精品解析：2024年河北省邯郸市邯郸冀南新区育华实验学校中考三模数学试题

2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学三模试卷 一、选择题（共38分，1-6每题3分，7-16每题2分） 1. 数轴上点表示，点表示1，则表示两点间的距离的算式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A. PQ为∠APB的平分线 B. PA=PB C. 点A、B到PQ的距离不相等 D. ∠APQ=∠BPQ 7. 一个小正方体的表面积为平方米，则每个面的面积用科学记数法表示为（ ） A 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 8. 如图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 10. 已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 已知，则按此规律推算结果一定能（ ） A. 被12整除 B. 被13整除 C. 被14整除 D. 被15整除 12. 自然数4，5，5，x，y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x，y中，的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 13. 将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ） A. B. C. D. 14. 在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ） A. I可行，II不可行 B. I不可行，II可行 C. I、II都可行 D. I、II都不可行 15. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 16. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（17题3分，18题每空2分，19题第一空3分，第二空1分，共11分） 17. 由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是_____________________． 18. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________． 19. 如图，在中，点，点，反比例函数图象经过点，反比例函数的图象与交于点，与折线交于点． （1）___________； （2）若夹在，之间的整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则的取值范围为_________． 三、解答题（共71分） 20. 已知n边形的内角和． （1）甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； （2）若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 21. 在计算题：“已知：，求”时，嘉淇把“”看成“”，得到的计算结果是． （1）求整式N； （2）判断的化简结果是否能为负数，并说明理由． 22. 如图，放在直角坐标系中的正方形的边长为4．现做如下试验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4，转动转盘两次，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘． （1）请你用画树状图或列表的方法，求M点落在正方形 面上（含内部与边界）的概率． （2）将正方形平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形 面上的概率为？ 若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由． 23. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 24. 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为 （结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接，． ①直接写出的度数． ②求点C到桌面的距离（结果保留根号）； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2﹣图3）过程中，圆心O移动距离． 25. 已知：如图1，抛物线与y轴交于点，顶点为点D．点A，B的坐标分别为，． （1）① ； ②请用含a的式子表示顶点D的坐标． （2）抛物线与线段有一个公共点时，求a的取值范围； （3）如图2，连接，，的面积是否发生变化，若不变请直接写出其面积；若变化，请说明理由． 26. 如图，矩形中，，，点E在折线上运动（点E不与点C，A重合），的中点为G，将绕点E顺时针旋转得到．设点E的运动路径长为x． （1）如图1，当点E与点B重合时，点F到直线的距离为 ； （2）如图2，当点F落在矩形的边（或边所在的直线）上时，求x的值； （3）过点F作，交延长线于点N（如图3），设的长为y，请直接写出y与x的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学三模试卷 一、选择题（共38分，1-6每题3分，7-16每题2分） 1. 数轴上点表示，点表示1，则表示两点间的距离的算式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】用数轴右边的点减去左边的点 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式和同底数幂除法法则进行判断即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 在同一平面内到直线的距离等于2的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离相等，直线上方与下方各有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线间的距离相等，分类讨论是解题的关键． 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．先利用平方差公式求出，再代入，计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 5. 如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，翻转后停止在M处时1在底面，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5， 按图所示方式翻转后停止在M处，1在底面，则6朝上时． 故选：D． 【点睛】本题是考查正方体的展开图，最好的办法是让学生动手操作一下，既可以解决问题，又锻炼了学生动手操作能力． 6. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A. PQ为∠APB的平分线 B. PA=PB C. 点A、B到PQ的距离不相等 D. ∠APQ=∠BPQ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据角平分线的作法进行解答即可． 解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线， ∴A，B，D正确； ∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB， ∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误． 故选C． 点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键． 7. 一个小正方体的表面积为平方米，则每个面的面积用科学记数法表示为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法表示规则()计算即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是熟悉科学记数法表示法则()． 8. 如图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键．根据题中主视图和左视图即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，该几何体的底层至少需要3个小正方体，上层至少需要2个小正方体， 所以至多还能拿走这样的小正方体3个． 故选：C． 9. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 10. 已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个不等于0的实数、满足， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键． 11. 已知，则按此规律推算的结果一定能（ ） A. 被12整除 B. 被13整除 C. 被14整除 D. 被15整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 12. 自然数4，5，5，x，y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x，y中，的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，据此解答即可． 【详解】解：∵唯一的众数是5，中位数为4， ∴x，y不相等且． ∴x、y的取值为0，1，2，3， ∴的最大值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了众数，中位数，熟练掌握众数，中位数的意义是解题的关键． 13. 将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，圆形纸片连续对折三次，其圆心角被平均分成8份，虚线①所对的圆弧长为整圆的，展开后得到的多边形是八边形，根据多边形的内角和公式解题即可． 【详解】将一个圆形纸片连续对折三次之后，形成的多边形是八边形，其内角和是 虚线①所对的圆弧长 故选：C． 【点睛】本题考查图形的折叠，其中涉及弧长公式、多边形的内角和公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14. 在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ） A. I可行，II不可行 B. I不可行，II可行 C. I、II都可行 D. I、II都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长交于，过作，而，，再利用平行线的性质可得答案，如图，延长交于，利用平行线的性质可得答案. 【详解】解：如图，延长交于，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴I可行， 如图，延长交于， ∵， ∴， ∴II可行， 故选C 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 15. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得． 【详解】、，且为边的中线， ，， 将沿边上的中线平移得到， ， ， 则，即， 解得或（舍）， 故选． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 16. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设，则，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4， ∴AB＝8，AC＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 当时，, 当时，． 且图像是二次函数的一部分 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 二、填空题（17题3分，18题每空2分，19题第一空3分，第二空1分，共11分） 17. 由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是_____________________． 【答案】a＜0 【解析】 【分析】不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变，不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，据此求解即可． 【详解】解：∵x＜y，ax＞ay， ∴a＜0． 故答案为：a＜0． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 18. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________． 【答案】78 【解析】 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解． 【详解】如图，连接BO并延长， ∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90， ∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO， ∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51， ∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)， ∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF， ∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C， 而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180， ∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180， ∴∠A+∠C=39， ∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78， 故答案为：78． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用． 19. 如图，在中，点，点，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，与折线交于点． （1）___________； （2）若夹在，之间的整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则的取值范围为_________． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质、点的平移、待定系数法确定函数关系式、的几何意义，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用点的平移得到，待定系数法确定函数关系式即可得到； （2）根据题意，作出图形，分析出边界整点坐标，代入解析式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，点， ∴将点向右平移3个单位长度得到点， 将点代入中，得； （2）中的整数点如图所示： 将点代入，得；将点代入，得； 若夹在，之间的整数点有7个（包括边界），则的取值范围为， 故答案为：（1）12；（2）． 三、解答题（共71分） 20. 已知n边形的内角和． （1）甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； （2）若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 【答案】（1）甲的说法对，边数n是4，乙的说法不对，理由见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，一元一次方程的应用： （1）根据多边形的内角和公式进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 答：甲同学说的边数n是4； 【小问2详解】 依题意有， 解得． 故x的值是3． 21. 在计算题：“已知：，求”时，嘉淇把“”看成“”，得到的计算结果是． （1）求整式N； （2）判断的化简结果是否能为负数，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将错就错利用M－2N=－x2+4x－4，即可求解； （2）根据（1）中求得的N，代入化简整理即可． 【小问1详解】 ∵M－2N=－x2+4x－4，M=3x2－4x+2 ∴N=； 【小问2详解】 解：不能为负数，理由为： ∵，， ∴2M－N=2(3x2－4x+2)－()=4 x2－4x+1=(2x－1)2≥0， ∴的结果不能是负数． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则，读懂题意，是解题的关键． 22. 如图，放在直角坐标系中的正方形的边长为4．现做如下试验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1，2，3，4，转动转盘两次，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘． （1）请你用画树状图或列表方法，求M点落在正方形 面上（含内部与边界）的概率． （2）将正方形平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形 面上的概率为？ 若存在，指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，答案不唯一，如先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 【解析】 【分析】（1）用列表法，把点M的坐标的16种情况都表示出来，可知中落在正方形面上（含内部与边界）的有，共4种，即可求得M点落在正方形面上（含内部与边界）的概率； （2）若使点M落在正方形面上的概率为，则只有4个点不在正方形内部，并且点M的所有情况都是在第1象限，所以可以通过向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度使点M落在正方形面上的概率为． 【小问1详解】 解：如下： 第一次 第二次　 1 2 3 4 1 2 3 4 所有等可能情况有16种，可知其中落在正方形面上的情况有，共4种， ∴点M落在正方形面上的概率为； 【小问2详解】 解：点M落在正方形面上的概率为， 只有4个点不在正方形内部， 可把正方形向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了概率的求算方法和正方形与平移的有关性质，要会根据正方形的性质得到所对应的点的坐标，利用列表法求算符合条件的概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． （1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【小问1详解】 设所在直线的函数表达式为， 将，代入得： 解得 ∴所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 在中，令得， ∵， ∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为． 24. 某款“不倒翁”主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为 （结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接，． ①直接写出的度数． ②求点C到桌面的距离（结果保留根号）； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2﹣图3）过程中，圆心O移动的距离． 【答案】（1） （2）①30°；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键 （1）易得当时，P，O，C三点在一条直线上，则，，，，得出，最后根据即可解答； （2）①根据切线的定义得出，再得出，推出，则．②过点C作于点H，于点K，则 ，根据勾股定理得出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答； （3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心O到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，P，O，C三点在一条直线上， ∵直径， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①的度数． ∵半圆O与相切于点Q， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半圆O的中点为点C， ∴， ∴． ②过点C作于点H，于点K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点C到桌面MN距离为． 【小问3详解】 解：从滚动到图2—图3）过程中，圆心O移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心O到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心O移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心O移动的距离． 25. 已知：如图1，抛物线与y轴交于点，顶点为点D．点A，B的坐标分别为，． （1）① ； ②请用含a的式子表示顶点D的坐标． （2）抛物线与线段有一个公共点时，求a的取值范围； （3）如图2，连接，，的面积是否发生变化，若不变请直接写出其面积；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①4；② （2） （3）不变，9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）①根据与y轴的交点坐标，即可得出c的值；②根据顶点坐标公式，即可得出顶点坐标； （2）先求出直线的解析式为，再讨论当抛物线经过点A时，当抛物线经过点B时，当抛物线的顶点在直线上时a的值，即可得出a的取值范围； （3）分别过点A，B，D作轴，轴，轴，根据列出算式进行计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵抛物线与y轴交于点， ∴， 故答案为：4； ②抛物线解析式为， 根据顶点坐标公式：， ∴， ∴； 小问2详解】 解：设线段的解析式为， 将、代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 当抛物线经过点A时，如图，此时有：， 解得：， 当抛物线经过点B时，如图，此时有：， 解得：， 当抛物线的顶点在直线上时， ， 此方程无解， ∴a的取值范围为：； 【小问3详解】 解：不变，理由如下： 分别过点A，B，D作轴，轴，轴， ∴ ． ∴的面积不会发生变化，面积为9． 26. 如图，矩形中，，，点E在折线上运动（点E不与点C，A重合），的中点为G，将绕点E顺时针旋转得到．设点E的运动路径长为x． （1）如图1，当点E与点B重合时，点F到直线的距离为 ； （2）如图2，当点F落在矩形的边（或边所在的直线）上时，求x的值； （3）过点F作，交延长线于点N（如图3），设的长为y，请直接写出y与x的函数解析式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质，勾股定理，三角形相似．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，熟练运用勾股定理与三角形相似的判定和性质熟练探究动点的运动轨迹． （1）作于H，通过证明，得出，即可解答； （2）根据题意进行分类讨论：当点E在上，点F在所在的直线是上时，通过证明，得出，即可解答；当点E在上，当F在上时，通过证明，得出，求出，最后根据即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：当点E在上时，作于H，作于Q，易证四边形是矩形，通过证明，得出，即可得出结论； 当点E在上时，通过证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1， 作于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2， 当点E在上，点F在所在的直线是上时， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3， 当点E在上，当F在上时， 同理上可得， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：如图3， 当点E在上时，作于H，作于Q， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图4， 当点E在上时， 同理可得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $