第13章 轴对称 测试卷2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称测试卷 时间:100分钟 满分:150分 班级: 姓名: 一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分) 1.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是( ) 2.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B,C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( ) A.(40,-a) B.(-40,a) C.(-40,-a) D.(a,-40) 3.如图,在 ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则 ABD的周长为( ) A.25 B.22 C.19 D.18 4.有下列命题:其中错误的是( ) A.等腰三角形两腰上的高相等 B.等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C.有一个外角等于120 的等腰三角形是等边三角形 D.等边三角形的高线、中线、角平分线都相等 5.如图,在 ABC中,AB=AC,∠A=40 ,BE是 ABC的角平分线,CD是 ABC的高,BE,CD相交于点F,则∠CFE的度数是( ) A.40 B.45 C.55 D.60 6.如图,等边 ABC中,BD是AC边上的高,DE⊥AB交AB于点E,若BE=3,则 ABC的边长为( ) A.3 B.4 C.5 D.无法确定 7.在如图所示的三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(3)(4) 8.如图,在 ABC中,BF,CF是角平分线,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,DE经过点F.结论:① BDF和 CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③ ADE的周长=AB+AC;④BF=CF.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 9.如图,正方形ABCD的面积为9, ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( ) A.3 B.6 C.9 D.4 10.如图,在5 5的正方形网格中,点A,B均在格点上.要在格点上确定一点C,连结AC和BC,使 ABC是等腰三角形,则网格中满足条件的点C的个数是( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 11.仔细观察图中所示的图案,并按规律在横线上画出合适的图形. 12.如图,在 ABC中,AB=AC,∠A=36 ,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 . 13.如图,∠B=∠C=36 ,∠ADE=∠AED=72 ,则图中的等腰三角形的个数为 个. 14.在 ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50 ,则∠B等于 度. 15.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠ABC=30 ,在AB上截取AA′=AC,连接A′C,作B′C⊥A′C,且B′C=BC,连接BB′,A′B′.若BC=2,则BB′的长度为 . 16.如图,已知∠AOB=30 ,OC平分∠AOB,在OA上有一点M,OM=10 cm,现要在OC,OA上分别找点Q,N,使QM+QN最小,则其最小值为 . 三、解答题(共80分) 17.(8分)将一副直角三角板如图摆放,等腰直角板ABC的斜边BC与含30 角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同,且斜边BC与BE在同一直线上,AC与BD交于点O,连接CD. 求证: CDO是等腰三角形. 18.(8分)如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水. (1)若要使水厂到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使水厂到A,B村的水管最省料,则应选择在哪建厂? 19.(8分)如图,上午8时,一艘轮船从A处出发,以15海里/时的速度向正北航行,在A处测得灯塔C在北偏西30 ,10时到达B处,测得灯塔C在北偏西60 ,若船继续向正北方向航行,求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处. 20.(8分)已知 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)画出 ABC关于y轴对称的 A1B1C1,并写出B1的坐标; (2)将 ABC向右平移8个单位,画出平移后的 A2B2C2,并写出B2的坐标; (3)认真观察所作的图形, A1B1C1与 A2B2C2有怎样的位置关系? 21.(10分)如图,已知 ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. (1)求证:OB=OC; (2)若∠ABC=50 ,求∠BOC的度数. 22.(12分)如图,已知等腰 ABC中,AB=AC,∠BAC=120 ,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC. (1)求∠APO+∠DCO的度数; (2)求证:点P在OC的垂直平分线上. 23.(12分)问题:如图,在 ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作 AEC,使EA=EC.若∠BAE=90 ,∠B=45 ,求∠DAC的度数. 答案:∠DAC=45 . 思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45 ”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由. (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45 ”去掉,再将“∠BAE=90 ”改为“∠BAE=n ”,其余条件不变,求∠DAC的度数. 24.(14分)如图,在等边 ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E(点E不与点A重合). (1)若∠CAP=20 . ①求∠AEB= ; ②连接CE,直接写出AE,BE,CE之间的数量关系. (2)若∠CAP= (0 < <120 ). ①∠AEB的度数是否发生变化,若发生变化,请求出∠AEB度数; ②AE,BE,CE之间的数量关系是否发生变化,并证明你的结论. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第十三章　轴对称测试卷 　时间：100分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______ 一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分) 1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(C) 2．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为(B) A．(40，－a) B．(－40，a) C．(－40，－a) D．(a，－40) 　　 3．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为(C) A．25 B．22 C．19 D．18 4．有下列命题：其中错误的是(B) A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C．有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形 D．等边三角形的高线、中线、角平分线都相等 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BE是△ABC的角平分线，CD是△ABC的高，BE，CD相交于点F，则∠CFE的度数是(C) A．40° B．45° C．55° D．60° 6．如图，等边△ABC中，BD是AC边上的高，DE⊥AB交AB于点E，若BE＝3，则△ABC的边长为(B) A．3 B．4 C．5 D．无法确定 7．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D) A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4) 8．如图，在△ABC中，BF，CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，DE经过点F.结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长＝AB＋AC；④BF＝CF.其中正确的是(C) A.①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 　　　　　　 9．如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为(A) A．3 B．6 C．9 D．4 10．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是(D) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分) 11．仔细观察图中所示的图案，并按规律在横线上画出合适的图形． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是__18°__． 13．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为__6__个． 14．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于__70或20__度． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，在AB上截取AA′＝AC，连接A′C，作B′C⊥A′C，且B′C＝BC，连接BB′，A′B′.若BC＝2，则BB′的长度为__2__． 16．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为__5__cm__． 三、解答题(共80分) 17．(8分)将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD. 求证：△CDO是等腰三角形． 证明：∵在△BDC中，BC＝DB，∴∠BDC＝∠BCD. ∵∠DBE＝30°，∴∠BDC＝∠BCD＝75°. ∵∠ACB＝45°，∴∠DOC＝30°＋45°＝75°， ∴∠DOC＝∠BDC，∴△CDO是等腰三角形． 18．(8分)如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水． (1)若要使水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使水厂到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？ 解：(1)连接AB作AB的垂直平分线交EF于点M，点M即为所求； (2)作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点C，点C即为所求． 19．(8分)如图，上午8时，一艘轮船从A处出发，以15海里/时的速度向正北航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°，10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处． 解：根据题意，得AB＝15×2＝30.∵∠DBC＝60°，∠A＝30°，∴∠BCA＝∠DBC－∠A＝30°，∠BCD＝90°－∠DBC＝30°，∴∠BCA＝∠A，∴CB＝AB＝30.∵∠BCD＝90°－∠DBC＝30°，∴DB＝CB＝15，∴15÷15＝1(小时). 答：轮船11时到达灯塔C的正东方向D处． 20．(8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标； (2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2的坐标； (3)认真观察所作的图形，△A1B1C1与△A2B2C2有怎样的位置关系？ 解：(1)画图略，B1的坐标为：(3，2)； (2)画图略，B2的坐标为：(5，2)； (3)△A1B1C1与△A2B2C2两个图形关于直线x＝4对称． 21．(10分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O. (1)求证：OB＝OC； (2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数． 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°，∠A＋∠ACE＝90°，∴∠ABD＝∠ACE.又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE，即∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC； (2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠A＝80°.∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠BOC＝∠EOD＝360°－∠A－∠ADB－∠AEC＝100°. 22．(12分)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC. (1)求∠APO＋∠DCO的度数； (2)求证：点P在OC的垂直平分线上． 　　 解：(1)如图1，连接OB.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABC＝30°； (2)∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°. ∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，∴OP＝PC，∴点P在OC的垂直平分线上． 23．(12分)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数． 答案：∠DAC＝45°. 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由． (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数． 解：(1)∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C.① ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°－∠AED＝90°－2∠C，∴∠BAD＝(180°－∠B)＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C，∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.② 由①②得∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°； (2)设∠ABC＝m°，则∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°，∠AEB＝180°－n°－m°，∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋m°.∵EA＝EC，∴∠CAE＝AEB＝90°－n°－m°，∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°. 24．(14分)如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E(点E不与点A重合). (1)若∠CAP＝20°. ①求∠AEB＝________°； ②连接CE，直接写出AE，BE，CE之间的数量关系． (2)若∠CAP＝α(0°＜α＜120°). ①∠AEB的度数是否发生变化，若发生变化，请求出∠AEB度数； ②AE，BE，CE之间的数量关系是否发生变化，并证明你的结论． 　　 解：(1)①60. ②结论：CE＋AE＝BE.理由：在BE上取点M使ME＝AE.∵EM＝EA，∠AEM＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC＝60°，∴∠MAB＝∠CAE.∵AB＝AC，∴△BAM≌△CAE(SAS)，∴BM＝EC，∴CE＋AE＝BM＋EM＝BE； (2)①结论：当0＜α＜60°时，∠AEB的度数不变，∠AEB＝60°.理由：在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°，由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD.∵∠EAC＝∠DAE＝α，∵AD＝AC＝AB，∴∠D＝(180°－∠BAC－2α)＝60°－α，∴∠AEB＝60°－α＋α＝60°.当60°＜α＜120°时，同法可得∠AEB＝120°. ②结论：当0＜α＜60°时，CE＋AE＝BE.理由：在BE上取点M使ME＝AE.∵EM＝EA，∠AEM＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC＝60°，∴∠MAB＝∠CAE.∵AB＝AC，∴△BAM≌△CAE(SAS)，∴BM＝EC，∴CE＋AE＝BM＋EM＝BE.结论：当60°＜α＜120°时，同法可得CE＝AE＋BE. 学科网（北京）股份有限公司 $$