专题01 三线八角-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型 1 ：三线八角 图示 特点 直线AB,CD被EF所截 结论 同位角:如∠2和∠6,∠3和∠7,∠1和∠5,∠4和∠8;内错角:如∠3和∠5,∠4和∠6;同旁内角:如∠3和∠6,∠4和∠5 1. 找模型 遇到“两条直线被第三条直线所截”，考虑“三线八角” 2. 用模型 “三线八角”问题可用于对同位角、内错角、同旁内角的识别或求个数或结合相关性质求角度 拓展方向：当两条被截线互相平行时 图示 特点 直线AB,CD 被EF所截,AB∥CD 结论 同位角相等:∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8; 内错角相等:∠3=∠5,∠4=∠6; 同旁内角互补:∠3+∠6=180°,∠4+∠5=180° (应用平行线的性质与判定) 巧学巧记：“F”型中找同位角，“Z”型中找内错角，“U”型中找同旁内角. 例1 如图，已知直线l₁与l₂被直线l₃所截，下列等式一定成立三线八角的是 ( ) A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠2+∠4=180° D. ∠1+∠4=180° 思路点拨：通过三线八角判断所给角的位置关系，要注意的是只有两直线平行时，才能满足同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 例2 如图,直线AB∥CD,∠G=80°,∠GHF=31°,则∠GEB的度数是 ( ) A. 59° B. 111° C. 121° D. 149° 思路点拨：题中已知角度不在 AB,CD,EF三条线所形成的三线八角中，而是△HFG 的两个内角，考虑三角形的内外角关系转换求解. 例3 如图,直线AB与CD相交于点 E,且∠BEC=80°,点 F 是直线CD 上一点.按以下步骤作图：①以点 E为圆心，任意长为半径作弧，分别交EC，EA于点P，Q，②以点F为圆心，以EP长为半径作弧，交CD于点M，③以点M为圆心，以PQ长为半径作弧，交步骤②中的弧于点 N，④过 N，F 两点作直线 GH. 则∠DFG的度数是 ( ) A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 思路点拨：根据尺规作图步骤可判断 AB与 GH 的位置关系，再由已知角度与所求角度不是同位角、内错角、同旁内角关系，可借助对顶角相等可进行角度转化 针对训练 1. 如图,AB∥CD,DE⊥AC,垂足为点E,若∠BAC=119°,则∠D的度数为 ( ) A. 18° B. 26° C. 29° D. 31 1. C 【解析】∵ AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠BAC=119°,∴ ∠ACD=61°,∵ DE⊥AC,∴∠D=90°-∠ACD=29°(三角形的内角和为180°). 2. 如图,l₁∥l₂,l₃∥l₄,则图中与∠1 互补的角有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. B 【解析】如解图,∵l₃∥l₄,∴ ∠1+∠2=180°.∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=180°.∵ l₁∥l₂,∴ ∠3=∠4,∴∠4+∠1=180°.∴ 与∠1互补的角有∠2、∠3、∠4,共3个. 3. ( 创新题型-跨学科试题)如图，∠AOB的一边 OA为平面镜,∠AOB=36°,在OB边上有一点 E，从点 E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠EDC 的度数是 ( ) A. 36° B. 72° C. 90° D. 108° 3. D 【解析】∵CD∥OB,∴∠ADC=∠AOB(两直线平行,同位角相等),∵∠ADC=∠EDO(反射角的余角等于入射角的余角)，∴∠EDO=∠AOB = ∠ADC = 36°,∴ ∠EDC = 180°-∠EDO-∠ADC=108°. 4. 如图,已知AB∥CD,连接BC.点E,F是直线AB 上不与A，B重合的两点，G是CD上一点,连接ED交BC于点N,连接FG交BC于点 M.若∠ENC+∠CMG=180°. (1)求证:∠2=∠3; (2)若∠A=∠1+60°,∠ACB=50°,求∠B的度数. 4. (1)证明:∵∠CMG=∠FMN,∠ENC+∠CMG=180°, ∴∠ENC+∠FMN=180°, ∴ED∥FG, ∴∠2=∠D, 又∵AB∥CD, ∴∠3=∠D, ∴∠2=∠3; (2)解:∵AB∥CD, ∴∠1=∠B,∠A+∠ACD=∠A+∠ACB+∠1=180°,又∵∠A=∠1+60°,∠ACB=50°, ∴∠1=35°, ∴∠B=∠1=35°. 5. (分创新题型-真实情境类试题)一个零件的形状如图,按规定,当∠A=∠C=∠E时,零件合格.检验工人陈师傅经过测量，他发现:AB∥DE∥CF,AD∥BC∥EF,∠CBD=60°,∠BDE=50°，他判定这个零件合格.请运用所学知识说明该零件合格的理由. 5.解：合格.理由如下： ∵AB∥DE,∠BDE=50°, ∴∠ABD=∠BDE=50°(两直线平行,内错角相等), ∵AB∥CF,∴∠ABD=∠BFC=50°, ∵∠CBD=60°, ∵AD∥BC,∠CBD=60°, ∴∠ADB=∠CBD=60°, ∵AD∥EF,∴∠ADB=∠DFE=60°, ∵∠BDE=50°, ∴∠A=∠C=∠E, ∴该零件合格. 课后练习 1. 如图，直线a，b被直线c所截，则下列结论正确的是( ) A. ∠1与∠2是内错角 B. ∠1与∠5是同旁内角 C. ∠1与∠3是同位角 D. ∠1与∠4是内错角 1. C 【解析】找模型：是否存在两条直线被第三条直线所截：直线a，b被直线c所截；两条直线是否平行：否.用模型：根据“三线八角”模型得:∠1与∠2是同旁内角,∠1 与∠5 是内错角，∠1与∠3是同位角，∴C 选项正确. 2. 如图,AB∥CD,直线EF交AB于点 G,交CD 于点H,GI平分∠AGH交CD于点I,则图中与∠1 相等的角有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 2. B 【解析】找模型：是否存在两条直线被第三条直线所截：AB，CD被EF所截；两条直线是否平行:AB∥CD. 用模型:∵ AB∥CD,∴∠AGI=∠1(两直线平行,内错角相等),∵GI平分∠AGH,∴∠AGI=∠HGI,∴图中与∠1 相等的角有∠AGI,∠IGH. 3. 如图,AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,若∠BAC=119°,则∠D的度数为 ( ) A. 19° B. 26° C. 29° D. 31° 3. C 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵∠BAC=119°,∴∠ACD=61°,∵ DE⊥AC,∴∠D=90°-∠ACD=29°. 4. 如图,∠AOB 的一边OA为平面镜,∠AOB=36°,在OB边上有一点 E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠EDC 的度数是 ( ) A. 36° B. 72° C. 90° D. 108° 4. D 【解析】∵CD∥OB,∴∠ADC=∠AOB=36°(两直线平行,同位角相等),∵∠ADC=∠EDO(反射角的余角等于入射角的余角)，∴∠EDO=36°,∴ ∠EDC= 180°-∠EDO-∠ADC=108°. 5. 如图①是横梁式自行车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中横梁 AB 和车轴 CD 都与地面 l 平行,车轴AE∥BC,若∠BCD=65°,∠BAC=60°,则∠EAC的度数为 . 5. 55° 【解析】∵CD∥AB,∴∠DCB=∠ABC=65°,∵ ∠BAC=60°,∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=55°,∵ AE∥BC,∴ ∠EAC=∠ACB=55°. 6. 如图①，已知直线AB 和直线AB 外一点 C.按以下步骤作图:①过点 C 作直线 CD 与直线 AB 交于点 E;②在直线AB上取一点 F(EF<EC),以点 E 为圆心，EF长为半径画弧，与直线CD交于点 G;③以点 C 为圆心,EF长为半径画弧，交直线CD于点H，以点 H为圆心，FG长为半径画弧，两弧交于点I；④过C，I 两点作直线 CI,得到图②,若∠GCI=110°,则∠GEF的度数为 . 6. 70° 【解析】由尺规作图的步骤可知:∠HCI=∠GEF,∴ AB∥CI,∴∠GEF+∠GCI=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠GEF=180°-∠GCI=70°. 7. 如图，点O，H在直线AB上,点E,F,G在直线CD上,连接OE,OF,OG,FH,OE⊥OG,OF⊥AB,∠OEF=∠FOG. (1)请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 求证:AB∥CD. 证明:∵OE⊥OG,OF⊥AB(已知),∴∠EOG=90°,∠FOA=90°,即∠EOF+ =90°,∠FOE+ =90°, ∴ = (等角转换), ∵∠OEF=∠FOG(已知), ∴∠OEF=∠EOA(等角转换), ∴ ∥CD( ); (2)当∠OFH:∠FHB=2:5时,请求出∠DFH 的度数. 7.解:(1)∠FOG,∠EOA,∠FOG,∠EOA,AB,内错角相等，两直线平行； (2)∵AB∥CD,∠FOB=90°, ∴ ∠OFH= 90°-∠DFH,∠FHB = 180°-∠DFH, ∵∠OFH:∠FHB=2:5, 解得∠DFH=30°, ∴∠DFH的度数为30°. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型 1 ：三线八角 图示 特点 直线AB,CD被EF所截 结论 同位角:如∠2和∠6,∠3和∠7,∠1和∠5,∠4和∠8;内错角:如∠3和∠5,∠4和∠6;同旁内角:如∠3和∠6,∠4和∠5 1. 找模型 遇到“两条直线被第三条直线所截”，考虑“三线八角” 2. 用模型 “三线八角”问题可用于对同位角、内错角、同旁内角的识别或求个数或结合相关性质求角度 拓展方向：当两条被截线互相平行时 图示 特点 直线AB,CD 被EF所截,AB∥CD 结论 同位角相等:∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8; 内错角相等:∠3=∠5,∠4=∠6; 同旁内角互补:∠3+∠6=180°,∠4+∠5=180° (应用平行线的性质与判定) 巧学巧记：“F”型中找同位角，“Z”型中找内错角，“U”型中找同旁内角. 例1 如图，已知直线l₁与l₂被直线l₃所截，下列等式一定成立三线八角的是 ( ) A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠2+∠4=180° D. ∠1+∠4=180° 思路点拨：通过三线八角判断所给角的位置关系，要注意的是只有两直线平行时，才能满足同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 例2 如图,直线AB∥CD,∠G=80°,∠GHF=31°,则∠GEB的度数是 ( ) A. 59° B. 111° C. 121° D. 149° 思路点拨：题中已知角度不在 AB,CD,EF三条线所形成的三线八角中，而是△HFG 的两个内角，考虑三角形的内外角关系转换求解. 例3 如图,直线AB与CD相交于点 E,且∠BEC=80°,点 F 是直线CD 上一点.按以下步骤作图：①以点 E为圆心，任意长为半径作弧，分别交EC，EA于点P，Q，②以点F为圆心，以EP长为半径作弧，交CD于点M，③以点M为圆心，以PQ长为半径作弧，交步骤②中的弧于点 N，④过 N，F 两点作直线 GH. 则∠DFG的度数是 ( ) A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 思路点拨：根据尺规作图步骤可判断 AB与 GH 的位置关系，再由已知角度与所求角度不是同位角、内错角、同旁内角关系，可借助对顶角相等可进行角度转化 针对训练 1. 如图,AB∥CD,DE⊥AC,垂足为点E,若∠BAC=119°,则∠D的度数为 ( ) A. 18° B. 26° C. 29° D. 31 2. 如图,l₁∥l₂,l₃∥l₄,则图中与∠1 互补的角有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. ( 创新题型-跨学科试题)如图，∠AOB的一边 OA为平面镜,∠AOB=36°,在OB边上有一点 E，从点 E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠EDC 的度数是 ( ) A. 36° B. 72° C. 90° D. 108° 4. 如图,已知AB∥CD,连接BC.点E,F是直线AB 上不与A，B重合的两点，G是CD上一点,连接ED交BC于点N,连接FG交BC于点 M.若∠ENC+∠CMG=180°. (1)求证:∠2=∠3; (2)若∠A=∠1+60°,∠ACB=50°,求∠B的度数. 5. (分创新题型-真实情境类试题)一个零件的形状如图,按规定,当∠A=∠C=∠E时,零件合格.检验工人陈师傅经过测量，他发现:AB∥DE∥CF,AD∥BC∥EF,∠CBD=60°,∠BDE=50°，他判定这个零件合格.请运用所学知识说明该零件合格的理由. 课后练习 1. 如图，直线a，b被直线c所截，则下列结论正确的是( ) A. ∠1与∠2是内错角 B. ∠1与∠5是同旁内角 C. ∠1与∠3是同位角 D. ∠1与∠4是内错角 2. 如图,AB∥CD,直线EF交AB于点 G,交CD 于点H,GI平分∠AGH交CD于点I,则图中与∠1 相等的角有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 3. 如图,AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,若∠BAC=119°,则∠D的度数为 ( ) A. 19° B. 26° C. 29° D. 31° 4. 如图,∠AOB 的一边OA为平面镜,∠AOB=36°,在OB边上有一点 E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠EDC 的度数是 ( ) A. 36° B. 72° C. 90° D. 108° 5. 如图①是横梁式自行车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中横梁 AB 和车轴 CD 都与地面 l 平行,车轴AE∥BC,若∠BCD=65°,∠BAC=60°,则∠EAC的度数为 . 6. 如图①，已知直线AB 和直线AB 外一点 C.按以下步骤作图:①过点 C 作直线 CD 与直线 AB 交于点 E;②在直线AB上取一点 F(EF<EC),以点 E 为圆心，EF长为半径画弧，与直线CD交于点 G;③以点 C 为圆心,EF长为半径画弧，交直线CD于点H，以点 H为圆心，FG长为半径画弧，两弧交于点I；④过C，I 两点作直线 CI,得到图②,若∠GCI=110°,则∠GEF的度数为 . 7. 如图，点O，H在直线AB上,点E,F,G在直线CD上,连接OE,OF,OG,FH,OE⊥OG,OF⊥AB,∠OEF=∠FOG. (1)请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 求证:AB∥CD. 证明:∵OE⊥OG,OF⊥AB(已知),∴∠EOG=90°,∠FOA=90°,即∠EOF+ =90°,∠FOE+ =90°, ∴ = (等角转换), ∵∠OEF=∠FOG(已知), ∴∠OEF=∠EOA(等角转换), ∴ ∥CD( ); (2)当∠OFH:∠FHB=2:5时,请求出∠DFH 的度数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$