精品解析：上海市青浦区教师进修学院附属中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

青教院附中2021学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B. 都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 2. 如果，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，那么边的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（ ）． A. ； B. ； C ； D. ． 6. 如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝4cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（ ） A 6cm B. 5cm C. 3cm D. 4cm 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____． 9. 已知向量和方向相反，长度为7，则用来表示为：______（为单位向量）． 10. 计算：2（﹣2）+3（+）＝_______． 11. 在中，与是锐角，，，那么______度． 12. 如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是______． 13. 如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是_____． 14. 如图所示，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为________m． 15. 如图，梯形中，，、相交于点O，如果，如果，那么______． 16. 在中，，，若点O是的重心，则______． 17 如图，，，，则______． 18. 矩形纸片，，，如果点E在边上，将纸片沿折叠，使点C落在点F处，连接，当是直角三角形时，那么的长为_______． 三、简答题（本大题共7小题，19到22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图：在中，点D、E分别是、的中点，设，． （1）用向量、分别表示下列向量：______，______； （2）在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果） 21. 已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 22. 已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： （1）的长； （2）余切值． 23. 如图，已知在中，点D为边的中点，点F在边上，点E在线段的延长线上，且，点M在线段上，且． 求证： （1）； （2）． 24. 如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D直线上，且D在第三象限，． （1）求证：求点D及直线解析式； （2）求的正弦值； （3）如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 25. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q. （1）求AG的长； （2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值； （3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青教院附中2021学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B. 都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键. 根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性. 【详解】解：A. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，没有明确对应边，不能判定两个三角形相似； B. 都有一个内角为80°的两个等腰三角形，不能得出两个三角形有两个角相等，不能判定两个三角形相似； C. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误; D. 如图， ∵两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形，即,为中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故本选项正确. 故选D 2. 如果，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，正确变形计算即可． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以A、B、D都正确，C错误， 故选C． 【点睛】本题考查了比例基本性质，掌握比例的性质，并准确进行变形是解题的关键． 3. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，关键是熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形对应边的比叫相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：两个相似三角形对应边之比是， 两个相似三角形的相似比为， 它们对应面积之比为． 故选：C． 4. 在中，，，，那么边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数定义可以求得，将代入即可求得． 【详解】解：如图，，，， 则， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，本题中明确三角函数的定义求得是解题的关键． 5. 如图点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项选出能推出，推出或的即可判断． 【详解】解： 、∵，，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断与相似，即不能推出，故本选项错误； 、 ， ， ，， 即不能推出，故本选项错误； 、由可知，不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 、∵， ， ， ， ， ，故本选项正确； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 6. 如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝4cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（ ） A. 6cm B. 5cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得出PN∥BC，可证明△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求x的值． 【详解】解：如图，AD与PN交于点I，则PN=x cm，AI=（4-x）（cm）， ∵四边形PQMN是正方形， ∴PNBC， ∴△APN∽△ABC， ∴， 即， 解得x=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，先由条件可得，再整体代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 8. 已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，代入数据即可得出的长． 【详解】解：是线段上的一点，且满足， ∴， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键． 9. 已知向量和方向相反，长度为7，则用来表示为：______（为单位向量）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性表示法，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．根据平面向量与单位向量方向相反，长度为7，即可得出结论． 【详解】解：∵向量和方向相反，长度为7， ∴． 故答案为： ． 10. 计算：2（﹣2）+3（+）＝_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则解答即可． 详解】解：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3）＝5﹣． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平面向量运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键． 11. 在中，与是锐角，，，那么______度． 【答案】75 【解析】 【分析】根据已知条件求出，，再根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：∵与是锐角，，，∴，， ∴． 故答案为：75． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键． 12. 如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．由平行得比例，求出的长即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 解得：， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G， ∴G是△ABC的重心， ∴， ∵GF∥BC， ∴＝， ∵DC＝BC， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系． 14. 如图所示，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为________m． 【答案】## 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2m， cos∠A=， ∴cos30°=， ∴AB=（m）． 故答案为：． 15. 如图，梯形中，，、相交于点O，如果，如果，那么______． 【答案】56 【解析】 【分析】根据，得到，从而得到，故，计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：56． 【点睛】本题考查了等高或同高的三角形面积之比等于对应底的比，熟练掌握性质是解题的关键． 16. 在中，，，若点O是的重心，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接并延长交于E，根据重心的定义可知，可证为等腰直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义进行求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于E， ∵点O是的重心， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质和三角形重心的知识点，解答本题的关键是掌握重心的定义和锐角特殊角的三角函数值． 17. 如图，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】证得，利用相似三角形的对应边成比例，求得的长，在直角三角形中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题的关键． 18. 矩形纸片，，，如果点E在边上，将纸片沿折叠，使点C落在点F处，连接，当是直角三角形时，那么的长为_______． 【答案】3或6 【解析】 【分析】分类讨论、，画出对应的图形即可求解． 【详解】解：如图，当时，而， ∴三点共线， ∵矩形纸片，，， ∴，，， 由对折可得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即， 当，则四边形，四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 综上：当是直角三角形时，那么的长为或； 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形与翻折问题，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，掌握翻折的性质是解题关键． 三、简答题（本大题共7小题，19到22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； 【详解】解： ． 20. 如图：在中，点D、E分别是、的中点，设，． （1）用向量、分别表示下列向量：______，______； （2）在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果） 【答案】（1），； （2）画图见解析 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． （1）首先利用平面向量三角形法则求得 ，，然后由点D、E分别是、的中点进一步求解即可 ； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量分别在、方向上分向量． 【小问1详解】 解：∵点D、E分别是、的中点，设，． ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作交于， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴向量，是向量分别在、方向上的分向量； 21. 已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： （1）的长； （2）的余切值． 【答案】（1）7； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，勾股定理的应用； （1）先求解，再求解，即可； （2）作，垂足为．求解，，可得，在中，利用余切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 在中，，， ∴，则， ， ． 【小问2详解】 解：作，垂足为． 是边上的中线，， ， ， ， ， 即在中，． 23. 如图，已知在中，点D为边的中点，点F在边上，点E在线段的延长线上，且，点M在线段上，且． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形证明、等腰三角形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键. （1）根据等腰三角形的性质及题干条件证即可求解； （2）连接，由（1）结论可证，结合，进而即可求解； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 24. 如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． （1）求证：求点D及直线解析式； （2）求的正弦值； （3）如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）求解，设，利用，可得，设直线解析式为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）过作，连接，求解直线解析式为，可得直线与轴的交点，利用，再进一步求解即可； （3）如图，证明，，分当，则，当，则，再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：直线与轴、轴交于点、， ，， 点与点关于直线轴对称， ， 点在直线上， 设， ， ， ∴或，经检验符合题意； ∵D在第三象限， ． 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为． 【小问2详解】 解：过作，连接， 同理可得：直线的解析式为， 当时，则， ∴直线与轴的交点， ， ， ， ∵，， ∴， 中，． 【小问3详解】 解：如图， 由，可得， 直线的表达式为， ， 即，， 当，则， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形时， ∴； 当，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， ． 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 25. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q. （1）求AG的长； （2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值； （3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域. 【答案】(1)AG=8；（2）；(3). 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB=，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长； （2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值； （3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域． 【详解】（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心, ∴，AD⊥BC. 在Rt△ADB中，∵,∴. ∵, ∴AB=15，BC=18. ∴AD="12." ∵G是△ABC的重心，∴. （2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°， 同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°, ∴∠MGD=∠B. ∴, 在Rt△MDG中,∵， ∴，∴ 在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴. ∵, 又∵, ∴, 又∵, ∴△QCM∽△QGA. ∴. （3）过点作,过点作,分别交直线于点E、F，则. ∵,∴,即, ∴ 同理可得:,即, ∴. ∵,,∴. ∴,即. ∴,. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$