2024年天津市九年级各区模拟数学分类汇编-25题二次函数综合压轴

2024年天津市九年级各区模拟数学分类汇总-25题二次函数综合压轴 一、解答题 1．（2024年天津市中考数学试题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 2．（2023年天津市中考数学真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 3．（2022年天津市中考数学真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 4．（天津市2021年中考数学真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 5．（天津市2020年中考数学试题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 6．（2024年天津市河西区九年级中考一模数学试题）已知点P是直线上的点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)若点P的横坐标为． ①当直线轴，求A，B两点的坐标； ②当时，求A，B两点的坐标； (2)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立． 7．（2024年天津市天津市滨海新区中考一模数学试题）已知抛物线（，为常数，且），与轴交于点，两点，与轴相交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线对称轴上一点，点的纵坐标为，若，求抛物线的解析式： (3)当时，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作直线垂直于轴，垂足为，为直线上一动点，为线段上一动点，当的最小值为时，求的值． 8．（2024年天津市天津市武清区等5地一模数学试题）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 9．（2024年天津市部分区中考一模数学试题）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点 为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 10．（2024年天津市西青区中考一模数学试题）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 11．（2024年天津市河北区中考一模数学试题）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，若C点坐标为，对称轴为 (1)求抛物线顶点P和点A的坐标； (2)点D为y轴上一点，连接，，若将沿所在直线翻折，点B的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求D点坐标； (3)抛物线上点M在直线上方，过M作的垂线交线段于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为Q，求的最小值． 12．（2024年天津市河东区中考一模数学试题）已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②连接并延长交的延长线于点，求的度数； (2)若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值． 13．（2024年天津市南开区中考一模数学试题）抛物线与y轴交于点且过点，其中，连接． (1)当时，求抛物线解析式和其顶点的坐标； (2)当时，若点M为抛物线上位于直线上方的一点，过点M作直线的垂线，垂足为N．求的最大值和此时点M的坐标； (3)已知点，点，若点P在线段上，且，连接，，当的最小值为时，直接写出此时b的值和点P的坐标． 14．（2024年天津市和平区中考一模数学试题）已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为． (1)求点和点坐标； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 15．（2024年天津市津南区天津市咸水沽第四中学中考一模数学试题）综合与探究：如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，且，连接，． (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 16．（2024年天津市红桥区中考一模数学试题）已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P的坐标． 17．（2024年天津市河西区中考二模数学试题）已知抛物线（为常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接． 当点的坐标为，且时，求的值； 当的最小值是时，求的值． 18．（2024年天津市滨海新区中考二模数学试题）已知抛物线（，，为常数，），对称轴为直线，与轴交于点和点，与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，过点作交直线于点，若，求点坐标； (3)点是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线平移，点的对应点为，过点作轴于点，在平移的过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2024年天津市部分区中考二模数学试题）已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为． (1)求a，c的值及抛物线顶点坐标； (2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点P的坐标； ②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 20．（2024年天津市红桥区中考二模数学试题）已知抛物线（，为常数，）经过点和点，与轴相交于点，为抛物线上横坐标为的点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，过点作轴的垂线与相交于点，若，求点的坐标； (3)为线段的中点，当时，求点的坐标． 21．（天津市河东区2024年中考二模数学试题）已知抛物线（a，b，c为常数）． (1)若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； (2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 22．（2024年天津市南开区中考二模数学试题）已知抛物线（其中a，b，c为常数，，）与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且点A坐标为．点在抛物线上，连接，过抛物线的顶点E作直线，交抛物线于点P，设点P的横坐标为m． (1)若时，求抛物线的解析式及点E的坐标； (2)若，求a，m的值； (3)过点P作轴交直线于点Q，连接，恰有轴，求a，m的值（直接写出结果即可）． 23．（2024年天津市河北区中考二模试题）已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F． (1)若 ； ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标； (2)若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标． 24．（2024年天津市西青区中考二模数学试题）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左边），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点B，点D的坐标； (2)连接，点P是抛物线上一点（点P与点均不重合），当时，求点P的坐标； (3)已知点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点Q是抛物线上点D至点M之间的一个动点（点Q与点D，点M均不重合），其横坐标为t，过点M作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l交于点N，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H，求式子的值． 25．（2024年天津市和平区中考二模数学试题）已知抛物线（为常数，）的顶点为，与轴相交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴相交于点．直线是常数，且）与抛物线相交于点，与相交于点． (1)若 ①求点和点的坐标； ②若抛物线的对称轴与相交于点，当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，垂足为，当直线经过点，且，求抛物线的解析式． 26．（2024年天津市第七中学中考三模数学试题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D是点C关于抛物线对称轴的对称点．过A，D两点的直线与y轴交于点E． (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．线段PM与直线AD交于点N，当MN=2PN时，求点P的坐标； (3)若点Q是y轴上的点，且满足∠ADQ=45°，求点Q的坐标． 27．（2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题）已知抛物线(为常数，)与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴相交于点． (1)若点的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，求的值； (3)若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，当的最小值为17时，求的值． 28．（2024年天津市和平区中考三模数学试题）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过坐标原点，顶点P的坐标为，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线解析式和点A的坐标； (2)抛物线上有一点D，过点D作直线的垂线，垂足为点E，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l；（，为常数，）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段相交于点H，K，求的值． 29．（2024年红桥区九年级中考三模数学试卷）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PB⊥x轴于点M，交抛物线于点B,记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP, （I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长； （II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值； （III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标． 试卷第14页，共15页 试卷第13页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 2．(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 4．（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为 【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案 （Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案； （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案． 【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线的顶点坐标为； （Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为： 当时， ∴抛物线的顶点D的坐标为； 过点D作轴于点G 在中，，， ∴ 在中，，， ∴． ∵，即， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为或． （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得． 作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为 当满足条件的点M落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点H 在中，，， ∴． 又，即． 解得：，（舍） ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴直线的解析式为． 当时，． ∴， ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解． 5．（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是． 【分析】（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标； （2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点. 过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标； ②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值. 【详解】解：（1）当，时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点， ．解得． 抛物线的解析式为． ， 抛物线的顶点坐标为． （2）①∵抛物线经过点和，， ， ，即． ，． 抛物线的解析式为． 根据题意，得点，点． 过点A作于点H． 由点，得点． 在Rt中，，， ． ， ．解得． 此时，点，点，有． 点F在y轴上， 在Rt中，． 点F的坐标为或． ②由N是EF的中点，得． 根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上． 由点，点，得，． 在中，． 当，即时，满足条件的点N落在线段MC上， MN的最小值为，解得； 当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上， MN的最小值为，解得． 当m的值为或时，MN的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．． 6．(1)①点A的坐标为，点B的坐标为 ②点A的坐标为，点B的坐标为 (2)详见解析 【分析】（1）①当直线轴时，得到点，的纵坐标为2．即可求解； ②当时，得到．即可求解； （2）由，得，结合图象性质以及建立一元二次方程，并运用判别式进行列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：点是直线上的点，其横坐标为， ． ， ①当直线轴时， 直线经过点交抛物线 于，两点， 点，的纵坐标为2． 则， 解得：， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为； ②当时， 分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，，    则， 则． 设点、， ， 整理得：． 同理，，有， ， 即， 解得：或（舍去）， 则，． 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，， 则，    由，得． 设点，点，点， 有， ． 同理，， ， ， 整理得关于的一元二次方程， 其中， 无论为何值时，关于的方程总有两个不相等的实数解， 即对于直线上任意给定的一点，在抛物线上都存在点，使成立． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，可得，进而可得，即可求得顶点坐标； （2）代入，得，可得抛物线的对称轴为直线，，，由对称性可知，点的坐标为，得，，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，则，．过作，垂足为，与直线相交于点，此时取得最小值，即，在解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， ，得． 抛物线的解析式为． ， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线与轴交于点， ，得． 抛物线的解析式为． 可得抛物线的对称轴为直线，，． 由对称性可知，点的坐标为． ，， 因为，有 解得，（舍）． 抛物线的解析式为． （3）点，点， 得直线的解析式为． 设直线与抛物线的对称轴相交于点，则． 作点关于直线的对称点，则， ． 过作，垂足为，与直线相交于点， 此时取得最小值，即． 在中，，， 由，得． 在中，，有． ． 解得． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 8．(1)①，，；②的最小值 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短； （1）①求得解析式为，再求顶点坐标及与x轴交点坐标即可； ②先求出点坐标，再根据垂线段最短求出的最小值即可； （2）在上取一点D，使，作关于的对称点，交轴于，交于，连接，，可证明，得到，当在上时，最小，根据最小值得到，再求出，由对称求出，再在中根据求出的值，最后把代入上求出的值． 【详解】（1）①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点为， 令，解得， ∵抛物线与轴交于点，（点在点左侧）， ∴，； ②令，得， ∴， ∴ 当点为直线与抛物线的交点时，直线过点且平行于轴， ∴点纵坐标为， 令，解得， ∴， ∴ ∵当时，值最小， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即的最小值； （2）在上取一点D，使， ∵，， ∴， ∴ ∵直线过点且平行于轴， ∴， ∵， ∴， ∴, 作关于的对称点，交轴于，交于，连接，, ∴, ∴当在上时，最小， ∵的最小值等于， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∵作关于的对称点， ∴， ∴， 在中， ∴ 解得或（舍去）； ∵在上， ∴， ∴，解得． 9．(1)①，； ② (2)， 【分析】（1）①由抛物线的表达式可确定点的坐标；令，所得的值可确定点，的坐标； ②当时，的值最小，即可求解； （2）证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解∶①∵，， ∴抛物线解析式为 ， ∴点， 当时， ， 解得：，， ∵点在点左侧， ∴，； ②∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点，点， 令， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ， 解得：， ∴直线解析式为， 过点作轴交轴于点，与交于点， 将代入，得：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵直线过点且平行于轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）∵抛物线， 当时，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图， 作， 使，，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时， 有最小值，最小值为线段的长， ∴ ， ∵∵直线过点且平行于轴，，， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：或 （负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∵抛物线过，， ∴， ∴，． 【点睛】本题是二次函数综合运用，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，垂线段最短，三角形三边关系等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造全等三角形是解题的关键． 10．(1)①，；②，最大值是 (2) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 11．(1)， (2)点的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）把点的坐标代入，结果对称轴公式建立方程组求出二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式求顶点坐标，令，解一元二次方程求与轴交点的坐标； （2）分两种情况：点在轴正半轴上或点在轴负半轴上，利用直角三角形的性质求解即可； （3）先求直线、和的解析式，联立求出点的坐标，再求的最大值，最后求的最小值． 【详解】（1）将，对称轴代入， 得 解得， ∴， 顶点，即， 令，得，解得，， ∴，； （2）如图，当点在轴正半轴上时，连接， 沿所在直线翻折得到， ，对称抽与轴交于点，有， 在中，， 有，则， 在中，， ∴点的坐标为； 同理，当点在轴负半轴上时，点的坐标为； 点的坐标为或 （3）由，，得：， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 即的解析式为：，同理的解析式为：， 点在抛物线上且在直线(即)上方，设横坐标为， 有，, ，得直线的解析式为：， 交于，联立， 得，则，有 即当时，有最大值， 即当时，有最小值． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，二次函数的解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，二次函数的最值，属于常见的中考试题，解题的关键是构建二次函数求最值． 12．(1)①；；② (2) 【分析】（1）①把代入函数解析式，再求解A，D的坐标即可；②先求解点的坐标为，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，求解，结合，可得，再利用锐角三角函数可得答案； （2）先求解，可得抛物线的解析式为，设，其中．可得顶点的坐标为．过点作于点，连接，证明，求解， 可得，过点作轴于点，与直线交于点，可得点，点，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①，， 抛物线的解析式为， ， 当时，， 解得， 点在点的左侧， ，； ②∵， ∴， ，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 同理，由点，可得直线的解析式为， 令，解得， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）点在抛物线上，其中， ，得， 抛物线的解析式为， ，其中． 对称轴为直线，顶点的坐标为． 过点作于点，连接， 则，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 解得，（不符合题意的根舍去） ， 过点作轴于点，与直线交于点， 同理可得：直线为：， 则点，点， ∴，， 同理可得：， ， ， 解得．（不符合题意的根舍去） 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解函数的解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．(1)， (2)点M坐标为时，有最大值 (3)，点P的坐标为 【分析】（1）当时，求出点B坐标，将点A和B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式； （2）当时，写出抛物线解析式，再将点代入解析式求出点B的坐标，根据点A和点B的坐标求出直线的解析式，设直线与x轴的交点为F，利用锐角三角函数可求出，过点M作轴与直线交于点E，利用铅锤法可求出的最大值，根据，求出的最大值，进而求出点M的坐标； （3）根据题中点A，Q，B，D的坐标特点易知轴，，，作关于对称的线段，在上截取，根据对称性和平行的性质有，易证，从而，结合图形易知当点在同一直线上时，最小，即最小，此时根据两点距离公式写出，根据的最小值为，求出此时的m，进而求出点B和的坐标，将点B代入抛物线解析式，即可求出b的值，再利用点B和的坐标求出直线解析式，将点代入求出n，从而求出，作于H，易求点P的横坐标，将点P的横坐标代入直线的解析式，求出纵坐标，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：当时，点B坐标为， 将点和代入得到： ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：当时，抛物线解析式为， 将点代入得， 解得或， ， ， ， 设直线为， 将代入得， 解得， 直线解析式为， 如图，直线与x轴的交点为， ， ， 过点M作轴与直线交于点E， ， 设点，则点， ， 当时，， ， 此时点M的纵坐标=， 点M坐标为； （3）解： 点和点，点和点， 轴，，， 如图，作关于对称的线段，在上截取， 由（2）得， 根据对称性和平行的性质有， ， ， 由图可知当点在同一直线上时，最小，即最小， 此时点， ， 解得（舍负）， 此时点，点，即点和点， 将点B代入抛物线解析式，得到， ， 设直线解析式为，将点代入，得到， 解得， 直线解析式为， 将点代入得到， ， ， 作于H，则， ， 点P的横坐标为， 将代入直线解析式中， 得到， 点P的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数和一次函数的图象和性质，二次函数的线段问题，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式等，解题关键是作出相应的辅助线，数形结合进行分析． 14．(1)、 (2) (3)是一个定值，此定值为，理由见解析 【分析】（1）由题意，设抛物线解析式为，利用待定系数法确定函数关系式，令求出点坐标，令求出点坐标； （2）先利用待定系数法确定直线：，设，求出坐标，根据两点之间距离公式，结合二次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）由待定系数法确定抛物线：，设，且，得出坐标，再由两点之间距离公式求出，代值求即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线：的顶点为， 设抛物线解析式为， 抛物线：与x轴相交于点， ，解得， 抛物线：， 令，则，解得，即或， ， 令，则，即； （2）解：如图所示： 由（1）知、，设直线：，则 ，解得， 直线：， 设，则， 、， ， ∵ ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：是一个定值，此定值为，理由如下： 抛物线：（是常数，）经过点， ，解得，即抛物线：， 由（1）知抛物线：， 设，且，则， ， ，， ，即在点运动过程中的比值是一个定值，此定值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线图象与性质、待定系数法确定函数关系式、两点之间距离公式等知识，根据题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． 15．(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标； （3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点． 【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且， ∴ 将，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，    设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线AC的解析式为 设点P的横坐标为 则，， ∴ ∵，∴，解得， ∴； （3），， 补充求解过程如下： 设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线， 将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：      由平移的性质可知，， ∴的值最小就是最小值， 显然点在直线上运用， 作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，    ∵点C关于直线对称的对称的点是点， ∴， ∴， 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： 直线的解析式是： 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是 又∵， ∴平移前的抛物线的坐标是 ∴新抛物线的顶点坐标为即 故答案是：，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）求出，根据即可求出答案； （3）设，求出由得到，则． 得到．求出的解析式为联立得到解得 (舍去) 或 即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解∶ ∵ 点在抛物线上， ， 解得 ， ∴ 该抛物线的解析式为； （2）由得顶点 ， 如图， 过点D作轴， 垂足为E． 当时，， 可得点C的坐标为． ∴，    ； （3）如图， 过点C作， 交于点F， 过点 F作轴， 垂足为G， 设， ∵， ∴． ∴， 由 ， ， 又， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴ 直线，    即 ， 解得 (舍去) 或 ， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键． 17．(1) (2)； 【分析】（）把代入函数解析式，再转化成顶点式即可求解； （）求出，根据点在轴负半轴，可得，进而得，再根据可得，解方程即可求解； 由点为的中点得点的运动轨迹为直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，中点坐标公式，勾股定理，轴对称的性质，三角形的三边性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 在中，当时，，， ∵点在轴负半轴， ∴，即， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，点在轴负半轴上， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵，即， ∴， 解得或， 又∵， ∴； 由知点，，点， ∵点是轴上一点，点为的中点， ∴随着点的运动，点的运动轨迹为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为， 由对称的性质可知，点的坐标为， ∵点在轴负半轴上， ∴， 在中，， 即， 解得或， ∵， ∴． 18．(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（）求出点坐标，得到点的值，再根据对称轴为直线，经过点列出方程组即可求解； （）分别求出直线的解析式，画出图象，再求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，利用相似三角形的性质求出，即可得到点的横坐标，进而即可求解； （）求出顶点的坐标，进而求出直线的解析式，过点作于，则，可知当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为，据此即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 又∵抛物线与轴有两个交点， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点和点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 根据题意，画图象如下： ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标为； （3）解：存在的坐标为时，为等腰三角形． ∵点是抛物线的顶点， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移，点的对应点为， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作于，则， 当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴当的坐标为时，为等腰三角形． 19．(1)，，顶点坐标为 (2)① ② 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得a、c的值，再将解析式化成顶点式，即可求解； （2）①由垂线段最短得，当时，最短，连接，过点P作于E，先根据，求得，再证明，得，即，代入即可求解； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G，则点P在移动，点Q在上移，根据，所以作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值，连接，可求得，再证明，得，即可求出的长． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：①∵当最短时，∴，连接，过点P作于E，如图， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得， ∴； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点P在移动， ∴点Q在上移， ∵ ∴作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值， 连接， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点A关于的对称点， ∴，， ∴ ∴ ∵点C关于x轴对称点为D， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴当的值最小时， 的长为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，利用轴对称求最短距离问题．本题属二次函数综合题目，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 20．(1) (2) (3)的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，线段周长问题，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出直线的解析式为，，点，，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论；① 当点 在 上方时，②当点在下方时，设与轴交于点，分别求解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 解得. 该抛物线的解析式为：； （2）当时，， 点；可得 设直线的解析式为，将点，代入， 解得： 直线的解析式为， 设，点， ， 解得 点的坐标为 （3）为的中点，， ① 当点 在 上方时， 由，解得 点的坐标为或 ②当点在下方时，设与轴交于点， ， 设，则， 在中， 解得 设直线的解析式为 可得直线 的解析式为 解得：或， 当时，，当时， 的坐标为或 综上所述：点的坐标为或或或 21．(1)①②当面积最大时，此时 (2) 【分析】（1）①由待定系数法求出抛物线解析式，再另即可求出抛物线与x轴的交点坐标；②连接并长，过P作轴，交丁点Q，设，求出的函数解析式，则，根据两点之间的距离公式求出，再根据，即可得出，利用二次函数的性质可得出当时，面积有最大值，进一步即可求出点P的坐标． （2）先用待定系数法求出抛物线解析式以及点C的坐标，过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，则，进一步可得出，由选旋转的性质可得出，结合已知条件可得出，利用证明，由全等的性质可得出，由角平分线的性质定理可得出，即，再用待定系数法求出，进一步可求出的坐标，设，根据，列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵是抛物线的对称轴，且 ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴时， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． ②连接并长，过P作轴，交丁点Q， 设， ∵点， ∴的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，面积有最大值， 此时． （2）∵抛物线过点，得， 又∵， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴ 过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G， 则， ∴， 设与x轴交于K，由旋转可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，两点之间的距离公式等等知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 22．(1)抛物线解析式为，点E的坐标为； (2)，m的值为； (3)， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是： （1）把A、D的坐标代入求解即可； （2）把A、D的坐标代入，求出a，b的值，然后利用待定系数法求出直线解析式，进而求出直线解析式，然后联立方程组求解即可； （3）把D的坐标代入，求出，把A的坐标代入，求出，则，，，求出顶点，利用待定系数法求出解析式为，结合，可求出解析式为，联立方程组，求出，，结合轴，求出Q的横坐标为，求出，根据轴，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，，， ∴， 解得， ∴ ∴顶点E的坐标为； （2）解：当时，，，， ∴， 解得或或， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴； （3）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 化简得， ∵， ∴， 又， ∴，， ∴，，， ∵， ∴顶点， 设解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∵轴， ∴， 代入，得， 解得， 令，则， 解得，， ∴， ∵轴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 23．(1)①，；② (2) 【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了解直角三角形、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用解直角三角形成为解题的关键． （1）①直接运用待定系数法求解即可；②设，其中，由轴于点M，在中，得出，求得直线 的解析式为，由于点H，轴于点E，交于点F，则，在中，，根据列方程求解即可； （2）根据解析式得出顶点坐标，同（）可得，在中，，根据列出方程可得得，根据由，点F在直线：上，得出，进而可得即可． 【详解】（1）解：①将，代入可得，即，其顶点D为， 令，得，即， 令，得，解得，即，． ②点P在第一象限，设，其中，由轴于点M， 由①顶点，，，, 有，即 ∵点N在y轴正半轴，， 故在中，，即， 设直线 的解析式为：，代入， 可得：，解得：， 即直线 的解析式为， 由于点H，轴于点E，交于点F， ∴，, 在中，, ∵点P在第一象限， ∴，即，解得 （舍去），即． （2）解：由，点P与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴，对称轴直线，， ∴顶点坐标为即， 同（1）可得，在中，， ∴， ∵， ∴，解得：; 在中，， 在中，， 由，点F在直线：上， 则，，解得：， ∵， ∴顶点D的坐标为． 24．(1)，B的坐标是，D的坐标是 (2)点P坐标为 (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出解析式，当，求出B的坐标，把解析式换成顶点式求出D的坐标即可； （2）过点B作x轴垂线，交于点E，证出，得到点E坐标，采用待定系数法求出直线解析式，即可求出交点； （3）先求出直线解析式，从而得到，当时，得到，由点D，点的坐标，求得直线解析式，当时,求出，代入即可． 【详解】（1）解：把点，点坐标代入， ， 解得． 抛物线的解析式为 当时，有， 解得，． 根据题意知点B的坐标是． ． 顶点D的坐标是． （2）解：由点，点，点， 知，， 故． ， ． 过点B作x轴垂线，交于点E， 则． ． 又，， 有． ． 点E坐标为． 设直线解析式为． 有， 解得， 直线解析式为． 根据题意知点P是直线与抛物线的交点， 有． 解得（不合题意，舍去），， 则点P坐标为． （3）解：如图， 根据题意可知点M坐标为，点N的坐标是， 点Q坐标为， 且， 设直线解析式为 解得，即， 当时，可得， 故． 由点D的坐标是， 点坐标为， 设直线解析式为 解得 即． 当时，可得, 故． ． 【点睛】本题主要为二次函数的综合，考查待定系数法，与轴交点，顶点，全等三角形判定和性质，二次函数的图像和性质等知识，采用数形结合的方法和待定系数法是解题的关键． 25．(1)①点的坐标为，点点的坐标为；②的值为2 (2)抛物线的解析式为 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可求出点P的坐标，再求出当时，x的值即可求出点B的坐标；②先求出直线的解析式为，再求出点的坐标为，点的坐标为．则,其中且.再求出，则，解方程即可得到答案； （2）如图，抛物线的对称轴与轴的交点为，过点作，垂足为.先利用待定系数法求出．则；证明，得到．再证明四边形是平行四边形，推出，即．则．可得．进而得到．则，．求出．即．则，解方程得到点的坐标为．再求出．解直角三角形得到．则．可得，解方程即可求出抛物线的解析式为． 【详解】（1）解：①由，得拋物线的解析式为． ， 点的坐标为． 当时，．解得． 点点的坐标为． ②当时，． 点点的坐标为． 设直线BC的解析式为， 有 解得 直线的解析式为． 直线与拋物线相交于点，与相交于点， 点的坐标为，点的坐标为． ,其中且. 抛物线的对称轴与相交于点, 点的坐标为. ．即，解得（舍），． 的值为2． （2）解：如图，抛物线的对称轴与轴的交点为，过点作，垂足为. 点在抛物线上，其中， ．得． 抛物线的解析式为． ∴点，其中且． 顶点的坐标为． ． 当时，． 点点的坐标为． ， ∴在中，． 轴，轴， ． 又∵． 四边形是平行四边形． ． ∴，即． ． ∴在中，． ． 又轴， ． 中，， ∴． 轴， ∴在中，． ．即． ， ．即， 解得（舍）. 点的坐标为． ． 轴，轴， ． ． 在中，． ． ． ∴， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形等等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出，再计算求解即可； （2）先求出点的坐标为，再求出点的坐标为，最后利用待定系数法和函数图象求解即可； （3）分类讨论，利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可． 【详解】（1）解：令，得， ∴解得，， ∴，． （2）解：∵点为抛物线与轴的交点， ∴点的坐标为， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线， ∴点的坐标为． 设直线的详解式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的详解式为：． 如图，设点的坐标为（其中）， 则，． 当时， 可得， 解得：，（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为． （3）∵直线与轴交于点， ∴点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为． 在中，， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，，， ∴， ∴． ∴点的坐标为． ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为， 在中，， 在中，， ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 由①可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理，勾股定理，以及锐角三角函数的知识．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 27．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出答案； （2）将代入抛物线解析式得，求出，设点，根据抛物线的对称性得出，求出的长，再由建立方程，求解即可； （3）由（2）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线解析式为，，求出，，作点关于对称轴的对称点，则，，将点向右平移个单位长度得到，则，，证明四边形是平行四边形，得出，从而得到，连接，当点、、在同一直线上时，的值最小，即的值最小，为，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点为； （2）解：将代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，即， 设点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线解析式为，， ∵点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点， ∴，， ∴，， 作点关于对称轴的对称点，则， ∴，即， 将点向右平移个单位长度得到，则，， ∵为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴设，则，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连接，当点、、在同一直线上时，的值最小，即的值最小，为， ∵的最小值为17， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 28．(1)， (2)， (3) 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一元二次方程等知识，综合性较强，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入，即可求出点A的坐标； （2）过点D作轴， 垂足为C， 与直线相交于点 B.设点D 的坐标为 则点B 的坐标为.求出求出与坐标轴的交点为.得到.则得到解得即可得到答案； （3）过点 H作， 过点 K作，求出点G的坐标为进一步得到根据有两个相等的实数根解得 求出直线l的解析式为，直线解析式为.得到进一步求出待定系数法求出直线解析式为.求出得到利用即可求出答案． 【详解】（1）∵抛物线顶点P的坐标为， ∵抛物线经过坐标原点， ∴把代入得到 解得. ∴抛物线解析式为 当时， 可得 解得 ∴点A的坐标为. （2）如图， 过点D作轴， 垂足为C， 与直线相交于点 B. ∵抛物线上有一点D， 设点D 的坐标为 则点B 的坐标为. 当时， 可得， 解得 当时， ∴直线与坐标轴的交点为. ∴ ∵， ∴. ∵轴，轴， ∴ ∴. 在中， 则 解得 ∴点D的坐标为或. （3）如图， 过点 H作， 过点 K作. ∵点 G是点 关于点的对称点， ∴点G的坐标为 ∴. ∵， ∴在中， ∵点O和点A关于对称轴对称， ∵直线l: (k， b为常数， 与抛物线只有一个公共点， 有两个相等的实数根. ∴. 即 解得 ∴直线l的解析式为， 设直线解析式为： 把代入， 解得 ∴直线解析式为. 解得 ∵在中， 设直线解析式为 把代入， 解得 ∴直线解析式为. 解得 ∵在中， 29．（I）4；（II） （III）（2，0）或（0，4） 【分析】（I）当m=3时，抛物线解析式为y=-x2+6x，解方程-x2+6x=0得A（6，0），利用对称性得到C（5，5），从而得到BC的长； （II）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），利用对称性得到C（2m-1，2m-1），再根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m2，然后解方程即可； （III）如图，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，则根据P点坐标得到2m-2=m，解得m=2，再计算出ME=1得到此时E点坐标；作PH⊥y轴于H，如图，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m-2，利用P（1，m）得到m-1=1，解得m=2，然后计算出HE′得到E′点坐标． 【详解】解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x， 当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0）， 抛物线的对称轴为直线x=3， ∵P（1，3）， ∴B（1，5）， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C ∴C（5，5）， ∴BC=5﹣1=4； （II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0）， B（1，2m﹣1）， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m， ∴C（2m﹣1，2m﹣1）， ∵PC⊥PA， ∴PC2+AC2=PA2， ∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2， 整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=， 即m的值为； （III）如图， ∵PE⊥PC，PE=PC， ∴△PME≌△CBP， ∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1， 而P（1，m） ∴2m﹣2=m，解得m=2， ∴ME=m﹣1=1， ∴E（2，0）； 作PH⊥y轴于H，如图， 易得△PHE′≌△PBC， ∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2， 而P（1，m） ∴m﹣1=1，解得m=2， ∴HE′=2m﹣2=2， ∴E′（0，4）； 综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式． 答案第8页，共85页 答案第9页，共85页 学科网（北京）股份有限公司 $$