2.7 角的和与差　课件 -2024—2025学年冀教版数学七年级上册

2024年秋季 数学 冀教版（2024） 七年级上册 第 二章 几何图形的初步认识 2.7 角的和与差 学习目标 1.了解角的和与差的意义，并会进行角的和差运算. 2.理解角平分线的意义及数量关系，并能解答相关问题. 3.了解两角互余和互补的意义. 学习重难点 理解角平分线的意义及数量关系，并能解答相关问题. 会进行相关计算. 难点 重点 回顾复习 角的比较 度量法 叠合法 尺规作图 角大小的比较 创设情境 我们知道，线段的和与差是在原线段的基础上延长或减短. 类似地，角的和与差呢？ 新知引入 知识点1 角的和、差 如图，在∠AOB 的内部画射线OC.那么，∠AOB，∠AOC ，∠COB之间有如下关系： ∠AOB 是∠AOC 与∠COB 的和，记作∠AOB=∠AOC + ∠COB. ∠AOC是∠AOB与∠COB 的差，记作 ∠AOC = ∠AOB -∠COB. 类似地，∠AOB-∠AOC=____________. B C O A 这就是用两个角的和与差表示第三个角. ∠COB 例题示范 例1 如图所示： (1) ∠AOC是哪两个角的和？ (2) ∠AOB是哪两个角的差？ (3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD 的大小关系如何？ B A O C D ∠AOC =∠AOB +∠BOC. ∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD. ∠AOC =∠BOD. 新知引入 知识点2 角平分线 有一种特殊的情况：如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线. A B O P 如图，如果∠AOP=∠BOP，那么射线OP是∠AOB的平分线. 反之，如果射线OP是∠AOB的平分线，那么∠AOP=∠BOP. 角平分线的判定方法 当 OD 在∠AOB 的内部且满足下列情况之一时， 就可以判定 OD 是∠AOB的平分线： ① ∠AOD=∠BOD； ② ∠AOD= ∠AOB； ③ ∠BOD= ∠AOB； ④ ∠AOB=2∠AOD； ⑤ ∠AOB=2∠BOD. 例2 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论： ①AD平分∠BAF； ②AF平分∠DAC； ③AE平分∠DAF； ④AF平分∠BAC； ⑤AE平分∠BAC中，正确的有(　　) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 导引：由角的平分线的几何表示可知：当∠1＝∠2时，AE平分∠DAF；再由∠3＝∠4可得∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，因此AE平分∠BAC. C 知识点3 角的计算 新知引入 试一试：如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？ 75° 15° 例3 如图，已知∠1＝103°24' 28"，∠2＝30°54"，求∠1+∠2和 ∠1-∠2的度数. 解：∠1+∠2=103°24' 28"+30°54" =133°25' 22". ∠1-∠2=103°24' 28"-30°54" =73°23'34". 注意： (1)两个角的和、差仍然是一个角；角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. (2)在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分与分、秒与秒相加时 逢60要进1，相减时若被减数的分(秒)不足，则要 借1°(1')当作60'(60"). 新知引入 知识点4 余角、补角的概念及性质 已知∠和∠. 如果∠+∠=90°，那么我们就称∠与∠互为余角，简称互余.其中，∠（∠）叫作∠（∠）的余角. 如果∠+∠=180°，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.其中，∠（∠）叫作∠（∠）的补角. ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 85° 175° 58° 148° 45° 135° 13° 103° 27°37′ 117°37′ (90-x)° (180-x)° 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____. 90° 注意：1. 两个角互余或互补是两个角之间的数量关系,与它们的位置无关，只与角的度数有关. 2. 若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角. 大家谈谈 如果∠1和∠2都是∠的余角，那么∠1和∠2相等吗？ 如果∠3和∠4都是∠的补角，那么∠3和∠4相等吗？ 归纳： 同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的补角相等. 例4 如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠BOC= 1/2(∠AOC+∠BOC)=90°.所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠AOD和∠BOE也互为余角. 1.如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE， 则下列结论中错误的是(　　) A．AD是∠BAC的平分线 B．CE是∠ACD的平分线 C．∠BCE＝ ∠ACB D．CE是∠ABC的平分线 随堂练习 D 2.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．若∠COB＝50°，∠DOC＝30°，则∠AOE等于(　　) A．130° B．160° C．170° D．180° B 3.在同一平面上,若∠BOA=62.7°,∠BOC=21°30',则∠AOC的度数是(　　) A.84.2°　　　　 B.41.2° C.84.2°或41.2°　　　　 D.74.2°或39.8° C 4. C 1.已知∠α=76°42',∠β=41°41'. 求:(1)∠β的余角的度数; (2)∠α与∠β的2倍的和. 拓展提升 2．将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是 (　　) A　　　　 B C　　　　 D A 3.如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数． 解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝4x°. 因为OD平分∠AOB， 所以∠BOD＝∠AOD. 所以4x－36＝x＋36.所以x＝24. 所以∠AOC＝24°，∠BOC＝96°. 所以∠AOB＝120°. 归纳小结 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线. 如果∠+∠=90°，那么我们就称∠与∠互为余角，简称互余.其中，∠（∠）叫作∠（∠）的余角. 如果∠+∠=180°，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.其中，∠（∠）叫作∠（∠）的补角. 同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的补角相等. 谢谢！同学们再见！ $$