所成的几何体， 所以只要经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面的交点之间的线段都是球的直径. 故答案为：球心；直径. 知识点03.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【即学即练3】(1)（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. （2）（24-25高二·上海·课堂例题）球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积. 【详解】假设截面半径为，球半径为，球心到截面的距离为 所以 所以截面面积为 故答案为：. 知识点04.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 【即学即练4】（24-25高二·上海·课堂例题）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【答案】30660 【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可. 【详解】 如图，是北纬上一点，由题意得，， 所以，故， 设是北纬的纬线长，． 知识点05.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【即学即练5】（1）（2023秋•浦东新区校级期中）已知球的表面积为，则它的体积为 　　． 【分析】由已知结合球的表面积公式求球的半径，再由球的体积公式得答案． 【解答】解：设球的半径为， 由已知得，得， 球的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查球的表面积与体积公式的应用，是基础题． （2）（2022秋•闵行区校级期末）如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据条件求出球的半径即可． 【解答】解：依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离． 如图，由勾股定理得：，解得， 所以球的体积为． 故选：． 【点评】本题考查球体的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题． （3）．（2023秋•浦东新区期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 　　． 【分析】根据平面截球体所得的圆的半径，即可求出球半径，得出体积． 【解答】解：设球的半径为，与球心距离为3的平面截球体所得的圆的半径为4， 则， 所以球的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了球的体积计算，考查了直观想象能力，属于基础题． 知识点06.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【即学即练6】（1）（2023秋•长宁区校级期末）若一个球的体积是，则这个球的表面积是 　　． 【分析】根据球的体积得到，再根据，计算表面积． 【解答】解：由球的体积，可得， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查球的表面积和体积公式，属基础题． （2）（2023秋•浦东新区校级期末）若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 　 　． 【分析】由已知求出所得球的半径，再由球的表面积公式得答案． 【解答】解：设熔化后铸成球的半径为， 则，解得． 球的表面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查球的表面积与体积公式的应用，考查运算求解能力，是基础题． （3）．（2023秋•浦东新区期末）现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为 　 　平方毫米．（数值近似到 【分析】由已知直接利用球的表面积公式求解． 【解答】解：由题意知，乒乓球的半径为20毫米， 则乒乓球的表面积大约为平方毫米． 故答案为：5026.55． 【点评】本题考查球的表面积公式是应用，是基础题． 题型01 球的表面积与体积 【解题策略】 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方． 1．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 【答案】 【分析】求出的外心，利用球心到所在平面的距离为球半径的四分之一，求出球的半径，即可求出球的体积． 【详解】由题意，，，，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R，球心到所在平面的距离为球半径的， 所以，解得，则. ∴球的体积为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知三个球的半径满足，且它们的表面积分别为，体积分别为，则 . 【答案】/ 【分析】由表面积公式结合列出方程组求出，结合球的体积公式即可求解. 【详解】由题意知， 所以， . 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 【答案】/ 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】根据题意可知，三角形即为等腰直角三角形， 作于点，如下图所示： 则三角形绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和, 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高， 则圆锥的体积， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为； 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 【答案】 【分析】设截面圆半径为r，球半径为R，利用勾股定理逆定理可判断为直角三角形，从而可求出，再结合球心到该截面的距离为球半径的一半，利用勾股定理列方程可求出，从而可求出球的表面积. 【详解】设截面圆半径为r，球半径为R，在中，，，， ， ∴是直角三角形，∴，∴， ∵球心到该截面的距离为球半径的一半， ∴， ∴， ∴ 5．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 【答案】(1) (2)4710克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【详解】（1） 该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 6．（2023高二上·上海·专题练习）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积. 【答案】， 【分析】求出外接圆半径，再利用勾股定理求出球半径即可. 【详解】如图，设球心为O，球半径为R，作平面ABC于点， 由于，则是的外心， 设M是AB的中点，由于，则. 设，易知， 则，， 又，∴， 解得，∴. 在中，，，， 由勾股定理得，解得， 则，. 题型02 球的截面问题 1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理． 1．（22-23高二上·上海嘉定·期中）下列说法中正确的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．若球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为 【答案】D 【分析】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体；圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体；正六边形中心到顶点的距离等于边长；球心与截面圆圆心的连线垂直于截面. 【详解】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体，所以A错，三棱锥不仅各面是三角形，还要除底面外其余各面都有公共顶点； 圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体，以斜边为轴旋转不是圆锥，所以B错； 正六边形中心到顶点的距离等于边长，所以正六棱锥侧棱一定大于底面边长，所以C错； 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，球O半径为2，到平面距离为1，则截面圆半径，截面圆面积为，D正确. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 3．（21-22高二上·上海闵行·期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则球心到截面的距离为 .（球冠的表面积公式：，其中是球的半径，是球冠的高） 【答案】 【分析】设球心到截面的距离为，则可表示出两个球冠的高，由已知面积相等可求得距离． 【详解】设球心到截面的距离为，则， ，（舍去负值）． 故答案为：． 4．（22-23高二上·上海静安·期中）以下五个命题中，所有真命题的序号为 . ①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥； ②正棱柱的侧棱垂直于底面； ③球的表面积是其最大截面圆面积的2倍； ④圆锥的轴截面一定是等腰三角形； ⑤棱锥的各侧棱和底面所成的角相等. 【答案】②④ 【分析】根据几何体的结构特征及性质判断各项描述的真假即可. 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，正确； ③若球体半径为，则球的表面积为，而其最大截面圆面积为，故球表面积是其大圆面积的4倍，错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，正确； ⑤正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，错误. 所以真命题有②④. 故答案为：②④ 5．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设的外接圆半径为，，由条件列关系式确定的关系，由此可求的最大值，由此确定的最大值. 【详解】因为A、B、C是半径为1的球面上的三点，过点A、B、C作球的截面，设截面圆的圆心为，半径为，设的中点为，则，因为，所以，设，则，，又，所以，所以，因为球的半径为1，所以，所以当时，取最大值，最大值为，所以的最大值为， 故答案为：. 6．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为 . 【答案】1或17 【分析】根据球的两个平行截面的面积分别为和，分别求得两个平行截面的半径和球心到截面的距离，再分截面圆在球心的同侧和异侧求解. 【详解】解：因为球的两个平行截面的面积分别为和， 所以球的两个平行截面的半径分别为和6， 则球心到截面的距离为， 球心到截面的距离为， 当截面圆在球心的同侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 当截面圆在球心的异侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 ， 故答案为：1或17 7．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 . 【答案】. 【分析】利用球与正四棱柱的特征求轨迹长度即可. 【详解】 如图所示，以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱的表面交线为四段弧， 分别在平面上， 易知，， ， 所以交线长为. 故答案为： 8．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案. 【详解】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 题型03 与球有关的切、接问题 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 1．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】C 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 则三棱柱为直三棱柱， 又∵，则可将直三棱柱补成长方体， ∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 故球O的直径为 ∴球O的半径为. 故选：C.    2．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 只要该四面体外接球在正方体内部即可满足题意，该四面体的棱长的最大时外接球是正方体的内切球，由此计算即可． 【详解】设正四面体棱长为，外接球球心是，外接球半径为，如图，是底面三角形的外心，则，， 由得，解得， 该四面体可以在正方体内任意转动，由四面体外接球最大是正方体的内切球， 所以最大时，，， 故选：B． 3．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 【答案】 【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 【答案】 【分析】作出图形，利用和得到关于的方程组，求出的值，再由题意，判断两球相交形成的图形为圆面，利用余弦定理求出，求得圆面的半径，即得交线长. 【详解】 如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接, 则必过的中心，， 则又，联立解得. 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 如图，在中，，故， 所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为． 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【答案】 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 6．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）圆柱体积减去球的体积即可； （2）分别拿出垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切知识，得出，再求出每个小圆占整个空间的圆心角，进而得解. 【详解】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•长宁区校级期中）长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，，则球的表面积为　　 【分析】首项求出求的半径，进一步求出球的表面积． 【解答】解：长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，，则，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 2．（2023秋•崇明区校级期末）一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是　　． 【分析】由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积． 【解答】解：球的半径为，球的体积为 故答案为． 【点评】本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理． 3．（2023秋•浦东新区校级期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比　3　． 【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方，直径求出半径之比即可． 【解答】解：根据相似比的意义，两个球的表面积之比就是半径之比的平方，所以 所以 故答案为：3 【点评】本题是基础题，考查相似比的知识，面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 　　． 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可． 【解答】解：如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三 角形，，， 故 ， 设铁球的半径为，则，， 在中，， 设放入球后，球与水共占体积为， 则， 又，依题意有， 故， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了球的体积公式，属于中档题． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 　　． 【分析】根据勾股定理，找到球的半径，即可得其表面积． 【解答】解：设球心为，作出过球心的截面如图所示， 则，由截面圆的周长为， 则，解得， 所以球的半径为， 该球的表面积． 故答案为：． 【点评】本题考查球的问题，属于中档题． 6．（2023秋•奉贤区校级月考）在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，0，，，0，，，1，，，1，．则该四面体外接球的表面积是 　　． 【分析】由已知点的坐标求得四面体为正四面体，然后利用分割补形法求解． 【解答】解：由，0，，，0，，，1，，，1，， 得，，， ，，， ， 则四面体是棱长为的正四面体，把该四面体放入棱长为1的正方体中， 则四面体的外接球与正方体的外接球相同，外接球半径为， 则该四面体外接球的表面积是． 故答案为：． 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法的应用，是中档题． 7．（2023秋•奉贤区校级月考）已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为 　　． 【分析】首先由表面积的比得到半径的比，再由体积比是半径比的立方得到所求． 【解答】解：两个球的表面积之比是， 两个球的半径之比是， 两个球的体积之比， 故答案为：． 【点评】本题考查了球的表面积、体积与半径的关系，两个球的表面积之比为半径比的平方，体积之比是半径比的立方，是中档题． 8．（2023秋•松江区校级期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，，若，则　　． 【分析】根据给定条件，求出球半径，平面截球所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答． 【解答】解：球半径为，由，得， 平面截球所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心到平面的距离， 而球心在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，点为弦中点，如图， 依题意，，，则，，弦， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解，属中档题． 9．（2023秋•徐汇区校级期中）水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 　　． 【分析】以3个小球球心和与桌面的切点为顶点作三棱柱，结合图形分析可解． 【解答】解：如图所示，设3个球心分别为，，，3个球分别与水平桌面相切于，，三点， 假设半球形的容器与球相切于点，此时半球形容器内壁的半径最小， 记最小半径设为，易知是边长为4的正三角形， 记中点为，半球形容器的球心为的中心， 则． 则． 故答案为：． 【点评】本题考查内切球问题，化归转化思想，属中档题． 10．（2023秋•浦东新区校级期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，，若，则　　． 【分析】根据给定条件，求出球半径，平面截球所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答． 【解答】解：球半径为，由，得， 平面截球所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心到平面的距离， 而球心在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，点为弦中点，如图， 依题意，，，，弦， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解，属中档题． 11．（2023秋•奉贤区期中）有一个空心钢球，质量为，测得外直径为，则它的内直径是 　4.5　（钢的密度为，精确到． 【分析】直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果． 【解答】解：设钢球的内半径为， 所以， 解得． 故内直径为． 故答案为：4.5． 【点评】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 12．（2023•杨浦区校级开学）如图，正方形中，，分别是，的中点，沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为．若四面体外接球的表面积为，则正方形的边长为 　　． 【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积． 【解答】解：依题意，折叠后的四面体如图1所示： 设正方形边长为，外接球半径为，则，解得； 则四面体中，底面，且，，， 把四面体补充成长方体，如图2所示： 则四面体的外接球也是长方体的外接球，所以， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•长宁区校级期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4，由球的截面圆性质建立关于的方程并解出，用球的体积公式即可算出该球的体积． 【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆， 则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于， 而圆的半径为4，由球的截面圆性质，得， 解出， 根据球的体积公式，该球的体积． 故选：． 【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题． 14．（2023秋•青浦区校级期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意求出球的半径，进而求解结论． 【解答】解：设球心为，半径为， 画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，， ， 则，解得． 故球的直径为． 故选：． 【点评】本题主要考查球的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 15．（2023秋•杨浦区校级期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为　　（容器壁的厚度忽略不计） A． B． C． D． 【分析】由题意，求出球形容器的半径的最小值，即可求出该球形容器的表面积的最小值． 【解答】解：由题意，外接球的直径是长方体的体对角线的长度时， 球形容器的半径取得最小值， 最小值为， 所以该球形容器的表面积的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．（2023秋•徐汇区校级期中）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，，，则球的半径为　　 A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【分析】首先利用已知条件求出球心的位置，进一步求出球的半径． 【解答】解：在三棱柱的6个顶点都在球的球面上，如图所示： 取的中点，连接、、，根据，，，， 故，根据对称性，所以点为外接球的球心； 故三棱柱的外接球的半径为． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：三棱柱和球的关系，球的半径的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 三．解答题（共5小题） 17．（2022秋•浦东新区校级期中）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并称为世界三大数学家．他的一个重要数学成就是“圆柱容球”定理：即在带盖子的圆柱形容器（容器的厚度忽略不计）里放一个球，该球与圆柱形容器的两个底面和侧面都相切，则球的体积是圆柱形容器的容积的，并且球的表面积也是圆柱形容器的表面积的．求该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比． 【分析】先阅读题意，然后结合空间几何体的体积的求法求解即可． 【解答】解：设圆柱形容器里的球的半径为， 则圆柱形容器的底面半径为，圆柱形容器的高， 则圆柱形容器的外接球的半径， 则圆柱形容器的容积为，它的外接球的体积为， 则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为． 【点评】本题考查了空间几何体的体积的求法，属基础题． 18．（2022秋•闵行区校级期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，． （1）求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； （2）求该“阳马” 的外接球的表面积． 【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积； （2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解． 【解答】解：（1）证明：因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”， 体积； （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，． 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为． 【点评】本题考查了几何体的外接球表面积的计算，考查空间几何体的体积的计算，属于中档题． 19．（2023秋•徐汇区校级期中）在长方体中． （1）已知、分别为棱、的中点（如图，做出过点，，的平面与长方体的截面．保留作图痕迹，不必说明理由； （2）如图2，已知，，，过点且与直线平行的平面将长方体分成两部分．现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值． 【分析】（1）运用基本事实3：两面有一个公共点，则必有一条过该点的交线，基本事实3是做截面问题的基础； （2）用的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值． 【解答】解：（1）①延长交延长线于点； ②连接与交于点，并延长交延长线于点； ③连接交于点； ④分别连接线段，，，，，则五边形及其内部（图中阴影部分）即为所求截面． （2） 如图所示， 平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，但是若在平面上运动， 两部分几何体都是细长形状，放入的两个小球由于棱长限制，易知要使两球半径和的最大，需在平面上运动． 延长与交于点，作于点， 设，圆对应的半径为， 根据三角形内切圆的性质， 在△中，，，， 则， 又当与重合时，取得最大值，由内切圆等面积法求得，则 设圆对应的半径为，同理可得， 又，解得． 故，， 设，则，， 由对勾函数性质易知，函数单减， 则，即最大值为． 故两个球的半径之和的最大值为． 【点评】本题考查截面问题，考查球的综合问题，考查构造函数思想以及数形结合思想，借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，再通过单调性解决最值问题，属于中等题． 20．（2022秋•静安区校级期中）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为． （1）求球冠所在球的半径（结果用、表示）； （2）已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积． 【分析】（1）直接利用勾股定理的应用求出结果； （2）利用球冠的表面积公式和球的表面积公式的应用求出结果． 【解答】解：（1）如图所示： 依题意：设垂直于球冠的底面，显然，，， 利用在△中，， 整理得：， 解得． （2）由于球冠的底面圆的周长为， 所以， 球冠的表面积为， 且， 所以， 由， 即， 解得． 所以， 球的表面积为， 所以，． 【点评】本题考查的知识要点：球冠的表面积和球的表面积公式，勾股定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 21．（2022秋•嘉定区校级期中）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是，圆柱筒长． （1）这种“浮球”的体积是多少（结果精确到？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？ 【分析】（1）根据圆柱筒的直径，可得半球的半径，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小； （2）由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积，进而得到2500个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量． 【解答】解：（1）该“浮球”的圆柱筒直径， 半球的直径也是，可得半径， 两个半球的体积之和为（2分） 而（2分） 该“浮球”的体积是：（4分） （2）根据题意，上下两个半球的表面积是 （6分） 而“浮球”的圆柱筒侧面积为：（8分） 个“浮球”的表面积为 因此，2500个“浮球”的表面积的和为（10分） 每平方米需要涂胶100克， 总共需要胶的质量为：（克（12分） 答：这种浮球的体积约为；供需胶克．（13分） 【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/5 14:25:47；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 球（6个知识点+3种题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养； 2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养. 1.了解并掌握球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点) 3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点) 知识点01.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【即学即练1】(1)（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 (2)（24-25高二上·上海·课前预习）球 如图，将圆心为O的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做 ，记作 ．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做 ．点O到球面上任意一点的距离都 ，点O叫做 ，原半圆的半径和直径分别叫做球的 和 ．    （3）（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 知识点02.球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 【即学即练2】（21-22高一·全国·课后作业）球的对称性 所有经过 的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的 ． 知识点03.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【即学即练3】(1)（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． （2）（24-25高二·上海·课堂例题）球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 知识点04.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 【即学即练4】（24-25高二·上海·课堂例题）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 知识点05.球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【即学即练5】（1）（2023秋•浦东新区校级期中）已知球的表面积为，则它的体积为 　　． （2）（2022秋•闵行区校级期末）如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为　　 A． B． C． D． （3）．（2023秋•浦东新区期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 　　． 知识点06.球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【即学即练6】（1）（2023秋•长宁区校级期末）若一个球的体积是，则这个球的表面积是 　 　． （2）（2023秋•浦东新区校级期末）若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 　 　． （3）．（2023秋•浦东新区期末）现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为 　 　平方毫米．（数值近似到 题型01 球的表面积与体积 【解题策略】 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方． 1．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 2．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知三个球的半径满足，且它们的表面积分别为，体积分别为，则 . 3．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 4．（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 5．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 6．（2023高二上·上海·专题练习）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且，，求球面面积与球的体积. 题型02 球的截面问题 1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理． 1．（22-23高二上·上海嘉定·期中）下列说法中正确的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．若球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为 2．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22高二上·上海闵行·期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则球心到截面的距离为 .（球冠的表面积公式：，其中是球的半径，是球冠的高） 4．（22-23高二上·上海静安·期中）以下五个命题中，所有真命题的序号为 . ①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥； ②正棱柱的侧棱垂直于底面； ③球的表面积是其最大截面圆面积的2倍； ④圆锥的轴截面一定是等腰三角形； ⑤棱锥的各侧棱和底面所成的角相等. 5．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为 . 6．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为 . 7．（23-24高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为 . 8．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 题型03 与球有关的切、接问题 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 1．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 5．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    6．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•长宁区校级期中）长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，，则球的表面积为　　 2．（2023秋•崇明区校级期末）一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是　　． 3．（2023秋•浦东新区校级期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比　　． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 　　． 5．（2023秋•徐汇区校级期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 　　． 6．（2023秋•奉贤区校级月考）在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，0，，，0，，，1，，，1，．则该四面体外接球的表面积是 　　． 7．（2023秋•奉贤区校级月考）已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为 　　． 8．（2023秋•松江区校级期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，，若，则　　． 9．（2023秋•徐汇区校级期中）水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 　　． 10．（2023秋•浦东新区校级期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，，若，则　　． 11．（2023秋•奉贤区期中）有一个空心钢球，质量为，测得外直径为，则它的内直径是 　　（钢的密度为，精确到． 12．（2023•杨浦区校级开学）如图，正方形中，，分别是，的中点，沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为．若四面体外接球的表面积为，则正方形的边长为 　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•长宁区校级期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•青浦区校级期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2023秋•杨浦区校级期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为　　（容器壁的厚度忽略不计） A． B． C． D． 16．（2023秋•徐汇区校级期中）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，，，则球的半径为　　 A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 三．解答题（共5小题） 17．（2022秋•浦东新区校级期中）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并称为世界三大数学家．他的一个重要数学成就是“圆柱容球”定理：即在带盖子的圆柱形容器（容器的厚度忽略不计）里放一个球，该球与圆柱形容器的两个底面和侧面都相切，则球的体积是圆柱形容器的容积的，并且球的表面积也是圆柱形容器的表面积的．求该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比． 18．（2022秋•闵行区校级期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，． （1）求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； （2）求该“阳马” 的外接球的表面积． 19．（2023秋•徐汇区校级期中）在长方体中． （1）已知、分别为棱、的中点（如图，做出过点，，的平面与长方体的截面．保留作图痕迹，不必说明理由； （2）如图2，已知，，，过点且与直线平行的平面将长方体分成两部分．现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值． 20．（2022秋•静安区校级期中）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为． （1）求球冠所在球的半径（结果用、表示）； （2）已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积． 21．（2022秋•嘉定区校级期中）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是，圆柱筒长． （1）这种“浮球”的体积是多少（结果精确到？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$