精品解析：湖北省十堰市郧阳区郧阳科技学校2024届高三下学期5月月考数学试卷

湖北省十堰市郧阳区郧阳科技学校 2023-2024学年高三下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 3. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个非零向量，满足 ，则 在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设分别是离心率为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 二、多选题 9. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是一个对称中心 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则 11. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与EF所成的角为30° B. 直线与平面AEF平行 C. 若正方体棱长为1，三棱锥的体积是 D. 点和B到平面AEF的距离之比是3∶1 三、填空题 12. 已知是方程的两个实数根，则的最大值为________. 13. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为2，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为______． 14. 椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式， （2）求数列前项和为． 16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 17. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：． （3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳区郧阳科技学校 2023-2024学年高三下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义，列关于m的方程，解方程即可求复数z，然后根据虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 当时，，不符合题意，舍去；所以，即， 所以复数的虚部为4， 故选：C. 2. 命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为真命题，再参变分离求解即可． 【详解】由题意，p为假命题，故为真命题，故﹐ 故， 又当时，，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是 故选：A． 3. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用条件概率公式，结合列举法求解即可. 【详解】不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个， 孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5种情况， 所以，， 所以． 故选：A. 4. 已知两个非零向量，满足 ，则 在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意，，解得， 所以 在上的投影向量为. 故选：. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，，又， ，所以. 故选：B 6. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 7. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 8. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，， 代入直线方程得， 即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 二、多选题 9. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 10. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是的一个对称中心 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，令，，解得，，所以其对称中心为，所以不是其对称中心，A选项错误； B选项：令，，解得，，即函数的单调递增区间为，，又，，B选项正确； C选项：由，向右平移可得，C选项正确； D选项：，即， 设，则， 即函数与函数在上有两个交点， 做出函数图像，如图所示， 所以可得，解得，D选项错误； 故选：BC. 11. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与EF所成的角为30° B. 直线与平面AEF平行 C. 若正方体棱长为1，三棱锥的体积是 D. 点和B到平面AEF的距离之比是3∶1 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据平行关系得到直线与EF所成的角即为，根据几何关系求出直线与EF所成的角为；B选项，建立空间直角坐标系，得到平面AEF的法向量，得到直线与法向量垂直，从而得到B正确；C选项，证明出线面垂直，求出，利用等体积法求出三棱锥的体积；D选项，在B选项基础上，得到平面法向量，利用点到平面距离公式得到结论. 【详解】A选项，因为，所以直线与EF所成的角即为， 又E，F分别为BC，的中点，故，所以， 所以直线与EF所成的角为，A错误； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方形棱长为，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， ，由于， 故，直线与平面AEF平行，B正确； C选项，连接，，其中相交于点，则， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 若正方体棱长为1，则， 矩形的面积为， 三角形的面积为四边形的面积的一半，故三角形的面积为， 点到平面的距离为， 因为为的中点，所以点到平面的距离为， 三棱锥的体积等于，C正确； D选项，设正方形棱长为，由B选项得平面AEF的法向量为， 则点平面AEF的距离为， 点平面AEF的距离为， 故点和B到平面AEF的距离之比是3∶1，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知是方程的两个实数根，则的最大值为________. 【答案】18 【解析】 【分析】利用方程有两实数根得到，再利用韦达定理把目标式表示为二次函数，利用二次函数的性质求解单调性，得到最值即可. 【详解】由已知得方程有两实数根，得到，即， 解得，由韦达定理得，， 又， 由二次函数性质得在单调递减， ∴当时，有最大值，最大值为18. 故答案为：18 13. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为2，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题根据已知条件得为轴截面时，最大，再根据球心在上，由此列方程或者根据正弦定理可求得外接球的半径，即可求出外接球表面积. 【详解】如图所示，因为， 所以当为轴截面时，最大， 因为的面积最大值为， 则，所以， 即圆锥的轴截面为等边三角形. 解法一：因为圆锥的母线长为2，所以在中， ， 设球O的半径为R，则， 在中，， 即，解得， 解法二：因为为的外心，所以外接球直径，即， 所以外接球表面积． 故答案为：． 14. 椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，分别求出直线，的方程，再由角平分线的性质，得到，结合的取值范围即可得的取值范围； 【详解】 设，则． 又，， 所以直线，的方程分别为， ． 由点到两直线的距离相等得，， 所以． 因为，， 所以，所以， 因此． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求数列，的通项公式， （2）求数列的前项和为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据构造法可得数列的通项公式，再根据退一相减法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得数列前项和. 【小问1详解】 ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； 【小问2详解】 由（1）得 ， ， 作差可得， . 16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望. （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【小问3详解】 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 17. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：． （3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）48 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）过作交于，证平面得，由平面得，可证平面，即得； （3）过作交于,证平面，作交于，连接，证即为二面角的平面角，由题设，通过两组三角形相似求出即得. 【小问1详解】 如图，连接． 因为分别为的中点，所以为的中位线，则． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 如图，过作交于． 因平面平面，平面平面，平面，故平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，所以． 因为，所以平面， 又平面，所以． 【小问3详解】 如图3，过作交于，过作交于，连接． 因平面，平面,则, 因平面,故得平面. 因平面,则． 因为，平面,所以平面. 又平面，则，则即为二面角的平面角， 依题意，． 设，则．因为，所以． 由，得，即，则． 又由，得，即，解得． 因,则的面积为， 故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题. 解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角. 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 19. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 【答案】（1） （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）当时，只需分别求出即可得解； （2）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （3）利用分析法，转化要证明：当时，，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 当，， ， 因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 的定义域为，则， 令,得 当在上单调递减， 当在上单调递增， ， 若,则,即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设， 要证,即证， 因为,即证， 又因为,故只需证， 即证， 即证当时，有成立， 下面证明时，， 设， 则 ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上, ，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是将问题转换为：当时，，利用导数即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $