广西“飞天”校际2024-2025学年高三上学期7月考试数学试题

2024年7月“飞天”高三年级考试 数学 姓名______ 考号______ 注意事项： 1.本杯即原飞机杯 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答案的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中只有一项符合题意. 1. 复数z满足：，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 能正确表示图中阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 3. ，是两个不共线的单位向量，，，，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（ ） A. 7 B. 8 C. 4 D. 6 5. 在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（ ） A B A B B A A. B. C. D. 6. 四面体中，其余各棱长均为，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题，至少有一个选项符合题意，本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知曲线：，，则（ ） A. 与有唯一交点 B. 与有唯一交点 C. 与联立恒得两组整数根 D. 与相交得到的弦，长恒为 10. 在集合中取连续k项作为一组数据，下列正确的是（ ） A. k为奇数时，平均数 B. k为奇数时，平均数 C. k为偶数时，方差不一定 D. k为偶数时，方差一定 11. 数列满足，，则下列正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 恒成立 D. 恒成立 三、填空题，本题共3小题，每小题5分. 12. 随机变量，则______. 13. 记双曲线的左右焦点分别为，分别过和坐标原点O作直线m，n，且，记到m，n的距离分别为，，则______，若n是C的渐近线，则当取最小值时，______. 14. 设定义域为R的函数对任意的实数a，b均有，且，若实数t使得恒成立，t的取值范围是______. 四、解答题，本题共5小题，请写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 在中，，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）当，时，求的面积. 16. 点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为. （1）求椭圆方程； （2）记的面积为，的面积为，求的最小值. 17. 已知，，，. （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围. 18. 在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，分别是，的中点，是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为.当平面时，当P在平面中时，到的距离为. （1）求直三棱柱的侧棱长； （2）当P到的距离为1时，求二面角的余弦值； （3）P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率. 19. 数列是正项递增数列，由数列中所有项构成集合A，它的任意一个子集记为，定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数，2个数，……n个数之和）. （1）若，写出，以及集合B； （2），将集合B中的元素分成n组，要求每组中最大项与最小项之比不超过2，证明一个符合题意的分组； （3），将集合B中的元素分成n组，要求与（2）相同，证明存在这个分组. 2024年7月“飞天”高三年级考试 数学 姓名______ 考号______ 注意事项： 1.本杯即原飞机杯 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答案的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中只有一项符合题意. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题，至少有一个选项符合题意，本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题，本题共3小题，每小题5分. 【12题答案】 【答案】0.34135 【13题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题，本题共5小题，请写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）最小值是1 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 当n为偶数时， 当为奇数时. 【19题答案】 【答案】（1）或或，， （2） 不难发现共有个数， 不妨让最大数与最小数之比， 可以分为，，，……，， 假设分为n组，这样最后一个数是第个， 只需证明， ， 令，只需， ，（其中是的导数）， 所以， 所以，即不必分至n组即可将个数全部分完， 在已经分好的组中再多分几组，均可满足题意， 仅一组中还可再分组，显然成立， 故可分至n组，故该分组符合题意； （3） 要证，其中，s是某些数之和， 只需证明， 假设，从而，使得， 所以， 所以， 故存在这样的分组. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $